《88全国高中数学联赛试题及解答.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《88全国高中数学联赛试题及解答.doc（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、- 1 - 1988 年全国高中数学联赛试题 第一试(10 月 16 日上午 800930) 一选择题(本大题共 5 小题，每小题有一个正确答案，选对得 7 分，选错、不选或多选均得 0 分)： 1设有三个函数，第一个是y=(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数 的图象关于x+y=0 对称，那么，第三个函数是( ) Ay=(x) By=(x) Cy=1(x) Dy=1(x) 2已知原点在椭圆k2x2+y24kx+2ky+k21=0 的内部，那么参数k的取值范围是( ) A|k|1 B|k|1 C1k1 D0|k|1 3平面上有三个点集M，N，P： M=(x，y)| |x
2、|+|y|1， N=(x，y)| +2， (xf(1,2)2 + (y+ f(1,2)2(x+ f(1,2)2 + (yf(1,2)22 P=(x，y)| |x+y|1，|x|1，|y|； 3 命题乙：a、b、c相交于一点 则 A甲是乙的充分条件但不必要 B甲是乙的必要条件但不充分 C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C都不对 5在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过 1 个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合那么表达 式 MNP=I； N M P中，正确的表达式的个数是 A1 B2 C3 D4 二填空题
3、(本大题共 4 小题，每小题 10 分)： 1设xy，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么= b4b3 a2a1 2(+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为 x 3在ABC中，已知A=，CD、BE分别是AB、AC上的高，则= DE BC - 2 - 4甲乙两队各出 7 名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由 1 号队员比赛，负者被 淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过 程那么所有可能出现的比赛过程的种数为 三(15 分)长为，宽为 1 的矩形，以它的一条对角线所在的
4、直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体 2 积 四(15 分) 复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z00，另一个动点Z满足 Z1Z=1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置 五(15 分)已知a、b为正实数，且 +=1，试证：对每一个nN N*， 1 a 1 b (a+b)nanbn22n2n+1 - 3 - 1988 年全国高中数学联赛二试题 一已知数列an，其中a1=1，a2=2， an+2= 5an+ 13an(anan+ 1为偶数)， an+ 1an(anan+ 1为奇数) 试证：对一切nN*N*，an0 二如图，在ABC中，P、Q、R将其周长三等分，
5、且P、Q在AB边上，求证： SPQR SABC 2 9 N A C B P Q R H - 4 - 三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，ln，的直线族，它满足条件： 点(1，1)ln，(n=1，2，3，)； kn+1=anbn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距， (n=1，2，3，)； knkn+10，(n=1，2，3，) 并证明你的结论 - 5 - 1988 年全国高中数学联赛解答 一试题 一选择题(本大题共 5 小题，每小题有一个正确答案，选对得 7 分，选错、不选或多选均得 0 分)： 1设有三个函数，第一个是y=(x)，它的反函数
6、是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数 的图象关于x+y=0 对称，那么，第三个函数是( ) Ay=(x) By=(x) Cy=1(x) Dy=1(x) 解：第二个函数是y=1(x)第三个函数是x=1(y)，即y=(x)选 B 2已知原点在椭圆k2x2+y24kx+2ky+k21=0 的内部，那么参数k的取值范围是( ) A|k|1 B|k|1 C1k1 D0|k|1 解：因是椭圆，故k0，以(0，0)代入方程，得k210，选 D 3平面上有三个点集M，N，P： M=(x，y)| |x|+|y|1， N=(x，y)| +2， (xf(1,2)2 + (y+ f(1,2)2(x+ f(1,
7、2)2 + (yf(1,2)22 P=(x，y)| |x+y|1，|x|1，|y|； 3 命题乙：a、b、c相交于一点 则 A甲是乙的充分条件但不必要 B甲是乙的必要条件但不充分 C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C都不对 解：a，b，c或平行，或交于一点但当abc时，=当它们交于一点时， SPQR SABC 2 9 证明：作ABC及PQR的高CN、RH设ABC的周长为 1则PQ= 1 3 则=，但AB ， SPQR SABC PQRH ABCN PQ AB AR AC 1 2 PQ AB 2 3 APABPQ ，AC ，从而 1 2 1 3 1 6 1 3 1 6 1 2 AR AC 1 3
8、 SPQR SABC 2 9 三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，ln，的直线族，它满足条件： 点(1，1)ln，(n=1，2，3，)； kn+1=anbn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距， (n=1，2，3，)； knkn+10，(n=1，2，3，) 并证明你的结论 证明：设an=bn0，即kn1=1，或an=bn=0，即kn=1，就有kn+1=0，此时an+1不存在，故kn1 现设kn0，1，则y=kn(x1)+1，得bn=1kn，an=1， kn+1=kn此时knkn+1=kn21 1 kn 1 kn kn1 或kn1 或k11
9、时，由于 0k2=k10，若k21，则又有k1k2k30，依此类推，知当km1 1 k1 1 k1 时，有k1k2k3kmkm+10，且 01， 1 k1 1 k2 1 km km+1=kmkm=km1km1k =k0，此时kk0 m11 m1 m11 m1 m1 + 1 即此时不存在这样的直线族 当k11 时，同样有10，得k1k2=k10若k21，又有k1k2k30，依此类推，知 1 k1 1 k1 当km1 时，有k1k2k3kmkm+11， 1 k1 1 k2 1 km N A C B P Q R H - 9 - km+1=kmkm=km1km1k1 1 km 1 k1 1 km1 1 k1 2 k1 m k1 由于k1随m的增大而线性增大，故必存在一个m值，m=m0，使k11，从而必存在一个m m km m0 k1 值，m=m1(m1m0)，使k1，而1k =k0，此时kk0 m11 m1 m1 m1 m1 + 1 即此时不存在这样的直线族 综上可知这样的直线族不存在