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1、函数的值域及最值【基本概念】求函数最值的基本方法：1、配方法（二次函数）2、分离常数法（分式函数）3、反函数法（分式函数）4、基本函数性质法5、换元法换元必换限（无理函数、高次函数等）6、基本不等式法（耐克函数）7、单调性法（单调区间上的值域及最值）8、数形结合法【典型例题】例1：求下列函数的值域。 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。解：（1）解一分离常数法： 解二反函数法：（2）基本函数性质法：又（3）换元法：令，则（4）基本不等式法：令，则当时，当且仅当即时取等号当时，当且仅当即时取等号（5）单调性法：在上单调增且在上单调增在上单调增（6）数形结合法：设、，则设即例
2、2：函数在区间上的值有正有负，求实数a的取值范围。解：令 若显然不符题意若综上所述，例3：已知函数，为在上的最小值，求函数的最大值并画出的图象。解： 即时，在上递增 即时，图5-1 即时，在上递减 综上所述， 图象如图5-1所示，由图象可知例4：根据下列条件，求实数a的值。 （1）函数在区间上有最大值2； （2）函数在区间上有最大值7； （3）函数在区间上有最大值3。解：（1）若则符合题意若则均不符题意（舍）若则符合题意综上所述，或（2）若则不符题意（舍）若则符合题意若则符合题意综上所述，或（3）若此时对称轴符合题意若此时对称轴符合题意若此时对称轴不符题意综上所述，或例5：已知函数在区间上的值
3、域为，求实数a、b的值。解：区间在直线左侧时，在上递减则（舍）区间在直线右侧时，在上递增则（舍）直线落在区间内综上所述，、例6：对于函数若同时满足以下条件：在D上单调递增或单调递减；存在区间，使在上的值域是，则称函数为“闭函数”。 （1）求“闭函数”符合条件的区间；（2）函数是不是“闭函数”？若是，请求出区间；若不是，请说明理由； （3）若函数是“闭函数”，求实数k的取值范围。解：（1）在D上单调递减，则即区间为（2）不是单调函数，故不是“闭函数”（3）由题意知方程有两个不同的实数解例7：已知a为实数，函数。（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值。解：（1）当时为偶函数当时，不具有奇偶性当时若，
4、则在上单调递减若，则当时若，则若，则在上单调递增综上所述，【一讲一练】一、填空题（每空格4分，共40分）1、求下列函数的值域：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 。2、函数在时有最大值2，则 。3、已知函数在区间上的最大值为3、最小值为2，则实数m的取值范围是 。4、若一系列函数的解析式相同、值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数，且值域为的“孪生函数”共有 个。5、若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是 。6、若函数在上有最小值（a、b为非零常数），则函数在上的最大值为 。二、选择题（每小题4分，共16分）7、若函数的值域是，则函数的值域是（ ）(A) (B
5、) (C) (D)8、设函数，是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）(A) (B) (C) (D)9、对，记，函数的最小值是（ ）(A)0 (B) (C) (D)310、若函数对于任意t都有，且在区间上有最大值5、最小值1，则实数m的取值范围是（ ）(A) (B) (C) (D)三、解答题（共44分）11、（本大题有2小题，第1小题4分，第2小题4分，共8分）已知函数。（1）若的定义域为R，求实数m的取值范围；（2）若的值域为R，求实数m的取值范围。12、（本大题有2小题，第1小题5分，第2小题5分，共10分）已知函数，且当时有最小值。（1）求的解析式；（2）求的解集。13、（本大题有2小题
6、，第1小题4分，第2小题8分，共12分）已知函数。（1）解不等式；（2）求在区间上的最大值。14、（本大题有3小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分，共14分）对于定义域为D的函数，如果满足存在区间使得在的值域为，那么函数叫做上的“k级矩形”函数。（1）设函数是上的“1级矩形”函数，求常数a、b的值；（2）是否存在区间使函数在区间上是“k级矩形”函数？若存在，求出常数a、b、k的值，若不存在，请说明理由；（3）设函数是上的“3级矩形”函数，求常数a、b的值。【参考答案】1、（1） （2） （3）（4） （5） 2、3、 4、9 5、 6、57、A 8、C 9、C 10、B11、解：（1）定义域为R （2）值域为R取遍一切正数 时的值域为R符合题意 时12、解：（1）令，则 （2）13、解：（1） （2）函数图象如图5-2所示 时，在上递增时，时，在上递增综上所述，14、解：（1）在上单调递增又在上为“1级矩形”函数a、b是的两个不等实根由（2）假设存在a、b、k使在区间上是“k级矩形”函数则有在上单调递减且值域为又不符合题意不存在a、b、k使在区间上是“k级矩形”函数（3）是上的“3级矩形”函数的值域为当时，在上单调递增，值域为a、b是方程的两个不等实根或（不合题意）当时，在上单调递减，值域为无解当时，综上所述，第 8 页