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1、新课标数学思维同步训练六年级上册第七单元 圆及扇形（二）【教学目标】1能熟练应用圆及扇形的周长和面积计算方法，解决及圆有关的组合图形的周长和面积问题。2能运用割补、平移、旋转等方法巧妙转化图形，解决及圆有关的实际问题。3通过解决及圆有关的实际问题，进一步提高运用“转化方法”解决问题的能力。【教学重难点】重点：应用圆及扇形的周长和面积计算方法，解决及圆有关的组合图形的周长和面积问题。 难点：在解决及圆有关的实际问题中，理解割补、平移、旋转等转化图形的方法。【教学过程】一、引入。如图，这是小明为自己家设计的一个花坛平面图，他准备在阴影部分种上自己最喜欢的月季花，妈妈让他计算一下种月季花的面积是多少
2、，小明很快就算了出来。现在知道正方形的边长是6米，你知道小明是怎样算的吗？这是一个由半圆和正方形组合而成的图形，要想解决问题首先应明确图形是怎样画出来的。首先画了一个边长6米的正方形，然后以每条边为直径画了四个半圆，阴影是四个半圆重叠的部分。方法一：分。如图，将阴影分成四部分，根据上一讲学习的方法，我们能计算出每部分的面积。3.14（）22-（）2=5.13（平方米）阴影部分的面积是：5.134=20.52（平方米）方法二：整体考虑。根据图形的画法，阴影部分等于四个半圆的面积和减去正方形的面积。 3.14（）24-62=20.52（平方米）这一讲我们继续研究圆及扇形的周长和面积问题。二、探索新
3、知。（一）学习例1。1出示例题。例1：如图计算阴影部分的面积。2观察图，理解图形的画法。观察图可以看出，图形是先画了一个边长6米的正方形，又分别以相对的两个顶点为圆心、以边长为半径画了两个圆心角是直角的扇形。我们可以直接计算两块阴影部分的面积，也可以先计算出空白部分的面积，再用总面积减空白面积。3学生独立解决问题。方法一：先求出正方形的面积，再求圆心角是直角的扇形面积，用正方形的面积减去扇形面积，即得阴影面积的一半，再乘以2就是阴影部分的面积。（663.1466）2=（3628.26）2=7.742=15.48（平方厘米）方法二：因为一个正方形的面积减去一个圆心角是直角的扇形面积，即得阴影面积
4、的一半，所以两个正方形的面积减去两个扇形的面积即得阴影部分的面积。6623.1466=7256.52=15.48（平方厘米）方法三：先求出两个圆心角是直角的扇形面积和，即半圆的面积，再求正方形的面积，用半圆的面积减去正方形的面积，即得空白部分的面积。再用正方形的面积减去空白部分的面积，即得阴影部分的面积。66（3.146666）=36（56.5236）=3620.52=15.48（平方厘米）方法四：先求出一个圆心角是直角的扇形面积，再求出直角三角形ABC或ADC的面积，用扇形的面积减去一个直角三角形的面积，即得空白面积的一半，再乘以2即得空白部分的面积，最后用正方形的面积减去空白部分的面积，即
5、得阴影部分的面积。66（3.146666）2=36（28.2618）2=3610.262=3620.52=15.48（平方厘米）答：阴影部分的面积是15.48平方厘米。4方法点拨。上面介绍了四种分析方法，每种思路都是寻找正方形、扇形、直角三角形及阴影部分的关系，前两种方法直接计算阴影部分的面积，后两种方法先求出空白部分的面积，再利用空白部分面积算阴影面积。（二）学习例2。1出示例题。例2：如下图（单位：厘米），求阴影部分的面积。2观察图，理解图形的画法。观察图，可以看出先画了一个圆心角是直角、半径为2厘米的扇形，然后以扇形的两条半径为直径画了两个半圆。如果直接考虑计算阴影部分的面积，会很困难。
6、我们可以用整体考虑的方法，用总面积减去空白面积。也可以寻找转化图形的方法。3引导学生解决问题。方法一：把此图分成如下图形状。由图可知：阴影部分的面积等于整个扇形的面积减去两个空白的小扇形的面积，再减去小正方形中两个空白的面积。大扇形的面积：3.1422=3.14（平方厘米）两个空白小扇形的面积是：3.14（22）22=1.57（平方厘米）小正方形中两空白处的面积是：（22）23.14（22）22=0.43（平方厘米）阴影部分的面积是：3.14-1.57-0.43=1.14（平方厘米）方法二：因为原图中阴影部分可以通过分割、旋转转化成下图中的阴影部分，所以阴影部分面积等于大扇形面积减去三角形的面
7、积。3.142222=3.142=1.14（平方厘米）答：阴影部分的面积是1.14平方厘米。4方法点拨。本题介绍了两种分析方法，第一种方法还是先计算出空白部分的面积，由于空白部分是不规则图形，不易直接计算面积，所以先通过添加辅助线把它分成四部分；第二种方法通过巧妙地分割、旋转，把阴影部分转化成了一个弓形。（三）学习例3。1出示例题。例3：下图中的两个正方形的边长分别是12厘米和10厘米，求图中阴影部分的面积。2观察图，理解图形的画法。这是一个组合图形，先画了两个边长为10厘米、12厘米的正方形，然后在大正方形内画了一个以边长为半径、圆心角是直角的扇形。我们很难直接计算出阴影部分的面积，可以从整
