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1、高中数学易错、易混、易忘知识点总结【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。例1、 设，若A B = B，求实数a组成的集合.综上满足条件的a组成的集合为。【练1】已知集合、，若，则实数a的取值范围是 。答案：或。【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。例2、已知, 求的取值范围.答案：x2+y2的取值范围是1, 【练2】若动点（x, y）在曲线上变化，则的最大值为（ ）（A）（B）（C）（D）答案：A【易错点3】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。例5、 判断函数的奇偶性。解析：由函数的定义域为定义域关于原点对称，在定义域下易证即
2、函数为奇函数。【练5】判断下列函数的奇偶性：答案：既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数【易错点4】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。例7、试判断函数的单调性并给出证明。解析：由于即函数为奇函数，因此只需判断函数在上的单调性即可。设 ， 由于 故当 时，此时函数在上增函数，同理可证函数在上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在为减函数，在为增函数。综上所述：函数在和上分别为增函数，在和上分别为减函数.【练7】（1） （潍坊市统考题）（1）用单调性的定义判断函数在上的单调性。（2）设在的最小值为，求的解析式。答案：（1）函数在为增函数在为减函数。（
3、2）【易错点5】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分及不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。【练8】函数是是单调函数的充要条件是（）A、 B、 C、 D、答案：A【易错点6】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。例9、 已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。错解 :(a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8(a+)2+(b+)2的最小值是8【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b22ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件ab=，
4、显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。解析：原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)2-2ab+ (+)2-+4=(1-2ab)(1+)+4由ab()2= 得：1-2ab1-=,且16，1+17原式17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)(a+)2+(b+)2的最小值是。【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。【易错点7】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制
5、条件。【练10】设，且试求函数y = log a (4 + 3x x2 )的的单调区间。答案：当，函数在上单调递减在上单调递增当函数在上单调递增在上单调递减。【易错点8】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性【练11】不等式ax的解集是(4,b)，则a_，b_。答案：（提示令换元原不等式变为关于t的一元二次不等式的解集为）【易错点9】已知求时, 易忽略n的情况例12、数列前n项和且。（1）求的值及数列的通项公式。答案：该数列从第二项开始为等比数列故。【知识点归类点拔】对于数列及之间有如下关系：利用两者之间的关系可以已知求。但注意只有在当适合时两者才可以合并否则要写分段函数的形式。【练12】已
6、知数列满足a1 = 1, an = a1 + 2a2 + 3a3 + + (n 1)an 1 (n 2),则数列的通项为 。答案：（将条件右端视为数列的前n-1项和利用公式法解答即可）【易错点10】利用函数知识求解数列的最大项及前n项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从1开始）【练13】设是等差数列，是前n项和，且，则下列结论错误的是（）A、B、C、 D、和均为的最大值。答案：C（提示利用二次函数的知识得等差数列前n项和关于n的二次函数的对称轴再结合单调性解答）【易错点11】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。例14、已知关于的方程和的四个
7、根组成首项为的等差数列，求的值。【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。解析：根据等差数列知识易知此等差数列为：故从而=。【易错点12】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比的情况【练15】（2005高考全国卷一第一问）设等比数列的公比为q，前n项和（1）求q的取值范围。答案：【易错点13】在数列求和中对求一等差数列及一等比数列的积构成的数列的前n项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。【练16】已知un = an + an 1b + an 2b2 + + abn 1 + bn , 当时，求数列的前n项和答案：时当时.【易错点14】不
8、能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。例17、求答案： 【练17】（2005济南统考）求和答案：【易错点15】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。【练18】（1）（2000全国）已知数列,其中,且数列为等比数列.求常数p答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根据等比中项的性质建立关于p的方程，再说明p值对任意自然数n都成立）【易错点16】用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为尤其是直线及圆锥曲线相交时更易忽略.例19、已知双曲线，直线，讨论直线及
