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1、第六届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案 (非数学类,2015 年 3 月) 1）极限 2 2 2 0 2 0 lim x u x xu e du edu 的值是 。答案 0 解： 2 222 2 222 2 2 0 00 2 2 0 2e2 2 lim=limlimlim0 2 x xx u xuu x x xxx xxxxu e du e due du e eexe edu (2）设实数0a ，微分方程 2 0 (0)0,(0)1 yay yy 的解是。 答案： 1 ln(1)yax a 解： 记py，则 2 0pap，就是 2 dp adx p ，从而 1 1 +ax c p ，由(0)
2、1p 得 1 0c 。故有 1dy dxax ， 2 1 ln()yaxc a 。再有(0)0y得 2 1c ，故 1 ln(1)yax a 。 (3）设 00 00 , 11 A 则 50 A =。 。 答案：答案： 50 50 494950 00 00 5050 解：解： 记记 000 000 110 B ，则，则 2 B 为零矩阵，故为零矩阵，故 50 50 50504950 494950 00 5000 5050 AEBEB 。 （4）不定积分 2 4 +1 1 x Idx x 是。 111 arctan 22 Ixc x 或 1 arctan( 21)+arctan( 2 +1+ 2
3、 Ixxc ） 解： 2 2 2 2 1 1 11111 arctan 1 221 2 x Idxd xxc xx x x x x （5）设曲线积分 L yx ydxxdy I | ，其中L是以(1,0),(01) ( 1,0) (0, 1)，为顶点的正方 形的边界曲线，方向为逆时针，则I 。 答案:4 解：曲线L的方程为| | 1xy ，记该曲线所围区域为D。由格林公式 (1 1)2 ( )4 D L IxdyydxdxdyD ? （6）设D是平面上由光滑封闭曲线围成的有界区域,其面积为0A,函数( , )f x y在该区 域及其边界上连续,函数( , )f x y在D上连续且( , )0f
4、 x y.记 1/ 1 ( , ) n n n D Jfx y d A , 求极限lim n n J . 答案： 1 expln( , ) D f x y d A 解. 设 1 ( )( , ) t D F tfx y d A , 则 1/ 00 ln( ) limlim( )limexp t n n tt F t JF t t . 0 00 ln( )ln( )ln(0)(0) limlimln( ) (0) 0(0) t tt F tF tFF F tF ttF . 故有 1 limexp(0)expln( , ) n n D JFf x y d A . 二 (本题满分12分) 设,1,2
5、, j ljn 是平面上点 0 P处的2n个方向向量, 相邻两个向 量之间的夹角为 2 n 。若函数),(yxf在点 0 P有连续偏导，证明 0 1 () 0 n j j f P l 。 证: 不妨设 j l 为单位向量，且设 22 cos+,sin+ j jj l nn ， 00 0 ()() ()=, fPfP fP xy ， 则有 0 0 () () j j fP fPl l 。.(6 分) 因此 0 000 111 () ()()() 00 nnn jj jjj j fP fPlfPlfP l .(12 分) 三 设 1212 ,A AB B均为 n 阶方阵，其中 22 ,A B可逆。
6、证明：存在可逆阵,P Q使 (1,2) ii PAQB i成立的充要条件是 1 12 A A和 1 12 B B相似。 证 若存在可逆阵,P Q使(1,2) ii PAQB i，则 1111 22 BQ AP ，所以 111 1212 B BPA AP ，故 1 12 A A和 1 12 B B相似。.(6 分) 反之，若 1 12 A A和 1 12 B B相似，则存在可逆阵C，使 111 1212 CA ACB B 。于是 11 1221 C A ACBB 。令 1 PC ， 1 22 QACB ，则,P Q可逆，且满足 (1,2) ii PAQB i .(14 分) 四 设0p， 1 1
