题型分类突破理科Y版模块二.docx

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1、 模块二三角函数与解三角形考查角度1三角函数与三角恒等变换(见学生用书P27)分类透析1三角函数中的化简与求值例1 (1)已知cos 2-sin 2=55,则sin =.(2)若tan2-=3cos(-),则cos 2=().A.-1B.79C.0或79D.-1或79(3)若2,2cos 2=sin4-,则sin 2的值为().A.-78B.78C.-18D.18 答案 (1)45(2)D(3)A解析 (1)由同角三角函数基本关系式可得cos 2-sin 22=cos22+sin22-2sin 2cos 2=1-sin =552=15,所以sin =45.(2)由同角三角函数基本关系式得sin

2、2-cos2-=-3cos ,即cossin=-3cos ,解得cos =0或sin =-13.又cos 2=1-2sin2=2cos2-1,所以cos 2=-1或cos 2=79.故选D.(3)由诱导公式和二倍角公式可得2cos 2=2sin2-2=2sin24-=4sin4-cos4-=sin4-.因为2,所以4-34,-4,所以sin4-0,所以cos4-=14.又sin 2=cos24-=2cos24-1=2142-1=-78,故选A.小结 三角函数中的化简与求值问题的一般解题思路:(1)根据诱导公式或同角三角函数基本关系式,对所给关系式进行变形;(2)观察已知角与所求角之间的差异,用

3、已知角来表示所求角;(3)恒等变形、正确求值.分类透析2三角函数的图象与性质例2 (1)已知函数f(x)=2sinx+4(0)的图象在区间0,1上恰好有3个最高点,则的取值范围为().A.194,274B.92,132C.174,254D.4,6)(2)已知函数f(x)=3sin(x+)-cos(x+)(0,00,所以x+44,+4,又因为函数f(x)的图象在区间0,1上恰好有3个最高点,所以92+46+2,解得174,254.故选C.(2)由题意可得f(x)=3sin(x+)-cos(x+)=2sin(x+)-6=2sinx+-6.因为函数y=f(x)为偶函数,所以-6=k+2(kZ),所以

4、=k+23(kZ).又00B.cos 20D.sin 20答案 D解析 由为第二象限角,可得2+2k+2k(kZ),所以+4k22+4k(kZ),所以sin 20.2.(2020年全国卷,理T9改编)已知cos 2=12,则tan =().A.-33B.33C.13D.33答案 B解析 cos 2=cos2-sin2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=12,2-2tan2=1+tan2,解得tan =33.3.(2020年全国卷,理T7改编)设函数f(x)=Acosx+6(02)在-,上的大致图象如图所示,则f3=().A.1B.-1C.32D.-32答案 B解析

5、 函数f(x)的图象过点-49,0,代入函数f(x)的解析式可知Acos-49+6=0,因为00.由题意可知,2sin 2=cos 2-1,即4sin cos =(1-2sin2)-1,整理得cos =-12sin ,所以cos=-12sin,cos2+sin2=1,sin0,解得sin =255.3.(2020届江西省景德镇市高三第一次质检)已知cos =513,(,2),则cos+6=().A.5+12326B.5-12326C.12+5326D.53-1226答案 C解析 由cos =513,(,2)可知,cos 0,sin 0)个单位长度,得到的图象关于直线x=6对称,则的最小值为()

6、.A.6B.3C.2D.答案 C解析 将函数f(x)=2sin2x+6图象上所有的点向右平移(0)个单位长度,得到函数y=2sin2(x-)+6=2sin2x-2+6的图象.由题意知,26-2+6=2+k(kZ).解得=-k2(kZ),又因为0,所以的最小值为2,故选C.6.(福州市2020届高三质量检测)已知函数f(x)=sin(x+)02的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为().A.4+4k3,1112+4k3,kZB.-1312+k,-512+k,kZC.4+2k,1112+2k,kZD.-1312+3k4,-512+3k4,kZ答案 A解析 由图象可知,34T=712-512

