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1、课 题：空间的平行直线及异面直线(二)教学目的：1. 掌握两异面直线的公垂线和距离的概念；2. 掌握两异面直线所成角及距离的求法3. 能求出一些较特殊的异面直线的距离教学重点：两异面直线的公垂线及距离的概念.教学难点：两异面直线所成角及距离的求法.授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1 空间两直线的位置关系（1）相交有且只有一个公共点；（2）平行在同一平面内，没有公共点；（3）异面不在任何一个平面内，没有公共点；2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么
2、这两个角相等4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.5.空间两条异面直线的画法6异面直线定理：连结平面内一点及平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：及是异面直线7异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小及点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）为了简便，点通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：8异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两条异面直线 垂直，记作9求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找
3、一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出及一条直线平行且及另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求二、讲解新课：两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离两条异面直线的公垂线有且只有一条三、讲解范例：例1 设图中的正方体的棱长为a（1）图中哪些棱所在的直线及直线BA1成异面直线？（2）求直线BA1和CC1所成的角的大小（3）求异面直线BC和AA1的距离解：（l）
4、A1不在平面BC1，而点B和直线CC1都在平面BC1内，且BCC1.直线BA1及CC1是异面直线同理，直线C1D1、D1D、DC、AD、B1C1都和直线BA1成异面直线（2）CC1BB1BA1和BB1所成的锐角就是BA1和CC1所成的角A1BB1=45，BA1和CC1所成的角是45（3）ABAA1，ABAA1=A，又ABBC，ABBC=B，AB是BC和AA1的公垂线段AB=a，BC和AA1的距离是a说明：本题是判定异面直线，求异面直线所成角及距离的综合题，解题时要注意书写规范例2 已知分别是空间四边形四条边的中点，（1）求证四边形是平行四边形（2）若ACBD时，求证：为矩形；（3）若BD=2，
5、AC=6，求；（4）若AC、BD成30角，AC=6，BD=4，求四边形的面积；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC及BD间的距离.证明（1）：连结，是的边上的中点，同理，同理，所以，四边形是平行四边形证明（2）：由（1）四边形是平行四边形由ACBD得，为矩形.解（3）：由（1）四边形是平行四边形BD=2，AC=6，由平行四边形的对角线的性质 .解（4）：由（1）四边形是平行四边形BD=4，AC=6，又，AC、BD成30角，EF、EH成30角，四边形的面积 .解（5）：分别取AC及BD的中点M、N,连接MN、MB、MD、NA、NC，AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，MBM
6、DNANCMN是AC及BD的公垂线段且 AC及BD间的距离为. 例3 平行四边形ABCD的内角C=60,CD=2BC,沿对角线BD将平行四边形所在平面折成直二面角;求AC、BD所成的角.翰林汇解：如图,折起前,A=C=60,AD=BC=a,AB=DC=2a.由余弦定理得BD2=a24a2a2a=3a2,BD=.AD2BD2=AB2, ABD是直角三角形.即ADB=90.同理DBC=90.折起后ADB=CBD=90.如图,过A作AEBD,连结AC、CE、BE,四边形AEBD是矩形,BDBE,DBBC.CBE是二面角ABDC的平面角.CBE=90,EC2=2a2.DB平面EBC,DBEC.AEEC
7、,AC2=AE2EC2=5a2,由AEBD得CAE，即为AC及BD所成的角.在RtAEC中,cosCAE=.于是AC及BD所成角为arccos.翰林汇例4 空间四边形中，分别是的中点，求异面直线所成的角解：取中点，连结，分别是的中点，且，异面直线所成的角即为所成的角，在中，异面直线所成的角为说明：异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形内角是钝角时，表示异面直线所成的角是它的补角例5 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求(1)A1B及B1D1所成角;(2)AC及BD1所成角.翰林汇解(1)如图,连结BD,A1D,ABCD-A1B1C1D1是正方体,DD1平行且相等BB1.DBB1D1为平行四边
8、形,BD/B1D1.A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.A1B=BD=A1D,A1BD是正三角形,A1BD=60o,A1BD是锐角,A1BD是异面直线A1B及B1D1所成的角.A1B及B1D1成角为60o.(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.O为BD中点,OE/BD1.EDA=90o=EDC,ED=ED,AD=DC,EDAEDC,EA=EC.在等腰EAC中,O是AC的中点,EOAC,EOA=90o.又EOA是异面直线AC及BD1所成角,AC及BD成角90o. 翰林汇例6在长方体中，已知AB=a，BC=b，=c(ab)，求异面直线及AC所成角的余弦值 解：在长方
9、体的一旁，补上一个全等的长方体，则BEAC，（或其补角）即和CD所的角 及AC所成角的余弦值为.翰林汇四、课堂练习：1判断题（对的打“”，错的打“”） （1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条（ ） （2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则ABCD（ ） （3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60（ ） （4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直（ ）答案：（1） （2） （3） （4） EAFBCMND2右图是正方体平面展开图，在这个正方体中BM及ED平行；CN及BE是异面直线；CN及BM成60角；DM及BN垂直. 以上四个命题
10、中，正确命题的序号是（ ）（A）（B）（C）（D）答案：C3已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC及BD是异面直线;(2)若ACBD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;(3)若ABBCCDDA,作出异面直线AC及BD的公垂线段.翰林汇证明：(1)ABCD是空间四边形,A点不在平面BCD上,而C平面BCD,AC过平面BCD外一点A及平面BCD内一点C,又BD平面BCD,且CBD.AC及BD是异面直线.(2)解如图,E,F分别为AB,BC的中点,EF/AC,且EF=AC.同理HG/AC,且HG=AC.EF平行且相等HG,EFGH是平行四边形
11、.又F,G分别为BC,CD的中点,FG/BD,EFG是异面直线AC及BD所成的角.ACBD,EFG=90o.EFGH是矩形.(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.4完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Ec求证：BD和AE是异面直线证明：假设_ 共面于g，则点A、E、B、D都在平面_内 QAa，Da，_.QPa，P_.QPb，Bb，Pc，Ec _g，_g，这及_矛盾BD、AE_ 翰林汇答案：假设BD、AE共面于g，则点A、E、B、D都在平面 g 内Aa，Da， a g.Pa，P g .Pb，Bb，Pc，Ec. b g，c g，这及a、b、c不共面矛盾BD、AE是异面直线翰林五、小结 ：本节课我们学习了两条异面直线所成的角，以及两条异面直线间的距离和有关概念并学会如何求两条异面直线所成角及距离，懂得将其转化为平面几何问题来解决 空间四边形的中点四边形为平行四边形、矩形、菱形的条件，以及及对角线的长度夹角有关的问题的解法 六、课后作业： 七、板书设计（略）八、课后记：第 6 页