8、体考虑，用总面积减去空白面积。也可以寻找转化图形的方法。3引导学生解决问题。方法一：先求出直角梯形ABCE的面积和圆心角为ECG的扇形面积之和，然后减去三角形ABG的面积，就是阴影部分的面积。直角梯形ABCE的面积：（1012）102=110（平方厘米）扇形ECG的面积：3.14122=113.04（平方厘米）直角三角形ABG的面积：（1012）102=110（平方厘米）阴影部分的面积：110113.04110=113.04（平方厘米）方法二：如图，连接AC、EG，则四边形ACGE为梯形，因为CE和AG是梯形的两条对角线，所以三角形AOE和三角形OCG的面积相等，因此，求阴影部分的面积可以转化
9、为求扇形ECG的面积。（如图）所以，阴影部分的面积为：3.14122=113.04（平方厘米）答：阴影部分的面积是113.04平方厘米。4方法点拨。 上面介绍了两种分析方法，方法一是整体考虑，用总面积减去空白面积，这是我们计算组合图形的面积经常采用的方法。方法二则是灵活转化图形，转化图形需要我们准确把握图形的特征，灵活地运用以前所学习的基础知识。（四）学习例4。1出示例题。例4：如图，求阴影部分的面积（单位：厘米）2观察图，理解图形的画法。 观察图，容易看出先画了一个直角边是20厘米的等腰直角三角形，然后分别以三角形的三个顶点为圆心、以三角形的内角为圆心角画了三个半径10厘米的扇形。我们可以整
10、体考虑，用总面积减去空白部分的面积。3引导学生解决问题。方法一：从图中条件可知，三角形为等腰直角三角形，所以两个锐角都是45。因此用三角形的面积分别减去三个扇形的面积，即得阴影面积。（1010）（1010）245290=202023.14253.1425=20078.578.5=43（平方厘米）方法二：因为三个空白扇形恰好拼成180的扇形，所以用三角形的面积减去圆心角是180的扇形面积，即得阴影部分的面积。（1010）（1010）2180=202023.1410102=200-157=43（平方厘米）答：阴影部分的面积是43平方厘米。4方法点拨。例4介绍了两种分析方法，第一种方法是利用等腰直角
11、三角形的特征直接计算三个扇形的面积，用总面积减去扇形面积。第二种方法利用了三角形内角和是180，把三个空白扇形拼成了一个圆心角是180的扇形。（五）学习例5。1出示例题。例5：如图，阴影部分的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）2观察图，理解图形的画法。观察图可以看出，先画了一个边长40厘米的正方形，再以正方形的边长为半径画了一个圆心角是90的扇形，最后以正方形的边长为半径画了一个半圆，阴影部分是扇形和半圆面积的差。3引导学生解决问题。方法一：用大直角扇形的面积减去半圆的面积。 3.14402- 3.14（）2=628（平方厘米）方法二：从大小圆的半径关系来看，大圆半径是小圆半径的2倍，所以大圆
12、面积正好是小圆面积的4倍。所以，大圆（图中直角扇形）面积就是小圆的面积，即图中半圆面积的2倍，进而可知，图中阴影部分的面积正好是半圆的面积。阴影部分的面积是：3.14（）2=3.14200=628（平方厘米）答：阴影部分的面积是628平方厘米。4方法点拨。在例5的分析中，我们巧妙的利用“大圆的半径是小圆半径的2倍时，大圆的面积是小圆面积的4倍”这一规律，使计算更加简便。（六）学习例6。1出示例题。例6：如图，等边三角形的边长是10厘米，阴影部分的周长是多少厘米?2学生独立理解题意。 观察图思考问题：阴影部分的周长包括哪几部分？等边三角形的每个内的角都是60度，因此图中阴影部分是由三个圆心角是6
13、0度的扇形组成的。观察阴影部分周长的组成，不难发现可以分成两类：线段的长度和弧的长度。线段的长度就是等边三角形的周长；弧的长度是三个扇形的弧的长度之和。3学生独立解决问题。利用“三角形内角和是180度”这一性质，可将三条弧长拼成圆周长的一半（如下图）。1033.1410=3015.7=45.7（厘米）答：阴影部分的周长是45.7厘米。4方法点拨。例6通过转化图形，把求阴影部分的周长转化成了求等边三角形的周长及圆周长的一半之和。三、练习应用。1如图,已知圆心是O,半径r =9厘米,1=2=15,那么阴影部分的面积是多少平方厘米? 2如图，圆的半径是8厘米，求阴影部分的面积。3图中直角梯形的面积是80平方厘米，挖去四个半径都为3厘米的扇形后，求阴影部分的面积。4已知右图中大正方形边长是6厘米,求阴影部分的面积。5如图：半圆ACB旋转45所组成的图形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。6长方形ABCD长AD为20厘米，宽AB为10厘米，连结AD和BC的中点E、F及对角线交于O。以E为圆心，EF长为半径画FD（如右图），求阴影部分的面积。第 6 页