9、双曲线公共点的个数综上知当或时直线及双曲线只有一个交点，当且。时直线及双曲线有两个交点，当或时方程组无解此时直线及双曲线无交点。【知识点归类点拔】判断直线及双曲线的位置关系有两种方法：一种代数方法即判断方程组解的个数对应于直线及双曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法解答，并且这两种方法的对应关系如下上题中的第一种情况对应于直线及双曲线的渐进线平行，此时叫做直线及双曲线相交但只有一个公共点，通过这一点也说明直线及双曲线只有一个公共点是直线及双曲线相切的必要但不充分条件。第二种情况对应于直线及双曲线相切。通过本题可以加深体会这种数及形的统一。【练19】（1）已知双曲线C：
10、，过点P（1，1）作直线l, 使l及C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有_条。答案：4条（可知kl存在时，令l: y-1=k(x-1)代入中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x-(1-k2)-4=0, 当4-k2=0即k=2时，有一个公共点；当k2时，由=0有，有一个切点另：当kl不存在时，x=1也和曲线C有一个切点综上，共有4条满足条件的直线）【易错点17】易遗忘关于和齐次式的处理方法。例20、已知，求（1）；（2）的值.【易错点18】单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘，应用意识不强，另一方面易将角的三角函数值所对应的三角函数线及线段的长度二者等同起来，产生
11、概念性的错误。例21、下列命题正确的是（）A、都是第二象限角，若，则B、都是第三象限角，若，则C、都是第四象限角，若，则D、都是第一象限角，若，则。解析：A、由三角函数易知此时角的正切线的数量比角的正切线的数量要小即B、同理可知C、知满足条件的角的正切线的数量比角的正切线的数量要大即。正确。D、同理可知应为。【易错点19】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时。易将和求错。例23要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A、 先将每个x值扩大到原来的4倍，y值不变，再向右平移个单位。B、 先将每个x值缩小到原来的倍，y值不变，再向左平移个单位。C、 先把每个x值扩大到原来的4倍，y值
12、不变，再向左平移个单位。D、 先把每个x值缩小到原来的倍，y值不变，再向右平移个单位。【易错点20】没有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象。例24、已知，求的值。解析：据已知（1）有，又由于，故有，从而即（2）联立（1）（2）可得，可得。【易错点21】根据已知条件确定角的大小，没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角函数名称不适当造成错解。例25、若，且、均为锐角，求的值。解析：由且、均为锐角知解析：由且、均为锐角知,则由、均为锐角即故【易错点22】对正弦型函数及余弦型函数的性质：如图象、对称轴、对称中心易遗忘或没有深刻理解其意义。例26、如果函数的图象关于
13、直线对称，那么a等于（ ）A. B. C.1 D.1【易错点分析】函数的对称轴一定经过图象的波峰顶或波谷底，且及y轴平行，而对称中心是图象及x轴的交点，学生对函数的对称性不理解误认为当时，y=0，导致解答出错。解析：（法一）函数的解析式可化为，故的最大值为，依题意，直线是函数的对称轴，则它通过函数的最大值或最小值点即，解得.故选D（法二）若函数关于直线是函数的对称则必有，代入即得。【练26】（1）（2003年高考江苏卷18）已知函数上R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值.答案：或。（2）（2005全国卷一第17题第一问）设函数的，图象的一条对称轴是直线，求 答案：=【
14、易错点23】利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解的个数。例27、在中，。求的面积解析：故相应的三角形面积为或.【知识点归类点拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题（1）已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。（2）已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间内不严格格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。如：在中，已知a,b和A解的情况如下：（1） 当A为锐角（2）若A为直角或钝角【练27】如果满
15、足，的三角形恰有一个, 那么k的取值范围是（）A、B、C、D、或答案：D【易错点24】含参分式不等式的解法。易对分类讨论的标准把握不准，分类讨论达不到不重不漏的目的。例29、解关于x的不等式1(a1).【易错点分析】将不等式化为关于x的一元二次不等式后，忽视对二次项系数的正负的讨论，导致错解。解：综上所述：当a1时解集为(，)(2，+)；当0a1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a0时，解集为(，2).【易错点25】求函数的定义域及求函数值域错位【练30】已知函数的定义域和值域分别为R试分别确定满足条件的a的取值范围。答案：（1）或（2）或【易错点26】利用函数的的单调性构造不等关系。
16、要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制。例33、记，若不等式的解集为，试解关于t的不等式。解析：不等式的解为：。【练33】（1）设函数,求使的的x取值范围。答案：x取值范围是【易错点27】涉及向量的有关概念、运算律的理解及应用。易产生概念性错误。例35、下列命题：|=|若则，则存在唯一实数，使若，且，则设是平面内两向量，则对于平面内任何一向量，都存在唯一一组实数x、y，使成立。若|+|=|则=0。=0，则=或=真命题个数为（ ）A1B2C3D3个以上解析：正确。错误，错误。错误。错误。错误。错误。正确。错误。 答案：B【易错点28】利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时，数形结合