7、 4 x， 2 1 (1,2,) ppp nnn xxxn ，证明 1 1 1 p n n x 收敛并求其和。 【 解 】 记 p nn yx， 由 题 设 ， 2 1nnn yyy ， 2 1 0 nnn yyy ， 所 以 1nn yy 。 .(2 分) 设 n y收敛，即有上界，记 1 Alim0 4 p n n y 。从而 2 AAA，所以A=0，矛盾。 故+ n y 。.(8 分) 由 1 1) nnn yyy （，即 1 1111 1)1 nnnnn yyyyy （ 得 11 +11+11 111111 =4 1 nn p kk kkkn yyyyyy 。.(14 分) 五 （1）
8、展, ) 上的函数( ) |f xx成傅里叶级数,并证明 2 2 1 1 6 k k . （2）求积分 0 1 u u Idu e 的值. 解解 (1)( )f x为偶函数,其傅里叶级数是余弦级数. 0 0 2 axdx , 2 2 0 4 ,1,3,22 cos(cos1) 0,2,4, n n axnxdxnn n n . 由于( )f x连续,所以当, )x 有 22 411 ( )coscos3cos5 235 f xxxx . 令0 x 得到 2 2 0 1 (21)8 k k . 记 1 2 1 1 k s k , 2 2 0 1 (21) k s k ,则 121 1 4 sss
9、, 故 得 2 2 1 4 36 s s . .(5 分) （2）记( ) 1+ u u g u e ，则在0,+）上成立 23 ( ) 1+ u uuu u ue g uueueue e . 记该级数的前n项和为( ) n S u，余项为( )( )( ) nn r ug uS u.则由交错（单调）级数的性质 (1) ( nu n r uue ）. 因为 2 0 1 nu uedu n ，就有 2 0 1 |( ) | (1) n r udu n ，这样就有 1 2 0000 1 1 ( )( )( 1)( ) n k nnn k g u duSu dur u dur u du k （ .(
10、13 分) 由于 0 lim( )0 n n r u du ,故 222 111 1 234 I . 所以 11 1 2 Iss. 再由(1)所证得 2 1 212 s I . .(15 分) 六 六 设( , )f x y为 2 R上的非负的连续函数,若 222 lim( , ) xytt If x y d 存在有限,则称广 义积分 2 ( , ) R f x y d 收敛于I. (1) 设( , )f x y为 2 R上 非 负 且 连 续 . 若 2 ( , ) R f x y d 收 敛 于I, 证 明 极 限 , lim( , ) t x y tt f x y d 存在且收敛于I.
11、(2) 设 22 2 2a xb x yc y R ed 收敛于I,其中实二次型 22 2axbxycy在正交变换下的 标准型为 22 12 uv. 证明 1 和 2 都小于0. 解.(1) 由于( , )f x y非负, 222222 ,2 ( , )( , )( , ) xytt x y txyt f x y df x y df x y d . 当t ,上式中左右两端的极限都收敛于I,故中间项也收敛于I.(3 分) (2) 记 22 222 2 ( ) axbxy cy xyt I tedxdy ,则lim ( ) t I tI . 记 ab A bc ,则 22 2( , ) x axb
12、xycyx y A y . 因A实对称,存在正交矩阵P使得 1 2 0 0 T P AP ,其中 12 , 是A的特征值,也就是标准型的系数. 在变换 xu P yv 下,有 2222 12 2axbxycyuv.又由于 222222 ( , ),() TT ux uvu vP x yPxyPPxy vy , 故变换把圆盘 222 xyt变为 222 uvt,且 ( , ) | 1 ( , ) x y P u v 2222 1212 222222 ( , ) ( ) ( , ) uvuv uvtuvt x y I tedudvedudv u v . 由lim t t II 和(1)所证得: 22 12 , lim uv t t u v t edudvI .在矩形上分离积分变量得, 2222 1212 12 , ( )( ) tt uvuv tt t u v t edudveduedvI t I t . 因为 1( ) I t和 2( ) I t都是严格单调增加,故 2 1 lim t u tt edu 收敛,就有 1 0. 同理 2 0. .(15 分)