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1、高数函数的极限第1页，此课件共33页哦在十八世纪，著名人口学家马尔萨斯提出，如果在十八世纪，著名人口学家马尔萨斯提出，如果人口的数量按照等比级数增长，最终地球将无法承受人口的数量按照等比级数增长，最终地球将无法承受人类的生存。人类的生存。用数学的语言叙述这个论断：用数学的语言叙述这个论断：(1+(1+)x =+，其中其中是大于是大于 0 0 的常数。的常数。这个问题属于函数极限的范畴。这个问题属于函数极限的范畴。例如：例如：整标函数整标函数第2页，此课件共33页哦一、函数极限的定义 在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的常数，那么
2、这个确定的数值无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的数叫做自变量在这一变化过程中叫做自变量在这一变化过程中函数的极限函数的极限。下面，我们将主要研究以下两种情形：下面，我们将主要研究以下两种情形：第3页，此课件共33页哦1.自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限第4页，此课件共33页哦通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.第5页，此课件共33页哦第6页，此课件共33页哦几几何解释何解释:直线 y=A 为曲线的水平渐近线(horizontal asymptote)第7页，此课件共33页哦例例1
3、.证明证证:取因此注注:就有故欲使即第8页，此课件共33页哦另两种情形另两种情形:称为单侧极限称为单侧极限第9页，此课件共33页哦直线 y=A 仍是曲线 y=f(x)的渐近线.几何意义几何意义:都有水平渐近线都有水平渐近线第10页，此课件共33页哦=例例(1)例例(2)定理定理第11页，此课件共33页哦例例2证：证：(1)第12页，此课件共33页哦2.2.自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限第13页，此课件共33页哦第14页，此课件共33页哦几何解释几何解释:注意：注意：第15页，此课件共33页哦例例3证证例例4证证第16页，此课件共33页哦联系，以便对于任给的联系，以便对
4、于任给的，总能找到对应的，总能找到对应的，对于满足对于满足 在用函数极限的定义证明时，必须找出在用函数极限的定义证明时，必须找出与与之间的之间的注意：注意：0|x-|0|x-|的一切的一切x，使不等式，使不等式|f(x)-A|0,和和使得当使得当有有22页定理页定理422页定理页定理5第24页，此课件共33页哦推论推论3.不等式性质不等式性质定理定理(保序性保序性)注意注意:若将小于等于改成小于若将小于等于改成小于,极限式子也极限式子也不可以不可以改成小于改成小于.例如例如:第25页，此课件共33页哦定理定理(局部保号性局部保号性)推论推论第26页，此课件共33页哦4 夹逼准则夹逼准则第27页
5、，此课件共33页哦上两式同时成立上两式同时成立,证证第28页，此课件共33页哦5.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定义定义定理定理第29页，此课件共33页哦例如例如,函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在都存在,且相等且相等.第30页，此课件共33页哦例例10证证二者不相等二者不相等,第31页，此课件共33页哦例例11证证二者不相等二者不相等,第32页，此课件共33页哦四、小结 思考题函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)第33页，此课件共33页哦