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1、第03章机械能和功第1页，共54页，编辑于2022年，星期日3.1 动能和动能定理动能和动能定理 一、力的功一、力的功 1恒力的功恒力的功力对质点作功：力对质点作功：如果力如果力 F 作用在物体上，使物体运动一定距离作用在物体上，使物体运动一定距离 s 力力 对质点作功为：对质点作功为：如果如果 与与 位移位移 如图如图有一定夹角时，有一定夹角时，只有位移方向上的分量作功只有位移方向上的分量作功第2页，共54页，编辑于2022年，星期日2.变力的功变力的功当当N时时第3页，共54页，编辑于2022年，星期日直角坐标系：直角坐标系：自然坐标系：自然坐标系：1.一般情况下，功与力和路径有关一般情况
2、下，功与力和路径有关说明第4页，共54页，编辑于2022年，星期日SS oo (t1)ABuo (t2)位移与参照系有关位移与参照系有关2.与与参照系无关，位移与参照系有关，故参照系无关，位移与参照系有关，故 A与参照系有关。与参照系有关。第5页，共54页，编辑于2022年，星期日4.平均功率平均功率瞬时功率瞬时功率瓦特瓦特(W)=(=(J/s)3.合力的功等于各分力的功的代数和。合力的功等于各分力的功的代数和。第6页，共54页，编辑于2022年，星期日解：解：例例3-1 小球在水平变力小球在水平变力 作用下缓慢移动，即在所有位置作用下缓慢移动，即在所有位置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖
3、直方向成上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成 角。角。求：求：(1)的功，的功，(2)重力的功。重力的功。ml第7页，共54页，编辑于2022年，星期日变力变力恒力恒力 曲线运动曲线运动ml第8页，共54页，编辑于2022年，星期日例例3-2光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦 系数系数 m m，在外力作用下小物体（，在外力作用下小物体（质量质量 m）以速率）以速率 v做匀做匀 速圆周运动，求转一周摩擦力作的功。速圆周运动，求转一周摩擦力作的功。r解：小物体受力解：小物体受力走一圈后摩擦力所作的功：走一圈后摩擦力所作的功：第9页，共5
4、4页，编辑于2022年，星期日例例3-3 一陨石从距地面高为一陨石从距地面高为h h处由静止开始落向地面，处由静止开始落向地面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功是多少？是多少？解：取地心为原点，引力与矢径方向相反解：取地心为原点，引力与矢径方向相反abhRo第10页，共54页，编辑于2022年，星期日二、质点的动能定理二、质点的动能定理设质点设质点m在力的作用下沿曲线从在力的作用下沿曲线从a点移动到点移动到b点点元功：元功：ba第11页，共54页，编辑于2022年，星期日总功：总功：ba质点的动能定理：质点的动能定理：合外力对质点所做的功
5、等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。第12页，共54页，编辑于2022年，星期日说明3.应用：应用：1.合外力的功是动能变化的量度。合外力的功是动能变化的量度。与参考系有关，动能定理只在与参考系有关，动能定理只在惯性系惯性系中成立。中成立。2.4.微分形式：微分形式：第13页，共54页，编辑于2022年，星期日LxoLsx传送机滑道传送机滑道水平平台水平平台例例3-4 柔软匀质物体以初速柔软匀质物体以初速v0 送上平台，物体前端在平台上滑行送上平台，物体前端在平台上滑行 s 距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面间的摩擦系数为距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面间的摩
6、擦系数为，且，且 s，求初速度，求初速度v0。解：解：第14页，共54页，编辑于2022年，星期日由动能定理：由动能定理：第15页，共54页，编辑于2022年，星期日例例3-5 有三个相同的物体分别沿斜面、凸面和凹面滑下。三面的有三个相同的物体分别沿斜面、凸面和凹面滑下。三面的高度和水平距离都相同，为高度和水平距离都相同，为 h 和和 l，与物体的摩擦系数均为，与物体的摩擦系数均为。试试分析哪个面上的物体滑到地面分析哪个面上的物体滑到地面时时速度最大速度最大?(1)解：解：(1)(2)(3)第16页，共54页，编辑于2022年，星期日(2)(3)最大最大(1)(1)(2)(3)第17页，共54