7、=,则函数f(x)的最小正周期T=43=2,解得=32,又32-512+=2k-2,kZ,即=2k+8,kZ,因为0b.例如1*2=1,则函数f(x)=sin x*cos x的值域为().A.-22,22B.-1,1C.22,1D.-1,22答案 D解析 根据三角函数的周期性,我们只看在一个最小正周期内的情况即可.设x0,2,当4x54时,sin xcos x,则f(x)=cos x,故f(x)-1,22.当0x4或54sin x,则f(x)=sin x,故f(x)0,22-1,0.综上,f(x)的值域为-1,22,故选D.9.(2020届西安七校联考)矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼是世界上首座

8、、也曾经是世界上最大的观景摩天轮.已知其旋转半径为60米,最高点距地面135米,运行一周大约需要30分钟,某游客在最低点的位置坐上摩天轮,则第10分钟时他距地面大约为().A.95米B.100米C.105米D.110米答案 C解析 设人在摩天轮上离地面高度h(米)与时间t(分钟)的函数关系为f(t)=Asin(t+)+B(A0,0,0,2).由题意可知,A=60,B=135-60=75,T=2,所以=15,即f(t)=60sin15t+75.又因为f(0)=135-120=15,解得sin =-1,故=32,所以f(t)=60sin15t+32+75=-60cos 15t+75,所以f(10)

9、=-60cos 23+75=105.故选C.10.(乌鲁木齐市2020届高三第一次诊断性测试)将奇函数f(x)=3sin(2x+)-cos(2x+)(0)的图象向右平移个单位长度,得到y=g(x)的图象,则g(x)的一个单调递减区间为().A.-12,512B.-512,12C. 12,712D.512,1112答案 D解析 由已知得f(x)=2sin2x+-6.f(x)为奇函数,-6=k,kZ,即=k+6,kZ.0,当k=0时,=6,f(x)=2sin 2x,g(x)=2sin2x-6=2sin2x-3.令2+2k2x-332+2k,kZ,512+kx0)在区间-4,4内有最大值且无最小值,

10、则的取值范围是().A.43,83B.43,83C.43,163D.43,163答案 A解析 由题意知-4+6-2,24+632,解得4383.故选A.12.(2020届云南省大理市高三复习统一检测)函数f(x)=3sin xcos x-sin2x在区间-12,m上至少取得1个最小值,则正整数m的最小值是().A.4B.3C.2D.1答案 B解析 函数f(x)=3sin xcos x-sin2x=32sin 2x-12(1-cos 2x)=sin2x+6-12,f(x)的最小正周期T=22=,且当x=-12时,2x+6=0,结合f(x)在区间-12,m上至少取得1个最小值可得m-1234T=3

11、4,解得m232.09,正整数m的最小值是3,故选B.13.(2020届辽宁省葫芦岛市协作校高三第二次考试)函数f(x)=sinx-6cosx-6的最小正周期为.答案 解析 f(x)=12sin2x-3,T=22=.14.(2020届湖南省永州市高三一模)在平面直角坐标系xOy中,点A为以O为圆心的单位圆在第一象限上一点,B(1,0),BOA=3,若点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点C-45,35,则cos =.答案 33-410解析 记OC为角的终边,由三角函数的定义可得sin =35,cos =-45.因为点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点C,所以=-3,即cos =cos-3=cos cos

12、 3+sin sin 3=-4512+3532=33-410.15.(2020届江苏省苏州市高三阶段性抽测(一)若1+cossin=12,则cos +2sin =.答案 1解析 由1+cossin=12,可得2(1+cos )=sin ,即4(1+cos )2=sin2=1-cos2,化简得cos =-35或cos =-1(舍去),故sin =2(1+cos )=45,所以cos +2sin =-35+85=1.16.(2020届广东省佛山市第一中学月考)关于函数f(x)=3sin2x+4有以下说法:若f(x1)=f(x2)=0,则x1-x2=k(kZ);f(x)的图象与g(x)=3cos2x

