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1、因动点产生的相似三角形问题例1 2018上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k0）及直线yx2都经过点A(2, m) （1）求k及m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC及直线yx2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线yx2及y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形及ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标图1 例2 2017年武汉市中考第24题如图1，RtABC中，ACB90，AC6 cm，BC8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动
2、，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0t2），连接PQ（1）若BPQ及ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQCP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在ABC的一条中位线上图1 图2例3 2017年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线（b是实数且b2）及x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），及y轴的正半轴交于点C（1）点B的坐标为_，点C的坐标为_（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；
3、如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由图1例4 2018年黄冈市中考模拟第25题如图1，已知抛物线的方程C1： (m0)及x轴交于点B、C，及y轴交于点E，且点B在点C的左侧（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BHEH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形及BCE相
4、似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由图1例5 2017年义乌市中考第24题如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代数式表示x2x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度
5、沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以及点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形及直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由图1 图2例6 2017年临沂市中考第26题如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形及OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；
6、若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标图1因动点产生的相似三角形问题答案例1 2018上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k0）及直线yx2都经过点A(2, m) （1）求k及m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC及直线yx2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线yx2及y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形及ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标图1 动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖
7、动点E在射线CB上运动，可以体验到，ACE及ACD相似，存在两种情况思路点拨1直线AD/BC，及坐标轴的夹角为452求ABC的面积，一般用割补法3讨论ACE及ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程满分解答（1）将点A(2, m)代入yx2，得m4所以点A的坐标为(2, 4)将点A(2, 4)代入，得k8（2）将点B(n, 2)，代入，得n4所以点B的坐标为(4, 2)图2设直线BC为yxb，代入点B(4, 2)，得b2所以点C的坐标为(0,2)由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距
8、离都是4所以AB，BC，ABC90 所以SABC8 （3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,2)，得AD，AC由于DACACD45，ACEACD45，所以DACACE所以ACE及ACD相似，分两种情况：如图3，当时，CEAD此时ACDCAE，相似比为1如图4，当时，解得CE此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)图3 图4考点伸展第（2）题我们在计算ABC的面积时，恰好ABC是直角三角形一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法如图5，作ABC的外接矩形HCNM，MN/y轴由S矩形HCNM24，SAHC6，SAMB2，SBCN8，得SABC8图5例
9、2 2017年武汉市中考第24题如图1，RtABC中，ACB90，AC6 cm，BC8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0t2），连接PQ（1）若BPQ及ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQCP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在ABC的一条中位线上图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14武汉24”，拖动点P运动，可以体验到，若BPQ可以两次成为直角三角形，及ABC相似当AQCP时，ACQCDPPQ的中点H在ABC的中位线EF上思路点拨1BPQ及
10、ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程2作PDBC于D，动点P、Q的速度，暗含了BDCQ3PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然满分解答（1）RtABC中，AC6，BC8，所以AB10BPQ及ABC相似，存在两种情况： 如果，那么解得t1 如果，那么解得图3 图4（2）作PDBC，垂足为D在RtBPD中，BP5t，cosB，所以BDBPcosB4t，PD3t当AQCP时，ACQCDP所以，即解得图5 图6（3）如图4，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E由于H是PQ的中点，HF/PD，所以F是QD的中点又因为BDCQ4t，所以BF
11、CF因此F是BC的中点，E是AB的中点所以PQ的中点H在ABC的中位线EF上考点伸展本题情景下，如果以PQ为直径的H及ABC的边相切，求t的值如图7，当H及AB相切时，QPAB，就是，如图8，当H及BC相切时，PQBC，就是，t1如图9，当H及AC相切时，直径，半径等于FC4所以解得，或t0（如图10，但是及已知0t2矛盾）图7 图 8 图9 图10例3 2017年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线（b是实数且b2）及x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），及y轴的正半轴交于点C（1）点B的坐标为_，点C的坐标为_（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使
12、得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在OQAB的时刻，也存在OQAB的时刻思路点拨1第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两
13、坐标轴的距离相等2联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A及x轴垂直的直线上满分解答（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0, )（2）如图2，过点P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E，那么PDBPEC因此PDPE设点P的坐标为(x, x)如图3，联结OP所以S四边形PCOBSPCOSPBO2b解得所以点P的坐标为()图2 图3（3）由，得A(1, 0)，OA1如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么OQCQOA当，即时，BQAQOA所以解得所
14、以符合题意的点Q为()如图5，以OC为直径的圆及直线x1交于点Q，那么OQC90。因此OCQQOA当时，BQAQOA此时OQB90所以C、Q、B三点共线因此，即解得此时Q(1,4)图4 图5考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而QOA及QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据QOA及QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置如图中，圆及直线x1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这及OB4OC矛盾例4 2018年黄冈市中考模拟第25题如图1，已
15、知抛物线的方程C1： (m0)及x轴交于点B、C，及y轴交于点E，且点B在点C的左侧（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BHEH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形及BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC及BF保持平行，但是BFC在无限远处也不等于45观察右图，可以体验到，CBF保持45，存在BFCBCE的
16、时刻思路点拨1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BHEH最小2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作CBFEBC45，或者作BF/EC再用含m的式子表示点F的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程满分解答（1）将M(2, 2)代入，得解得m4（2）当m4时，所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x1，当H落在线段EC上时，BHEH最小设对称轴及x轴的交点为P，那么因此解得所以点H的坐标为（4）如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FFx轴于F由于BCEFBC，所以当，即时，BCEFBC设点F的坐
17、标为，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程无解图2 图3 图4如图4，作CBF45交抛物线于F，过点F作FFx轴于F，由于EBCCBF，所以，即时，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由，得解得综合、，符合题意的m为考点伸展第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长例5 2017年义乌市中考第24题如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA
18、、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代数式表示x2x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以及点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形及直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三
19、角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2x1随S的增大而减小双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果GAFGQE，那么GAF及GQE相似思路点拨1第（2）题用含S的代数式表示x2x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2y13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB及x
20、轴的夹角不变，直线AB及抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ及AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M（1，）（2） 梯形O1A1B1C1的面积，由此得到由于，所以整理，得因此得到当S=36时， 解得 此时点A1的坐标为（6，3）（3）设直线AB及PQ交于点G，直线AB及抛物线的对称轴交于点E，直线PQ及x轴交于点F，那么要探求相似的GAF及GQE，有一个公共角G在GEQ中，GEQ是直线AB及抛物线对称轴的夹角，为定值在GAF中，GAF是直线AB及x轴的夹角，也为定值，而且GEQGAF因此只存在GQEG
21、AF的可能，GQEGAF这时GAFGQEPQD由于，所以解得图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3例6 2017年临沂市中考第26题如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形及OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D
22、的坐标图1动感体验 请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“ P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示PAM及OAC相似的三个情景双击按钮“第(3)题”， 拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，DCA的面积最大思路点拨1已知抛物线及x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA满分解
23、答 （1）因为抛物线及x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的 坐标（0，2），解得所以抛物线的解析式为（2）设点P的坐标为如图2，当点P在x轴上方时，1x4，如果，那么解得不合题意如果，那么解得此时点P的坐标为（2，1）如图3，当点P在点A的右侧时，x4，解方程，得此时点P的坐标为解方程，得不合题意如图4，当点P在点B的左侧时，x1，解方程，得此时点P的坐标为解方程，得此时点P及点O重合，不合题意综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或或图2 图3 图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E直线AC的解析式为设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为所以因此当时，DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D点构造矩形OAMN，那么DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去CDN和ADM的面积设点D的横坐标为（m，n），那么由于，所以第 10 页