7、页，编辑于2022年，星期日解：解：mABCDO顶视图顶视图 例例3-6 质量为质量为 的物体在无摩擦的桌面上滑动，其运动被约的物体在无摩擦的桌面上滑动，其运动被约束于固定在桌面上的挡板内，挡板是由束于固定在桌面上的挡板内，挡板是由AB,CD AB,CD 平直板和半径平直板和半径为为 的的1/41/4圆弧形板圆弧形板BC BC 组成，如图所示。若组成，如图所示。若t t=0=0时，物体以时，物体以速度速度 沿着沿着AB AB 的内壁运动，物体与挡板间的摩擦系数为的内壁运动，物体与挡板间的摩擦系数为 。试求摩擦作功大小。试求摩擦作功大小。物体在直线段运动时，与挡物体在直线段运动时，与挡板间没有相
8、互作用。板间没有相互作用。物体在弧线段运动时受挡板物体在弧线段运动时受挡板间的作用力如图所示：间的作用力如图所示：第18页，共54页，编辑于2022年，星期日第19页，共54页，编辑于2022年，星期日由动能定理可得由动能定理可得到摩擦力作功：到摩擦力作功：第20页，共54页，编辑于2022年，星期日oyx例例3-7 一固定光滑圆柱体上的小球（一固定光滑圆柱体上的小球（m）从顶端下滑。）从顶端下滑。求小球下滑到求小球下滑到 时小球对圆柱体的压力时小球对圆柱体的压力。解：在解：在q q处时，质点受力如图处时，质点受力如图o自自然然坐坐标标系系利用动能定理利用动能定理END第21页，共54页，编辑
9、于2022年，星期日3.2 保守力作功与势能保守力作功与势能 以有心力为例以有心力为例Br+D D rro 1 1 2 2F1F2D D r2D D r1路径路径1路径路径2有心力作功与路径无关有心力作功与路径无关!一、保守力与耗散力一、保守力与耗散力A第22页，共54页，编辑于2022年，星期日rarbABFdroM万有引力：万有引力：C极坐标系极坐标系第23页，共54页，编辑于2022年，星期日rarbABFdroMC引力作功与具体引力作功与具体路径无关！路径无关！作功只与质点的初、末位置有关。作功只与质点的初、末位置有关。若质点在引力的作用下，沿若质点在引力的作用下，沿BDA从从B回到回
10、到A点，点，D如果质点沿如果质点沿ACBDA封闭封闭路径一周，引力作功为：路径一周，引力作功为：称为称为保守力保守力第24页，共54页，编辑于2022年，星期日rarbABoMCD保守力保守力沿任意闭合路径的积分为零！沿任意闭合路径的积分为零！可以证明：弹性力、重力、可以证明：弹性力、重力、静电场力等均为静电场力等均为 保守力。保守力。若某种力作功与具体路径有关，若某种力作功与具体路径有关，该种作用力称为该种作用力称为耗散力耗散力。如摩擦力、爆炸力等如摩擦力、爆炸力等第25页，共54页，编辑于2022年，星期日二、二、势能势能 仍以引力为例仍以引力为例按照动能定理：按照动能定理：若质点在引力场
11、中运动（只受引力作用）若质点在引力场中运动（只受引力作用）引力场引力场或或第26页，共54页，编辑于2022年，星期日质点在引力场中运动时，引力场作功（或正或负），质点在引力场中运动时，引力场作功（或正或负），但是：但是：有一个不变物理量有一个不变物理量！它与质点所处空间点无关。！它与质点所处空间点无关。质点的动能与其在引力场中的空间位置有关。质点的动能与其在引力场中的空间位置有关。同时，有一个与空间位置一个的量同时，有一个与空间位置一个的量 与动能相对应！与动能相对应！使其与动能的和保持不变！使其与动能的和保持不变！我们把我们把称为（引力）称为（引力）势能势能，通常用，通常用 Ep 表示。表
12、示。质点动能有相应变化（或增大或减小）。质点动能有相应变化（或增大或减小）。第27页，共54页，编辑于2022年，星期日由此可以设想：质点处于保守力场中时，相应地具有一定的由此可以设想：质点处于保守力场中时，相应地具有一定的 势能势能与质点所处位置有关。与质点所处位置有关。质点在引力场中运动时，引力场作功（或正或负），质点在引力场中运动时，引力场作功（或正或负），但是：但是：有一个不变物理量有一个不变物理量！它与质点所处空间点无关。！它与质点所处空间点无关。质点的动能与其在引力场中的空间位置有关。质点的动能与其在引力场中的空间位置有关。同时，有一个与空间位置一个的量同时，有一个与空间位置一个的
13、量 与动能相对应！与动能相对应！使其与动能的和保持不变！使其与动能的和保持不变！我们把我们把称为（引力）称为（引力）势能势能，通常用，通常用 Ep 表示。表示。质点动能有相应变化（或增大或减小）。质点动能有相应变化（或增大或减小）。第28页，共54页，编辑于2022年，星期日当保守力场作正功时（当保守力场作正功时（A0），），动能增大，动能增大，可以认为这是质点势能减小并转化为可以认为这是质点势能减小并转化为运动能量运动能量的缘故！的缘故！势能就是质点在保守力场中所具有的势能就是质点在保守力场中所具有的潜在的能量潜在的能量.(Potential Energy)（Kinetic Energy）C