13、-4的图象相同;f(x)在区间-78,-38上是减函数;f(x)的图象关于点-8,0对称.其中正确的是.(填序号)答案 解析 因为f(x)=3sin2x+4,f(x1)=f(x2)=0,所以x1-x2=k2(kZ),故错误;g(x)=3cos2x-4=3sin2x-4+2=3sin2x+4=f(x),故正确;当x-78,-38时,2x+4-32,-2,所以f(x)在区间-78,-38上是减函数,故正确;当x=-8时,2x+4=0,即f-8=0,故正确.考查角度2解三角形(见学生用书P30)分类透析1判断三角形的形状例1 (1)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a-ccos B

14、)sin B=(b-ccos A)sin A,则ABC的形状是().A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形(2)在ABC中,若bcosCccosB=1+cos2C1+cos2B,则ABC的形状是().A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形(3)在ABC中,a2+b2+c2=23absin C,则ABC的形状是().A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形答案 (1)D(2)D(3)D解析 (1)由(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,结合正弦定理,化简可得(a-ccos B)b=(b-

15、ccos A)a,所以acos A=bcos B,则sin Bcos B-sin Acos A=0,即sin 2B-sin 2A=0,解得2B=2A或2B+2A=180,所以ABC是等腰三角形或直角三角形.故选D.(2)由已知1+cos2C1+cos2B=2cos2C2cos2B=cos2Ccos2B=bcosCccosB,化简得cosCcosB=bc或cosCcosB=0,即C=90或cosCcosB=bc,由正弦定理得bc=sinBsinC,即cosCcosB=sinBsinC,化简得sin 2C=sin 2B,因为角B,C均为ABC的内角,所以2C=2B或2C+2B=180,即B=C或B

16、+C=90,所以ABC为等腰三角形或直角三角形,故选D.(3)由余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,又因为a2+b2+c2=23absin C,两式相加,得到a2+b2=ab(cos C+3sin C)=2abcosC-3,所以cosC-3=a2+b22ab2ab2ab=1,当且仅当a=b时,等号成立.又因为cosC-3-1,1,所以cosC-3=1.因为C(0,),所以C-3-3,23,所以C-3=0,解得C=3.又因为a=b,所以ABC是等边三角形,故选D.小结 判断三角形形状问题的解题思路:(1)分析所给关系式的基本特征,初步确定转化方向,是化成“边”的关系还是“角”的关系;(

17、2)根据正弦定理、余弦定理对所给关系式实施“边(角)”转化;(3)在变形过程中,一定要注意等价转化,特别是在“约分”和角的范围上.分类透析2利用正、余弦定理解三角形例2 (1)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=6,c=3,则A=.(2)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则A=().A.6B.3C.56D.23答案 (1)75(2)B解析 (1)由正弦定理,得sin B=bsinCc=6323=22,结合b0,解得h265.因为ABC的面积S=12bcsin A=12ah,所以2Rsin

18、Bsin C=h,即sinBsinCsinA=ha=h265.小结 与其他知识交汇的解三角形问题的解题策略:(1)与等差、等比数列交汇的问题,多是以等差、等比数列为媒介给出三角形的“边”与“角”的关系,只要按题目要求正确“翻译”过来即可;(2)与向量知识的交汇问题,多是以向量的数量背景和几何背景为解题的突破点,常常以向量的线性运算和数量积运算出现;(3)特别注意的是三角形中的数量积公式与面积公式的“关联性”.(见学生用书P30)1.(2020年全国卷,理T7改编)在ABC中,cos C=23,AC=4,BC=3,则sin A=().A.19B.13C.12D.53答案 D解析 根据余弦定理得A

19、B2=AC2+BC2-2ACBCcos C,则AB2=42+32-24323,可得AB2=9,即AB=3,AB=BC,sin A=sin C=53.2.(2020年全国卷,理T16改编)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=2,ABAC,ABAD,CAE=45,则FCB=.答案 90解析 ABAC,AB=2,AC=1,由勾股定理得BC=AB2+AC2=3,同理得BD=2,BF=BD=2,在ACE中,AC=1,AE=AD=2,CAE=45,由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2ACAEcos 45=1+2-21222=1,解得CE=1,CF=CE=1,在BCF中,BC=3

