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1、第一章概率论的基本概念定义：随机试验E的每个结果样本点组成样本空间S，S的子集为E的随机事件，单个样本点为基本事件事件关系：1AB，A发生必导致B发生2AB和事件，A，B至少一个发生，AB发生3AB记AB积事件，A，B同时发生，AB发生4AB差事件，A发生，B不发生，AB发生5AB=，A及B互不相容(互斥)，A及B不能同时发生，基本事件两两互不相容6AB=S且AB=，A及B互为逆事件或对立事件，A及B中必有且仅有一个发生，记B=事件运算：交换律、结合律、分配率略德摩根律：，概率：概率就是n趋向无穷时的频率，记P(A)概率性质:1P()=02(有限可加性)P(A1A2An)=P(A1)+P(A2
2、)+P(An)，Ai互不相容3若AB，则P(BA)=P(B)P(A)4对任意事件A，有5P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)古典概型：即等可能概型，满足：1S包含有限个元素2每个基本事件发生的可能性相同等概公式：超几何分布：，其中条件概率：乘法定理：全概率公式：，其中为S的划分贝叶斯公式：，或独立性：满足P(AB)=P(A)P(B)，则A，B相互独立，简称A，B独立定理一：A，B独立，则P(B|A)=P(B)定理二：A，B独立，则A及，及，及也相互独立第二章 随机变量及其分布(01)分布：，k=0，1 （0p1）伯努利实验：实验只有两个可能的结果：A及二项式分布：记Xb（n，p），n重伯努
3、利实验：独立且每次试验概率保持不变其中A发生k次，即二项式分布泊松分布：记X（），泊松定理：，其中当，应用泊松定理近似效果颇佳随机变量分布函数：，连续型随机变量：，X为连续型随机变量，为X的概率密度函数，简称概率密度概率密度性质：1；2；3；4，f(x)在x点连续；5PX=a=0均匀分布：记XU(a，b)；性质：对acc+lb，有指数分布：；无记忆性：正态分布：记；性质：1f(x)关于x=对称，且P-hX=Pz=，00(或g(x)x1时，F（x2，y）F（x1，y）；y2y1时，F（x，y2）F（x，y1）20F（x，y）1且F（，y）=0，F（x，）=0，F（，）=0，F（+，+）=13F（
4、x+0，y）=F（x，y），F（x，y+0）=F（x，y），即F（x，y）关于x右连续，关于y也右连续4对于任意的(x1，y1)，(x2，y2)，x2x1，y2y1，有Px1Xx2，y10有或，定义：Y1，Y2，Y n ，是一个随机变量序列，a是一个常数若对任意0，有则称序列Y1，Y2，Y n ，依概率收敛于a记伯努利大数定理：对任意0有或其中f A是n次独立重复实验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率中心极限定理定理一：设X1,X2,X n ,相互独立并服从同一分布，且E(X k)=，D(X k)=2 0，则n时有近似的 N(0，1)或N(0，1)或N(，)定理二：设X1,X
5、2,X n ,相互独立且E(X k)= k，D(X k)= k2 0，若存在0使n时，则N(0，1)，记定理三：设，则n时，(0，1)，第六章样本及抽样分布定义：总体：全部值；个体：一个值；容量：个体数；有限总体：容量有限；无限总体：容量无限定义：样本：X1,X2,X n 相互独立并服从同一分布F的随机变量，称从F得到的容量为n的简单随机样本频率直方图：图形：以横坐标小区间为宽，纵坐标为高的跨越横轴的几个小矩形横坐标：数据区间（大区间下限比最小数据值稍小，上限比最大数据值稍大；小区间：均分大区间，组距=大区间/小区间个数；小区间界限：精度比数据高一位）图形特点：外轮廓接近于总体的概率密度曲线纵
6、坐标：频率/组距（总长度：1/；小区间长度：频率/组距）定义：样本p分位数：记xp，有1样本xi中有np个值xp2样本中有n(1p)个值xp箱线图：xp选择：记分位数x0.5，记为Q2或M，称为样本中位数分位数x0.25，记为Q1，称为第一四分位数分位数x0.75，记为Q3，称为第三四分位数图形：min Q1 M Q3 max 图形特点：M为数据中心，区间min，Q1，Q1，M，M，Q3，Q3，max数据个数各占1/4，区间越短数据密集四分位数间距：记IQR=Q3Q1；若数据XQ3+1.5IQR，就认为X是疑似异常值抽样分布：样本平均值：样本方差：样本标准差：样本k阶(原点)矩：，k1样本k阶
