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1、2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合A=x|x|2，B=2，0，1，2，则AB=（A）0，1（B）1，0，1（C）2，0，1，2（D）1，0，1，2（2）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）（B）（C）（D）
2、（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率及它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（A） （B）（C） （D）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A）1（B）2 （C）3（D）4（6）设a，b均为单位向量，则“”是“ab”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）在平面直角坐标系中，记d为点P（cos，sin）到直
3、线的距离，当，m变化时，d的最大值为（A）1（B）2（C）3（D）4（8）设集合则（A）对任意实数a，（B）对任意实数a，（2，1）（C）当且仅当af（0）对任意的x（0，2都成立，则f（x）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是_（14）已知椭圆，双曲线若双曲线N的两条渐近线及椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）在ABC中，a=7，b=8，cosB=（）求A；（）求AC边上的高（16）（本小题14分）如图，在三棱柱ABC中，平面ABC
4、，D，E，F，G分别为，AC，的中点，AB=BC=，AC=2（）求证：AC平面BEF；（）求二面角BCDC1的余弦值；（）证明：直线FG及平面BCD相交（17）（本小题12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数及该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的
5、概率；（）假设每类电影得到人们喜欢的概率及表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）写出方差，的大小关系（18）（本小题13分）设函数=（）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线及轴平行，求a；（）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围（19）（本小题14分）已知抛物线C：=2px经过点（1，2）过点Q（0，1）的直线l及抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N（）求直线l的斜率的取值范围；（）设O为原点，求证：为定值（20）（本小题14分）设n为正整数，集合A=对于集合A中的
6、任意元素和，记M（）=（）当n=3时，若，求M（）和M（）的值；（）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数求集合B中元素个数的最大值；（）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（）=0写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题（1）A（2）D（3）B（4）D（5）C（6）C（7）C（8）D二、填空题（9）（10）（11）（12）3（13）=sinx（答案不唯一）（14）三、解答题（15）（共13分）解：（）在ABC中
7、，cosB=，B（，），sinB=由正弦定理得=，sinA=B（，），A（0，），A=（）在ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=如图所示，在ABC中，sinC=，h=，AC边上的高为（16）（共14分）解：（）在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，四边形A1ACC1为矩形又E，F分别为AC，A1C1的中点，ACEFAB=BCACBE，AC平面BEF（）由（I）知ACEF，ACBE，EFCC1又CC1平面ABC，EF平面ABCBE平面ABC，EFBE如图建立空间直角坐标系E-xyz由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F
8、（0，0，2），G（0，2，1）设平面BCD的法向量为，令a=2，则b=-1，c=-4，平面BCD的法向量，又平面CDC1的法向量为，由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为（）由（）知平面BCD的法向量为，G（0，2，1），F（0，0，2），及不垂直，GF及平面BCD不平行且不在平面BCD内，GF及平面BCD相交（17）（共12分）解：（）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是2000.25=50故所求概率为（）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B为“从第五类电
9、影中随机选出的电影获得好评”故所求概率为P（）=P（）+P（）=P（A）（1P（B）+（1P（A）P（B）由题意知：P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2故所求概率估计为0.250.8+0.750.2=0.35（18）（共13分）解：（）因为=，所以f （x）=2ax（4a+1）ex+ax2（4a+1）x+4a+3ex=ax2（2a+1）x+2exf (1)=(1a)e由题设知f (1)=0，即(1a)e=0，解得a=1此时f (1)=3e0所以a的值为1（）由（）得f （x）=ax2（2a+1）x+2ex=（ax1）(x2)ex若a，则当x(，2)时，f (x)0所以f (x)在x=2
10、处取得极小值若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10所以2不是f (x)的极小值点综上可知，a的取值范围是（，+）（19）（共14分）解：（）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k0）由得依题意，解得k0或0k1又PA，PB及y轴相交，故直线l不过点（1，-2）从而k-3所以直线l斜率的取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1）（）设A（x1，y1），B（x2，y2）由（I）知，直线PA的方程为令x=0，得点M的纵坐标为同理得点N的纵坐标为由，得，所以所以为定值
11、（20）（共14分）解：（）因为=（1，1，0），=（0，1，1），所以M(，)=(1+1|11|)+(1+1|11|)+(0+0|00|)=2，M(，）=(1+0|10|)+(1+1|11|)+(0+1|01|)=1（）设=（x1，x 2，x3，x4）B，则M(，）= x1+x2+x3+x4由题意知x1，x 2，x3，x40，1，且M(，)为奇数，所以x1，x 2，x3，x4中1的个数为1或3所以B(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0).将上述集合中的元素分成如下四组： （
12、1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).经验证，对于每组中两个元素，均有M(，）=1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素所以集合B中元素的个数不超过4.又集合（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)满足条件，所以集合B中元素个数的最大值为4.（）设Sk=( x1，x 2，xn）|( x1，x 2，xn）A，xk=1，x1=x2=xk1=0)（k=1，2，n)，Sn+1=( x1，x 2，xn）| x1=x2=xn=0，则A=S1S1Sn+1对于Sk（k=1，2，n1）中的不同元素，经验证，M(，)1.所以Sk（k=1，2 ，n1）中的两个元素不可能同时是集合B的元素所以B中元素的个数不超过n+1.取ek=( x1，x 2，xn）Sk且xk+1=xn=0（k=1，2，n1）.令B=（e1，e2，en1）SnSn+1，则集合B的元素个数为n+1，且满足条件.故B是一个满足条件且元素个数最多的集合第 9 页