20、,BF=2,CF=1,由余弦定理得cosFCB=CF2+BC2-BF22CFBC=1+3-4213=0.故FCB=90.(见学生用书P31)1.(银川市2020届高考押题考试)若在ABC中,a=8,A=45,B=60,则b的值为().A.23+2B.46C.43+2D.4+43答案 B解析 由正弦定理asinA=bsinB得8sin45=bsin60,所以b=46,故选B.2.(天津市河东区2020届高三高考模拟)在ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,A=23,b=3,ABC的面积为1534,则a=().A.19B.912C.7D.49答案 C解析 由A=23,b=3,得SABC

21、=12bcsin A=1534,解得c=5,在ABC中,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=9+25-235-12=49,解得a=7.故选C.3.(2020届承德市隆化县存瑞中学高三第一次质检) 已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=2bcos A,则此三角形是().A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形答案 B解析 因为c=2bcos A,由正弦定理得sin C=2sin Bcos A,即sin(A+B)=2sin Bcos A,所以sin Acos B+cos Asin B=2sin Bcos A,即sin Acos B=sin Bcos

22、 A,可得sin(A-B)=0.又在ABC中,A-B(-,),所以A=B,因此三角形为等腰三角形.4.(2020届四川省成都市蓉城名校联盟高三上学期第一次联考)在平面四边形ABCD中,已知A=2,CDA=23,AD=2,BD=4,DC=5,则BC=().A.21B.33C.23D.43答案 A解析 在RtABD中,AD=12BD,所以DBA=6,ADB=3.因为CDA=23,所以BDC=3.在BCD中,由余弦定理得BC=52+42-254cos 3=21.故选A.5.(2020届天津市六校高三期中检测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ABC的面积为315,3sin A=2

23、sin C,cos B=-14,则b的值为().A.2B.6C.8D.12答案 C解析 在ABC中,由cos B=-14,可得sin B=154,由SABC=12acsin B=315,可得ac=24,因为3sin A=2sin C, 所以3a=2c.综上可得a=4,c=6,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=16+36-264-14=64,解得b=8.故选C.6.(2020届安徽十校联考)在ABC中,p:ABC是锐角三角形,q:sin Acos C,则p是q的().A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 若ABC是锐角三角形,则A+

24、C2,即2A2-C0,所以sin Asin2-C,即sin Acos C,同理sin Acos B.反之,如当A=2,B=6时,sin Acos C,ABC为直角三角形,所以p是q的充分不必要条件,故选B.7.(2020届重庆市第一中学月考)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ccos A=12(acos B+bcos A),ABC的面积为3,b+c=26,则ABC的外接圆面积为().A.4B.16C.24D.48答案 A解析 因为ccos A=12(acos B+bcos A),所以ccos A=12c,所以cos A=12,则sin A=32.因为ABC的面积为3,b+c=

25、26,所以由三角形面积公式以及余弦定理可得3=12bcsinA,a2=b2+c2-2bccosA,b+c=26,解得a=23.由正弦定理可得asinA=2R,解得R=2,则ABC的外接圆的半径为2,其面积为4.8.(宁夏中卫市2020届高三第二次模拟考试)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知C=23,sin B=3sin A,若ABC的面积为63,则c=().A.22B.226C.214D.47答案 B解析 由题意得b=3a.又SABC=12absin C=32a232=63,解得a2=8,c2=a2+b2-2abcos C=10a2+3a2=13a2=104,c=226,

26、故选B.9.(2020届山东省济宁市高三上学期期中)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=223,a=2,SABC=2,则b的值为().A.3B.322C.22D.23答案 A解析 因为在锐角ABC中,sin A=223,SABC=2,所以12bcsin A=12bc223=2,即bc=3,又a=2,A是锐角,所以cos A=1-sin2A=13,所以由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得(b+c)2=a2+2bc(1+cos A)=4+61+13=12,即b+c=23.由得b+c=23,bc=3,解得b=c=3.故选A.10.(2020届银川高三质量检测)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2