7、中心矩：，k2经验分布函数：，表示F的一个样本X1,X2,X n 中不大于x的随机变量的个数自由度为n的2分布：记22（n），其中X1,X2,X n是来自总体N(0，1)的样本E(2 )=n，D(2 )=2n12+222（n1+n2）2分布的分位点：对于040)，其中是标准正态分布的上分位点自由度为n的t分布：记tt (n)，其中XN(0，1)，Y2(n)，X，Y相互独立h(t)图形关于t=0对称；当n充分大时，t分布近似于N(0，1)分布t分布的分位点：对于045时，t (n)z，z是标准正态分布的上分位点自由度为(n1，n2)的F分布：记FF(n1，n2)，其中U2(n1)，V2(n2)，
8、X，Y相互独立1/FF(n2，n1)F分布的分位点：对于01，满足，则称为的上分位点重要性质：F1(n1，n2)=1/F(n1，n2)定理一：设X1,X2,X n 是来自N(，2)的样本，则有，其中是样本均值定理二：设X1,X2,X n 是来自N(，2)的样本，样本均值和样本方差分别记为，则有1；2及相互独立定理三：设X1,X2,X n 是来自N(，2)的样本，样本均值和样本方差分别记为，则有定理四：设X1,X2,X n1 及Y1,Y2,Y n2分别是来自N(1，12)和N(2，22)的样本，且相互独立设这两个样本的样本均值和样本方差分别记为，则有12当12=22=2时，其中，第七章参数估计定
9、义：估计量：，估计值：，统称为估计矩估计法：令=()(k为未知数个数)联立方程组，求出估计设总体X均值及方差2都存在，则有，最大似然估计法：似然函数：离散：或连续：，化简可去掉及无关的因式项即为最大值，可由方程或求得当多个未知参数1，1，k时：可由方程组或（）求得最大似然估计的不变性：若u=u()有单值反函数=(u)，则有，其中为最大似然估计截尾样本取样：定时截尾样本：抽样n件产品，固定时间段t0内记录产品个体失效时间(0t1t2tmt0)和失效产品数量定数截尾样本：抽样n件产品，固定失效产品数量数量m记录产品个体失效时间(0t1t2tm)结尾样本最大似然估计：定数截尾样本：设产品寿命服从指数
10、分布Xe（），即产品平均寿命产品ti时失效概率Pt=tif(ti)d ti，寿命超过tm的概率，则，化简得，由得：，其中s(tm)=t1+t2+tm+(nm)tm，称为实验总时间定时截尾样本：及定数结尾样本讨论类似有s(t0)=t1+t2+tm+(nm)t0，无偏性：估计量的存在且，则称是的无偏估计量有效性：及都是的无偏估计量，若，则较有效相合性：设的估计量，若对于任意有，则称是的相合估计量置信区间：，和分别为置信下限和置信上限，则是的一个置信水平为置信区间，称为置信水平，正态样本置信区间：设X1，X2，Xn是来自总体XN(，2)的样本，则有的置信区间：枢轴量W W分布 a，b不等式 置信水平
11、 置信区间其中z/2为上分位点置信区间的求解：1先求枢轴量：即函数W=W(X1，X2，Xn；)，且函数W的分布不依赖未知参数如上讨论标注2对于给定置信水平，定出两常数a，b使PaW50时，若令，则有置信区间(，）单侧置信区间：若或，称(，)或(，)是的置信水平为的单侧置信区间正态总体均值、方差的置信区间及单侧置信限（置信水平为）待估其他枢轴量W的分布置信区间单侧置信限一个正态总体2已知，2未知，2未知，两个正态总体1212，22已知1212=22=2未知12/221，2未知，单个总体XN(，2)，两个总体XN(1，12)，YN(2，22)第八章假设实验定义：H0：原假设或零假设，为理想结果假设
12、；H1：备择假设，原假设被拒绝后可供选择的假设第类错误：H0实际为真时，却拒绝H0第类错误：H0实际为假时，却接受H0显著性检验：只对犯第第类错误的概率加以控制，而不考虑第类错误的概率的检验P当H0为真拒绝H0，称为显著水平拒绝域：取值拒绝H0临界点：拒绝域边界双边假设检验：H0：=0，H1：0右边检验：H0：0，H1：0左边检验：H0：0，H1：0zz00tt(n1)0zz1212tt(n1+n22)12120222(n1)202222FF(n11，n21)1222120tt(n1)D0D0tt(n1)D=0D0|t|t2(n1)检验方法选择：主要是逐对比较法（成对数据）跟两个正态总体均值差的检验的区别，如上表即7跟3、4的区别，成对数据指两样本X和Y之间存在一一对应关系，而3和4一般指X和Y相互对立，但针对同一实体关系：置信区间及假设检验之间的关系：未知参数的置信水平为1的置信区间及显著水平为的接受域相同定义：施行特征函数(OC函数)：()=P(接受H0)功效函数：1()功效：当*H1时，1(*)的值第 9 页