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1、人教A版（2019）必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式一、单选题1已知两个正实数，满足，则的最小值是（）ABC8D32若，则的最小值为（）ABCD3若正实数，满足，则的最小值为（）A2BC5D4已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆E交于A，B两点.若四边形面积的最大值为8，则a的最小值为（）AB2CD45已知，满足，则的最小值为（）AB4CD6在R上定义运算：ab(a1)b.已知1x2时，存在x使不等式(mx)(mx)4成立，则实数m的取值范围为（）Am|2m2Bm|1m2Cm|3m2Dm|1m27设ab0，则下列不等式中不正确的是（）ABacbD8若0m1，则不等式(xm)0(
2、)（1）解这个关于 的不等式；（2）若当 时不等式成立，求 的取值范围20某汽车公司购买了辆大客车用于长途客运，每辆万元，预计每辆客车每年收入约万元，每辆客车第一年各种费用约为万元，从第二年开始每年比上一年所需费用要增加万元.（1）写出辆客车运营的总利润(万元)与运营年数的函数关系式：（2）这辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大利润是多少？21求不等式的解集.参考答案：1A根据题中条件，得到，展开后根据基本不等式，即可得出结果.【详解】因为正实数满足，则，当且仅当，即时，等号成立.故选：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是
3、各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2C利用基本不等式即可求解.【详解】解：，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故选：3C化简，然后利用基本不等式求解即可【详解】根据题意，若正实数，满足，则，当且仅当时等号成立，即的最小值为5；故选：C此题考查基本不等式的应用，属于基础题4C当直线与x轴垂直，即时，四边形的面积最大，由面积公式及基本不等式求解即可.【详解】设
4、椭圆E的半焦距为c.直线过原点，当其与x轴垂直，即时，四边形的面积最大，此时，所以，所以，当且仅当时等号成立.故故选：C本题考查椭圆的标准方程和几何性质，利用基本不等式求最值，属于中档题.5C由题意可得，结合目标式即可构造出，进而利用基本不等式求的最小值【详解】由知：，而，则故选：C本题考查了利用基本不等式求最值，由已知方程得到目标式的等价形式，应用等价代换构造出基本不等式的形式求最值6C根据定义求出(mx)(mx)m2x2mx，将不等式分离参数后，转化为最大值使不等式成立，根据二次函数求出最大值后，解一元二次不等式即可得解.【详解】依题意得(mx)(mx)(mx1)(mx)m2x2mx，因为
5、1x2时，存在x使不等式(mx)(mx)4成立，所以存在1x2，使不等式m2mx2x4成立，即当1x2时，m2m(x2x4)max.因为1x2，所以当x2时，x2x4取最大值6，所以m2m6，解得3m2.故选：C本题考查了对新定义的理解能力，考查了不等式能成立问题，考查了二次函数求最值，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.7B根据不等式的性质即可依次判断.【详解】对A，因为ab0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不正确，符合题意；对C，|a|ab，则选项C正确，不符合题意；对D，由ab0，可得，则选项D正确，不符合题意.故选：B.8D利用一元二次不等式的解法即可求解.【详解】0m1m，
6、故原不等式的解集为，故选：D9C依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为且，所以，所以当且仅当，即，时取等号；所以的最小值为故选：C利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方10D令，则，由权方和不等式和基本不等式得，即可求解【详解】由得因为，则 令则化为恒成立，由权
7、方和不等式得当且仅当，得即时等号成立所以 故选：D11B由选项可知，故原不等式等价于，当时，不满足题意，故，再由二次函数的性质即可求解【详解】由选项可知，故原不等式等价于，当时，显然不满足题意，故，由二次函数的性质可知，此时必有，即，故选：B12C采用分离参数将问题转化为“对一切恒成立”，再利用基本不等式求解出的最小值，由此求解出的取值范围.【详解】因为不等式对于一切恒成立，所以对一切恒成立，所以，又因为在上单调递减，所以，所以，所以的最小值为，故选：C.本题考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在给定区间上的恒成立问题，难度一般.不等式在给定区间上恒成立求解参数范围的两种方法：参变分离法、分
8、类讨论法.13利用不等式的性质或取特殊值代入逐个判断即可.【详解】当时不成立；一定成立；当时，成立；当时，不一定成立，如：，但.故答案为：.本题主要考查与不等式的性质有关的命题真假的判断，属常规考题.149根据题意，可得，然后再利用基本不等式，即可求解.【详解】，当且仅当 时取等号故答案为：9本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题151根据不等式的解集可得方程x2+ax+b0的两根为x2或x3，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可【详解】不等式x2+ax+b0解集为x|x2或x3，故方程x2+ax+b0的两根为x2或x3，由根与系数的关系可得，a+b1故答案为：116根据题意得出，进
9、而可得出，结合基本不等式求的最小值即可.【详解】因为里步，由图可知，步里，步里，则，且，所以，所以，则，所以，该小城的周长为（里）.故答案为：.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.17（1）答案见解析；（2）.(1)按实数a与1的大小关系分类讨论求解即得；(2)时，求
10、出的最小值得关系a的不等式，求解即可作答.【详解】（1）原不等式可化为，时，解不等式得或，时，不等式恒成立，即，时，解不等式得或，综上：时解集为或，时解集为R，时解集为或；（2）因时，当且仅当时取“=”，又不等式对任意实数x恒成立，即有，解得，所以实数a的取值范围.18（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）根据作差法证明即可；（2）由于，故，再结合（1）的结论易证.【详解】证明：（1）因为，所以，。所以，故得证；（2）由不等式的性质知，所以，又因为根据（1）的结论可知，所以.所以.19（1）答案见解析；（2） （1）根据同号得正异号得负，转化为 ，讨论二次项系数，解出不等式的解集；（2）根
11、据不等式成立，得到关于 的不等式，求出 的范围.【详解】解（1）原不等式等价于当 时，由 ，得当 时，不等式可化为 ，解得 或 当 时，不等式可化为若 ，即 ，则 ；若，即a1，则不等式的解集为空集；若，即a1，则综上所述，当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式解集为 ；当 时，不等式的解集为；当 时，不等式的解集为；当 时，不等式的解集为 （2）当 时不等式成立， ，则 ， ，即 的取值范围为 20（1）；（2）这4辆客车运营年，可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.（1）由题知，每辆车年总收入为万元，总支出为，进而得利润的表达式；（2）结合（1）得年平均运营利润为，再根据基本不等式求解即可得答案.【详解】解：（1）依题意得，每辆车年总收入为万元，总支出为，所以辆客车运营的总利润.（2）年平均运营利润为，因为，所以，当且仅当时，等号成立，此时，所以这4辆客车运营年，可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.21,或.因为方程的根是函数的零点,先求出的根,再根据函数图象得到的解集.【详解】对于方程则,所以方程有两个实数根.则解得,画出二次函数的图象如下图所示:结合图象可知不等式的解集为,或本题考查了一元二次不等式的解法,一元二次不等式与一元二次方程的关系,属于基础题.