14、onservative 有有“保存保存”的意思。的意思。Conservative force保守力保守力意味着意味着：在保守力场中，质点的动能可以：在保守力场中，质点的动能可以“势能势能”的形式保存起来；的形式保存起来；也可以通过作功的方式再释放出来成为可对外作功的也可以通过作功的方式再释放出来成为可对外作功的“动能动能”。由此可以设想：质点处于保守力场中时，相应地具有一定的由此可以设想：质点处于保守力场中时，相应地具有一定的 势能势能与质点所处位置有关。与质点所处位置有关。第29页，共54页，编辑于2022年，星期日势能增量的负值！势能增量的负值！定义了势能的差值。定义了势能的差值。当保守力
15、场作正功时（当保守力场作正功时（A0），），动能增大，动能增大，可以认为这是质点势能减小并转化为可以认为这是质点势能减小并转化为运动能量运动能量的缘故！的缘故！势能就是质点在保守力场中所具有的势能就是质点在保守力场中所具有的潜在的能量潜在的能量.(Potential Energy)（Kinetic Energy）Conservative 有有“保存保存”的意思。的意思。Conservative force保守力保守力 意味着意味着：在保守力场中，质点的动能可以：在保守力场中，质点的动能可以“势能势能”的形式保存起来；的形式保存起来；也可以通过作功的方式再释放出来成为可对外作功的也可以通过作功的
16、方式再释放出来成为可对外作功的“动能动能”。第30页，共54页，编辑于2022年，星期日按照势能定义式：势能还可以有一个常量的差别！按照势能定义式：势能还可以有一个常量的差别！如引力势能：如引力势能：常量可任意选择！常量可任意选择！对引力情况，通常取无限远为势能零点。对引力情况，通常取无限远为势能零点。弹性势能：弹性势能：重力势能：重力势能：z=0处为势能零点。处为势能零点。x=0处为势能零点。处为势能零点。定义了势能的差值。定义了势能的差值。势能增量的负值！势能增量的负值！第31页，共54页，编辑于2022年，星期日 空间某点的势能空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势能零在数值上
17、等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。点时保守力作的功。势能的大小只有相对的意义，相对于势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点势能零点而言。而言。势能零点可以任意选取。势能零点可以任意选取。势能是相互作用有保守力的系统的属性。势能是相互作用有保守力的系统的属性。说明 设空间设空间 点为点为势能零点势能零点，则空间任意一点，则空间任意一点 的势能为：的势能为：第32页，共54页，编辑于2022年，星期日例例3-8 轻弹簧原长轻弹簧原长l0，劲度系数为，劲度系数为k，下端悬挂质量为，下端悬挂质量为m的重物。的重物。已知弹簧重物在已知弹簧重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了点达到平衡，此时弹簧
18、伸长了x0，现取，现取x 轴向下轴向下为正，原点位于：为正，原点位于：(1)弹簧原长位置弹簧原长位置,(2)力的平衡位置。若取原点力的平衡位置。若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，分别计算重物在任一位置为重力势能和弹性势能的势能零点，分别计算重物在任一位置 P 时时系统的总势能。系统的总势能。解：解：(1)以弹簧原长点以弹簧原长点O 为坐标为坐标原点，系统总势能：原点，系统总势能：xmO OPx0 x第33页，共54页，编辑于2022年，星期日(2)若以重力与弹性力合力的若以重力与弹性力合力的平衡位置为原点，则有：平衡位置为原点，则有：任意位置任意位置 x 处的系统总势能：处的系统总势能：
19、xmO OPx0 x第34页，共54页，编辑于2022年，星期日三、三、保守力与势能的关系保守力与势能的关系1.积分关系积分关系2.微分关系微分关系第35页，共54页，编辑于2022年，星期日例例3-9 已知地球半径已知地球半径 R，物体质量，物体质量 m，处在地面，处在地面 2R 处。求处。求势能势能:（1）地面为零势能点；（）地面为零势能点；（2）无限远处为零势能点。）无限远处为零势能点。解：解：第36页，共54页，编辑于2022年，星期日3.3 功能原理功能原理 能量守恒定律能量守恒定律 一、质点系动能定理一、质点系动能定理设设质点系质点系由由N个质点组成个质点组成 mi (i=1,2,
