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1、与球有关的截面问题【典例精讲】典例 1 已知三棱锥 PABC 的棱 AP，AB，AC 两两垂直，且长度都为 3，以顶点 P 为球心，2 为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧的长度之和等于 ( )A. 343B. 25C. 3D. 6解析如图所示，由题意知 RtPAC，RtPAB 为等腰直角三角形，且 APAB AC 3.以顶点 P 为球心，2 为半径作一个球，设球 P 与RtPAC 的边 PC，AC 分别交于点M，N，与 AB，PB 分别交于点 H，G，易得cosAPN 3，所以APN，AN1，APtan266所以NPMMN 的长 2，所以弧lMN.12126同理 lGH ，
2、易知 AHAN1，则 lHN 1 .622为圆心，为半径的圆的周长的，又易知弧 GM 的长是以顶点 P216222所以 lGM6 3 ，29所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧的长度之和等于63 62362 .故选B.答案B小结 求解本题的难点在于准确确定球与各个面的交线，依据球的几何特征确定球面与四棱锥各个面的交线后，准确求出弧所在圆的半径和弧所对圆心角即可，考查了直观想象这一核心素养典例 2(2020新高考全国卷)已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的棱长均为 2，BAD 60.以 D1 为球心， 5为半径的球面与侧面 BCC1B1 的交线长为 GH【解析】如图，连接 B1D1，易
3、知B1C1D1 为正三角形，所以 B1D1C1D12.分别取 B1C1， BB1，CC1 的中点 M，G，H，连接 D1M，D1G，D1H，则易得 D1GD1H 2212 5， D1MB1C1，且 D1M 3.由题意知 G，H 分别是 BB1，CC1 与球面的交点在侧面 BCC1B1 内任取一点 P，使 MP 2，连接 D1P，则 D1P D1M2MP2 （ 3）2（ 2）2 5， 连接 MG，MH，易得 MGMH 2，故可知以 M 为圆心， 2为半径的圆弧 GH 为球面与侧面 BCC1B1 的交线由B1MGC1MH45知GMH90，所以 的长为12 2 2 高中数学资料共享群（7349243
4、57）42 .【变式练习】1. 某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为 43的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为 4，则该球的半径是()A2B4C2 6D4 6解析：选B设截面圆半径为 r，则有 2r4，所以 r2.由题意知，球的球心为正方体的中心，设球的半径为 R，则 R2(2 3)22216，所以 R4，故选B.2. 在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，ABAC，AB6，AC8，D 是线段 AC 上一点，且 AD3DC.三棱锥 PABC 的各个顶点都在球 O 的表面上，过点 D 作球
5、 O 的截面， 若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为 16，则球 O 的表面积为()A72B86C112D128解析：选C将三棱锥 PABC 补成直三棱柱，如图所示，则三棱锥 PABC 和该直三棱柱的外接球都是球 O， 设三角形 ABC 的中心为 O1，球 O 的半径为 R，PA2x，连接 OO1，则球心 O 到平面 ABC 的距离为 x，即 OO1x， 连接 O1A，OA，则 O1A5，11所以 OA2OO2O A2，即 R2x225.在ABC 中，取 AC 的中点 E，连接 O1D，O1E，则 O1E1AB3，O1EAB，DE21 AC2，所以 O1D 13.连接 OD，4在RtOO1D 中，OD x213，由题意得，当截面与直线 OD 垂直时，截面圆面积最小，设此时截面圆的半径为 r，则 r2R2OD2x225(x213)12，所以截面圆的最小面积为 12，当截面过球心 O 时，截面圆面积最大，为R2，所以R21216， R228，所以球 O 的表面积为 4R2112.