17、的意识不够，忽视隐含条件。例36、四边形ABCD中，且，试问四边形ABCD是什么图形?解：四边形ABCD是矩形【练36】（1）（2003高考江苏）O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P的轨迹一定通过ABC的（ ）A外心B内心C重心D垂心（2）（2005全国卷文科）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点答案：（1）B （2）D 【易错点29】忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。例37、已知中,求答案：故据数量积的定义知.【知识点归类点拔】高中阶段涉及角
18、的概念不少,在学习过程中要明确它们的概念及取值范围,如直线的倾斜角的取值范围是，两直线的夹角的范围是，两向量的夹角的范围是，异面直线所成的角的范围是，直线和平面所成的角的范围是二面角的取值范围是。【易错点30】立体图形的截面问题。例56、正方体-，E、F分别是、的中点，p是上的动点（包括端点），过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是（）A、 线段B、线段C、线段和一点D、线段和一点C。答案：选C【知识点归类点拔】高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行及面面平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中
19、阶段对作截面的方法无非有如下两种：一种是利有平面的基本定理：一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该定理地应用如证明诸线共点的方法：先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平的交线。另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理
20、，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线。一般情况下这两种方法要结合应用。【练56】（1）（2005高考全国卷二）正方体ABCDA1 B1 C1 D1中，P、Q、R、分别是AB、AD、B1 C1的中点。那么正方体的过P、Q、R的截面图形是（）（A）三角形 （B）四边形 （C）五边形 （D）六边形 答案：D （2）在正三棱柱-中，P、Q、R分别是、的中点，作出过三点P、Q、R截正三棱柱的截面并说出该截面的形状。答案：五边形。【易错点31】判断过空间一点及两异面直线成相等的角的直线的条数例57、（93全国考试）如果异面直线a、b所在的角为,P为空间一定点，则过点P及a、b所成的角都是的
21、直线有几条？A、一条 B二条 C三条 D四条解析：如图，过点P分别作a、b的平行线、，则、所成的角也为，即过点P及、成相等的角的直线必及异面直线a、b成相等的角，由于过点P的直线L及、成相等的角故这样的直线L在、确定的平面的射影在其角平分线上，则此时必有当时，有，此时这样的直线存在且有两条当时，有这样的直线不存在。故选B【练57】如果异面直线a、b所在的角为,P为空间一定点，则过点P及a、b所成的角都是的直线有几条？A、一条 B二条 C三条 D四条 答案：C【易错点32】对于两个平面平行的判定定理易把条件误记为“一个平面内的两条相交直线及另一个平面内的两条相交直线分别平行”，容易导致证明过程跨
22、步太大。例59、如图，在正方体中，M、N、P分别是的中点，求证：平面MNP/平面【易错点分析】本题容易证得MN/,MP/BD，而直接由此得出面解析：连结分别是的中点，又同理：【知识点归类点拨】个平面平行问题的判定或证明是将其转化为一个平面内的直线及另一个平面平行的问题，即“线面平行则面面平行”，必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面，定理中的条件缺一不可。【练59】正方体中，（1）M，N分别是棱的中点，E、F分别是棱的中点，求证：E、F、B、D共面；平面AMN/平面EFDB平面/平面证明：（1）则E、F、B、D共面。易证：MN/EF，设连结AC，为正方体，同理可证于是得
23、【易错点33】求异面直线所成的角，若所成角为，容易忽视用证明垂直的方法来求夹角大小这一重要方法。例60、（2001全国9）在三棱柱中，若，则所成角的大小为（ ）A、 B、 C、 D、【易错点分析】忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。【知识点归类点拨】求异面直线所成的角、直线及平面所成的角和二面角时，对特殊的角，如时，可以采用证明垂直的方法来求之。【练60】（2005年浙江12）设M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，于E（如图），现将沿DE折起，使二面角为，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M，N的连线及AE所成的角的大小等于 。解析：易知取AE中点Q，连MQ，BQ，N为B
24、C的中点，即M，N连线及AE成角。【易错点34】在求异面直线所成角，直线及平面所成的角以及二面角时，容易忽视各自所成角的范围而出现错误。【知识点归类点拨】在历届高考中，求夹角是不可缺少的重要题型之一，要牢记各类角的范围，两条异面直线所成的角的范围：；直线及平面所成角的范围：；二面角的平面角的取值范围：。同时在用向量求解两异面直线所成的角时，要注意两异面直线所成的角及两向量的夹角的联系及区别。【易错点35】求点到平面的距离的方法有直接法、等体积法、换点法。例65、（2005年春季上海19）如图，已知正三棱锥PABC的体积为，侧面及底面所成的二面角的大小为。（1） 证明；（2） 求底面中心O到侧面
25、的距离。解析：（1）证明：取BC边的中点D，连结AD、PD，则，故。 （2）解：如图，由（1）可知平面PBC平面APD，则是侧面及底面所成二面角的平面角。过点O做，E为垂足，则OE就是点O到侧面的距离，设OE为h，由题意可知点O在AD上，即底面中心O到侧面的距离为3。【知识点归类点拨】求点到平面的距离一般由该点向平面引垂线，确定垂足，转化为解三角形求边长，或者利用空间向量表示点到平面的垂线段，设法求出该向量，转化为计算向量的模，也可借助体积公式利用等积求高。【易错点36】二面角平面角的求法，主要有定义法、三垂线法、垂面法等。例62、 如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AA1A1C1a，E为BB1的中点，若截面A1EC侧面AC1求截面A1EC及底面A1B1C1所成锐二面角度数答案：所求二面角的度数为45【知识点归类点拨】二面角平面角的作法：（1）垂面法：是指根据平面角的定义，作垂直于棱的平面，通过这个平面和二面角两个面的交线得出平面角。（2）垂线法：是指在二面角的棱上取一特殊点，过此点在二面角的两个半平面内作两条射线垂直于棱，则此两条射线所成的角即为二面角的平面角；（3）三垂线法：是指利用三垂线定理或逆定理作出平面角；第 12 页