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1、特殊平行四边形1.(2021德州)下列选项中能使ABCD成为菱形的是()A.AB=CDB.AB=BCC.BAD=90 D.AC=BD2.(2021烟台)如图在直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上,若点B的坐标为(-1,0),BCD=120,则点D的坐标为()A.(2,2)B.(3,2)C.(3,3) D.(2,3) 3.(2021常德)如图已知F,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的中点,AE与DF交于点P,则下列结论成立的是()A.BE=12AEB.PC=PDC.EAF+AFD=90D.PE=EC4.(2020广州)如图矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC
2、=8,过点O作OEAC,交AD于点E,过点E作EFBD,垂足为F,则OE+EF的值为()A.485B.325C.245D.125 5.(2021黔西南州)如图在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,CE,DF交于点G,连接AG.有下列结论:CE=DF;CEDF;AGE=CDF.其中正确的结论是()A.B.C.D.6.(2021威海)如图在正方形ABCD中,AB=2,E为边AB上一点,F为边BC上一点.连接DE和AF交于点G,连接BG.若AE=BF,则BG的最小值为.7.(2021镇江)如图四边形ABCD是平行四边形,延长DA,BC,使得AE=CF,连接BE,DF.(1)求证:ABEC
3、DF;(2)连接BD,1=30,2=20,当ABE=时,四边形BFDE是菱形. 8.(2021邵阳)如图在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF.连接DE,DF,BE,BF.(1)求证:ADECBF;(2)若AB=42,AE=2,求四边形BEDF的周长. 9.(2021玉林)如图在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,已知OA=OC,OB=OD,过点O作EFBD,分别交AB,DC于点E,F,连接DE,BF,AF.(1)求证:四边形DEBF是菱形;(2)设ADEF,AD+AB=12,BD=43,求AF的长. 10.(2021哈尔滨)已知四边形
4、ABCD是正方形,点E在边DA的延长线上,连接CE交AB于点G,过点B作BMCE,垂足为M,BM的延长线交AD于点F,交CD的延长线于点H.(1)如,求证:CE=BH;(2)如图,若AE=AB,连接CF,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中的四个三角形(AEG除外),使写出的每个三角形都与AEG全等. 答案特殊平行四边形1.B2.D 在菱形ABCD中,BCD=120,ABC=60.B(-1,0),OB=1,AB=2,OA=3,AD=AB=2,D(2,3).故选D.3.C F,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的中点,AF=BE.在AFD和BEA中,AF=BE,DAF=ABE=90,AD
5、=BA,AFDBEA(SAS),FDA=EAB.又FDA+AFD=90,EAB+AFD=90,即EAF+AFD=90,故C项正确,A,B,D项无法证明其成立.故选C.4.C AB=6,BC=8,矩形ABCD的面积为48,AC=AB2+BC2=10,AO=DO=12AC=5.对角线AC,BD交于点O,AOD的面积为12.EOAO,EFDO,SAOD=SAOE+SDOE,即12=12AOEO+12DOEF,12=125EO+125EF,5(EO+EF)=24,EO+EF=245.故选C.5.D 四边形ABCD是正方形,AB=BC=CD=AD,B=BCD=90.E,F分别是AB,BC的中点,BE=1
6、2AB,CF=12BC,BE=CF.在CBE与DCF中,BC=CD,B=FCD,BE=CF,CBEDCF(SAS),ECB=FDC,CE=DF,故正确;BCE+ECD=90,ECD+CDF=90,CGD=90,CEDF,故正确;EGD=90.如图,延长CE交DA的延长线于点H,易得AHE=BCE.E是AB的中点,AE=BE.AHE=BCE,AEH=BEC,AE=BE,AEHBEC(AAS),BC=AH=AD.在RtHGD中,AH=AD,AG=12DH=AD,ADG=AGD.AGE+AGD=90,CDF+ADG=90,AGE=CDF.故正确.故选D.6.5-1 如图,取AD的中点T,连接BT,G
7、T,则DT=AT.四边形ABCD是正方形,AD=AB=2,DAE=ABF=90.在DAE和ABF中,DA=AB,DAE=ABF,AE=BF,DAEABF(SAS),ADE=BAF.BAF+DAF=90,EDA+DAF=90,AGD=90.又DT=AT,GT=12AD=1,BT=AT2+AB2=12+22=5,BGBT-GT,BG5-1,故BG的最小值为5-1.故答案为5-1.7.解:(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,BAD=BCD,1=DCF.在ABE和CDF中,AE=CF,1=DCF,AB=CD,ABECDF(SAS).(2)当ABE=10时,四边形BFDE是菱形.理由如下
8、:ABECDF,BE=DF,AE=CF,BF=DE,四边形BFDE是平行四边形.1=30,2=20,ABD=1-2=10.ABE=10,DBE=20,DBE=2=20,则BE=DE,BFDE是菱形.故答案为10.8.解:(1)证明:由正方形对角线平分每一组对角可知:DAE=BCF=45.在ADE和CBF中,AD=CB,DAE=BCF,AE=CF,ADECBF(SAS).(2)AB=AD=42,BD=AB2+AD2=(42)2+(42)2=8.由正方形对角线相等且互相垂直平分可得AC=BD=8,DO=BO=4,OA=OC=4,ACBD.又AE=CF=2,OA-AE=OC-CF,即OE=OF=4-
9、2=2,故四边形BEDF为菱形.DOE=90,DE=DO2+EO2=42+22=25,4DE=85.故四边形BEDF的周长为85.9.解:(1)证明:OA=OC,OB=OD,四边形ABCD为平行四边形,ABCD,ABD=CDB.在BOE和DOF中,EBO=FDO,OB=OD,BOE=DOF,BOEDOF(ASA),BE=DF.BEDF,四边形DEBF是平行四边形.EFBD,四边形DEBF是菱形.(2)过点F作FGAB于点G,如图.ADEF,EFBD,ADB=90,在RtABD中,AD2+BD2=AB2.AD+AB=12,BD=43,AD2+(43)2=(12-AD)2,解得AD=4,AB=8,ABD=30.四边形DEBF是菱形,EBF=2ABD=60,BEF是等边三角形.OB=OD,EFAD,AE=BE=4.FGBE,EG=BG=2.在RtBGF中,BF=4,BG=2,根据勾股定理,得FG=42-22=23.在RtAGF中,AG=6,根据勾股定理,得AF=AG2+FG2=62+(23)2=43.10.解:(1)证明:四边形ABCD是正方形,BC=CD,BCD=ADC=90.BMCE,HMC=ADC=90,H+HCM=90=E+ECD,H=E.在EDC和HCB中,E=H,EDC=HCB=90,CD=BC,EDCHCB(AAS),CE=BH.(2)BCG,DCF,DHF,ABF.