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1、2005年高中数学联赛试卷一、选择题1. 使关于x的不等式有解的实数k的最大值是A. B. C. D. 2. 空间四点A、B、C、D，满足、，则的取值A. 只有一个B. 有两个C. 有四个D. 有无穷多个3. ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线交此圆于A1、B1、C1三点，则的值是A. 2B. 4C. 6D. 84. 如图，ABCDABCD为正方体，任作平面与对角线AC垂直，使与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则A. S是定值，l不是定值B. S不是定值，l是定值C. S、l均是定值D. S、l均不是定值5. 方程表示的曲线是A. 焦点在x轴上
2、的椭圆B. 焦点在x轴上的双曲线C. 焦点在y轴上的椭圆D. 焦点在y轴上的双曲线6. 记集合，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是A. B. C. D. 二、填空题7. 将多项式表示为关于y的多项式 ，且，则=_。8. f(x)是定义在(0,+)上的减函数，若成立，则实数a的取值范围是_。9. 设、满足，若对任意，成立，则=_。10. 如图，四面体DABC的体积为，ACB=45，则CD=_。11. 正方形ABCD的一条边在直线上，另外两顶点在上，则正方形面积的最小值为_。12. 若自然数a的各位数字之和为7，则称a是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3，若an=2005，则a5n=_。三、解答题13. 数列an满足a0=1，证明：(1)对于任意，a为整数；(2)对于任意，为完全平方数。14. 将编号为1、2、3、9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S，求值S达到最小值的方法的概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）。15. 过抛物线y=x2一点A(1,1)作抛物线的切线交x轴于D，交y轴于B，C在抛物线上，E在线段AC上，F在线段BC上，且1+2=1，线段CD与EF交于P，当C在抛物线上移动时，求P的轨迹方程。4