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1、解题达人（2022）高三二轮小题专练解三角形A一、单选题1瀑布是庐山的一大奇观，唐代诗人李白曾在望庐山瀑布中写道：“日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川.飞流直下三千尺，疑是银河落九天.”为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为，沿山道继续走，抵达B点位置测得瀑布顶端的仰角为.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为，则该瀑布的高度约为（ ）ABCD2已知抛物线（）的焦点为，为上的两个动点，设的中点到的准线的
2、距离为，若，则的最小值为（ ）ABCD3已知直三棱柱中，是边长为的正三角形，点是的中心，则三棱锥外接球球面与侧面的交线所对圆心角的余弦值为（ ）ABCD4已知三棱锥，在底面中，面，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD5山坡上的一棵树被台风吹断，如图，折断部分与残存树干成角，残存树干与山坡构成的角，若m，则这棵树原来的高度为（ ）AmBmCmDm6已知三棱锥的所有棱长均相等，四个顶点在球的球面上，平面经过棱，的中点，若平面截三棱锥和球所得的截面面积分别为，则（ ）ABCD7已知双曲线C的离心率为，是C的两个焦点，P为C上一点，若的面积为，则双曲线C的实轴长为（ ）A1B2C4D68已知的面
3、积为，则（ ）ABCD9公元前5世纪，毕达哥拉斯学派利用顶角为的等腰三角形研究黄金分割，如图，在中，的角平分线交于，依此图形可求得（ ）ABCD10在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值为（ ）ABCD11已知为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，则等于（ ）A2B4C6D812如图所示，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30方向，且与A相距60km，C在B的北偏东30方向，且与B相距km，一架飞机从城市D出发，以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（ ）A120k
4、mBkmCkmDkm第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则_14在中，角的对边分别为，若，且，为等差数列，则_.15滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作滕王阁序中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，如图，在滕王阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30，60，45，且米，则滕王阁的高度_米16在中，角所对的边分别为，则_试卷第4页，共4页参考答案：1A【解析】【分析】由已知条件作出图形，根据余弦定理求解即可得选项.【详解】解：如图，设瀑布顶端为P，底端为H，瀑布高为h，该同学第一次
5、测量时的所处的位置为A，第二次测量时的位置为B，由题意可知，且，所以，在中，由余弦定理可知，即，解得.故选：A.2D【解析】【分析】根据抛物线的定义可得，再由均值不等式可得，利用余弦定理即可求解.【详解】如图，由抛物线的定义知，由可得，当且仅当时等号成立，在中，当且仅当时等号成立，即的最小值为.故选：D3D【解析】【分析】先确定外接球的球心位置和半径，再确定外接球球面与侧面的交线的形状，再利用余弦定理进行求解.【详解】设是的中心，则三棱锥的外接球的球心在上，由得，.由得，解得.设球心在侧面内的射影为，则，到的距离为，到的距离为，到，的距离为，所以外接球球面与侧面的交线是一段圆弧，半径为，对应弦
6、长为.截面如图，则圆心角的余弦值为.故选：D. 4D【解析】【分析】利用正弦定理求出的外接圆半径为1，结合面，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积.【详解】设的外接圆半径为R，因为，由正弦定理得：，所以的外接圆半径为1，设球心O在的投影为D，则DA=1，因为面，故，由勾股定理得：，即此三棱锥的外接球的半径为2，故外接球表面积为.故选：D5A【解析】【分析】根据题意，在中，利用正弦定理解三角形得，进而计算即可得答案.【详解】中，由正弦定理，得所以，所以m故选:A6B【解析】【分析】根据平面截三棱锥所得三角形为正三角，即可求出三角形面积及外接圆面积，即可求解.【详解】设平面截三棱锥所得正三角边长
7、为a，截面圆的半径为r，则，由正弦定理可得，故选：B7C【解析】【分析】由已知条件可得，再由余弦定理得，进而求其正弦值，最后利用三角形面积公式列方程求参数a，即可知双曲线C的实轴长.【详解】由题意知，点P在右支上，则，又，又，则在中，故，解得，实轴长为，故选：C.8A【解析】【分析】由余弦定理及三角形面积公式求解即可.【详解】由,可得,所以,由知.故选：A9D【解析】【分析】设，由和正弦定理，以及正弦的二倍角公式可求得答案.【详解】解：，故，设，由，.故选：D.10A【解析】【分析】首先根据三角形内的隐含条件得到，再根据正弦定理进行角化边可得出；然后结合条件可得出，从而运用余弦定理即可求出的值
8、.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以由正弦定理，得，又因为，所以，由余弦定理，可知故选：A11B【解析】【分析】根据给定条件求出双曲线C的焦距、实轴长，再借助双曲线定义、余弦定理计算作答.【详解】双曲线C：中，a=1，b=1，c=，因点P在C上，则，又，在中，由余弦定理得，于是得，解得，所以等于4. 故选：B12D【解析】【分析】设15min后飞机到了处，求出，中由余弦定理求得，由勾股定理逆定理知，这样易得，从而得出，然后在中由余弦定理得出【详解】设15min后飞机到了处，则，由题意，所以，所以，从而，于是，中，故选：D13【解析】【分析】应用余弦定理，结合已知等量关系、辅助角公式可得，由
9、基本不等式可得，最后根据正弦函数的性质即可求的大小.【详解】在中，由余弦定理，代入得，即，即，又故答案为：.14【解析】【分析】由二倍角余弦、同角三角函数关系求、，利用三角形内角性质，结合、为等差数列求，并得到其正余弦值，根据以及正弦定理边角关系即可求值.【详解】，则，、等差，有，而，由正弦定理知：.故答案为：.15【解析】【分析】设，由边角关系可得，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解得的值，进而可得长.【详解】设，因为，则又，所以，.在中，即.，在中，即，因为，所以由两式相加可得：，解得：，则，故答案为：.16【解析】【分析】利用正余弦定理求、，结合二倍角正弦公式即可求.【详解】由题设，而，.故答案为：答案第10页，共10页