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1、2021年全国高中数学联合竞赛加试试卷考试时间：上午10：0012：00一、此题总分值50分如图，在锐角ABC中，ABAC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。过P作PEAC，垂足为E，做PFAB，垂足为F。O1、O2分别是BDF、CDE的外心。求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是ABC的垂心。二、此题总分值50分如图，在78的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线横、竖、斜方向上依次相连。问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。三、此题
2、总分值50分设集合P=1，2，3，4，5，对任意kP和正整数m，记f(m，k)=，其中a表示不大于a的最大整数。求证：对任意正整数n，存在kP和正整数m，使得f(m，k)=n。2021年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、此题总分值50分如图，在锐角ABC中，ABAC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。过P作PEAC，垂足为E，作PFAB，垂足为F。O1、O2分别是BDF、CDE的外心。求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是ABC的垂心。证明：连结BP、CP、O1O2、EO2、EF、FO1。因为PDBC，PFAB，故B、D、P、F四点共圆，且BP为该圆的直径。又因为O1是B
3、DF的外心，故O1在BP上且是BP的中点。同理可证C、D、P、E四点共圆，且O2是的CP中点。综合以上知O1O2BC，所以PO2O1=PCB。因为AFAB=APAD=AEAC，所以B、C、E、F四点共圆。充分性：设P是ABC的垂心，由于PEAC，PFAB，所以B、O1、P、E四点共线，C、O2、P、F四点共线，FO2O1=FCB=FEB=FEO1，故O1、O2、E、F四点共圆。必要性：设O1、O2、E、F四点共圆，故O1O2E+EFO1=180。由于PO2O1=PCB=ACBACP，又因为O2是直角CEP的斜边中点，也就是CEP的外心，所以PO2E=2ACP。因为O1是直角BFP的斜边中点，也
4、就是BFP的外心，从而PFO1=90BFO1=90ABP。因为B、C、E、F四点共圆，所以AFE=ACB，PFE=90ACB。于是，由O1O2E+EFO1=180得(ACBACP)+2ACP+(90ABP)+(90ACB)=180，即ABP=ACP。又因为ABAC，ADBC，故BDCD。设B是点B关于直线AD的对称点，那么B在线段DC上且BD=BD。连结AB、PB。由对称性，有ABP=ABP，从而ABP=ACP，所以A、P、B、C四点共圆。由此可知PBB=CAP=90ACB。因为PBC=PBB，故PBC+ACB=(90ACB)+ACB=90，故直线BP和AC垂直。由题设P在边BC的高上，所以P
5、是ABC的垂心。二、此题总分值50分如图，在78的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线横、竖、斜方向上依次相连。问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。解：最少要取出11个棋子，才可能满足要求。其原因如下：如果一个方格在第i行第j列，那么记这个方格为(i，j)。第一步证明假设任取10个棋子，那么余下的棋子必有一个五子连珠，即五个棋子在一条直线横、竖、斜方向上依次相连。用反证法。假设可取出10个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠。如图1，在每一行的前五格
6、中必须各取出一个棋子，后三列的前五格中也必须各取出一个棋子。这样，10个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影局部。同理，由对称性，也不会分布在其他角上的阴影局部。第1、2行必在每行取出一个，且只能分布在(1，4)、(1，5)、(2，4)、(2，5)这些方格。同理(6，4)、(6，5)、(7，4)、(7，5)这些方格上至少要取出2个棋子。在第1、2、3列，每列至少要取出一个棋子，分布在(3，1)、(3，2)、(3，3)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(5，1)、(5，2)、(5，3)所在区域，同理(3，6)、(3，7)、(3，8)、(4，6)、(4，7)、(4，8)、(5，6)、(5，7)、
7、(5，8)所在区域内至少取出3个棋子。这样，在这些区域内至少已取出了10个棋子。因此，在中心阴影区域内不能取出棋子。由于、这4个棋子至多被取出2个，从而，从斜的方向看必有五子连珠了。矛盾。图1图2第二步构造一种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠。如图2，只要取出有标号位置的棋子，那么余下的棋子不可能五子连珠。综上所述，最少要取走11个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠。三、此题总分值50分设集合P=1，2，3，4，5，对任意kP和正整数m，记f(m，k)=，其中a表示不大于a的最大整数。求证：对任意正整数n，存在kP和正整数m，使得f(m，k)=n。证明：定义集合A=|mN*，kP，其中N*为正整数集。由于对任意k、iP且ki，是无理数，那么对任意的k1、k2P和正整数m1、m2，当且仅当m1=m2，k1=k2。由于A是一个无穷集，现将A中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n，设此数列中第n项为。下面确定n与m、k的关系。假设，那么。由m1是正整数可知，对i=1，2，3，4，5，满足这个条件的m1的个数为。从而n=f(m，k)。因此对任意nN*，存在mN*，kP，使得f(m，k)=n。