20、3,N)速度为速度为 受力为：受力为：外力外力 内力内力 按质点动能定理：对任一质点按质点动能定理：对任一质点 mi 有有 初态初态 末态末态 第37页，共54页，编辑于2022年，星期日对每个质点对每个质点都适用！都适用！对整个质点系对整个质点系质点系的动能定理。质点系的动能定理。一般情况下，内力作功总和一般情况下，内力作功总和 不等于零。不等于零。初态初态 末态末态 第38页，共54页，编辑于2022年，星期日一对力的功一对力的功分别作用在两个物体上的大小相等、方向相反的力，分别作用在两个物体上的大小相等、方向相反的力，我们称之为我们称之为“一对力一对力”。f1=-f2 f2 2 1一对力
21、通常是作用力与反作用力，一对力通常是作用力与反作用力，但也可以不是。如图示但也可以不是。如图示m1 yB2 f1 f2dr1dr2r21m2xB1 A1z A2or1r2 m2相对于相对于m1的元位移。的元位移。令令：(1)表示初位形，即表示初位形，即 m1在在A1，m2在在A2；(2)表示末位形，即表示末位形，即 m1在在B1，m2在在B2。一对力一对力一般情况下，不一般情况下，不为零！为零！第39页，共54页，编辑于2022年，星期日讨论讨论1.A对对 与参考系选取无关。与参考系选取无关。2.一对滑动摩擦力的功恒小于零。一对滑动摩擦力的功恒小于零。（摩擦生热是（摩擦生热是一对一对滑动滑动
22、摩擦力作功的结果）。摩擦力作功的结果）。3.在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况下，在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况下，一对力的功必为零。一对力的功必为零。Sm f地面地面S f以地面为参考系：以地面为参考系：以滑块为参考系：以滑块为参考系：NNv1Mv12光滑光滑m21v2v2Return第40页，共54页，编辑于2022年，星期日如若将质点系内各质点相互作用的如若将质点系内各质点相互作用的内力内力分成保守内力分成保守内力和非保守内力和非保守内力则内力做的总功则内力做的总功 也可以作相应分解也可以作相应分解：质点系的动能定理可改写为质点系的动能定理可改写为 二、二、功能原理功能原
23、理（work-energy theorem）（1）保守力）保守力Conservative Forcec（2）非保守力）非保守力nonconservative Forcenc该式称为该式称为功能原理功能原理依势能定义，内保守力依势能定义，内保守力作功可表示成质点系势能差：作功可表示成质点系势能差：代表质点系的机械能代表质点系的机械能设设第41页，共54页，编辑于2022年，星期日第42页，共54页，编辑于2022年，星期日按功能原理，要改变一系统的机械能按功能原理，要改变一系统的机械能，可通过外力对，可通过外力对系统作功，也可利用系统的非保守内力作功；系统作功，也可利用系统的非保守内力作功；三、
24、三、能量转换和守恒定律能量转换和守恒定律系统内部非保守内力作功都会使系统的机械能发生变化。系统内部非保守内力作功都会使系统的机械能发生变化。前者是外界与系统间的能量交前者是外界与系统间的能量交 换，后者则是系统内部换，后者则是系统内部机械能与非机械能之间的转换。机械能与非机械能之间的转换。对于弧立系统对于弧立系统功能原理功能原理实验事实证明：实验事实证明：在弧立系统中机械能增加在弧立系统中机械能增加 or 减少减少时，时，就有等量的非机械能减少就有等量的非机械能减少 or 增加增加，从而保持系，从而保持系统的总能量（机械能与非机械之和）不变。统的总能量（机械能与非机械之和）不变。能量转换和守恒
25、定律能量转换和守恒定律第43页，共54页，编辑于2022年，星期日当外力对系统不作功；系统内也无非保守内力作功当外力对系统不作功；系统内也无非保守内力作功 （或内力作功总和为零）时：（或内力作功总和为零）时：在弧立系统中非保守内力不作功时，系统中的动能在弧立系统中非保守内力不作功时，系统中的动能与势能可以彼此转化，各质点的机械能也可以相互与势能可以彼此转化，各质点的机械能也可以相互交换，但系统的总机械能为恒量交换，但系统的总机械能为恒量.机械能守恒定律机械能守恒定律四、机械能守恒定律四、机械能守恒定律(law of conservation of mechanical energy)由功能原理
26、：由功能原理：注意注意本章讨论的动能定理、功能原理、机械能守恒本章讨论的动能定理、功能原理、机械能守恒等都是针对某惯性系的结论！等都是针对某惯性系的结论！第44页，共54页，编辑于2022年，星期日解：解：如图示，用一弹簧将质量分别为如图示，用一弹簧将质量分别为 和和 的上下两块的上下两块水平木板和相连，板放在地面上试求：水平木板和相连，板放在地面上试求：对需加多大压力，才能因突然撤去它使跳起过对需加多大压力，才能因突然撤去它使跳起过程中提拉起程中提拉起?例例3-10(a)原长原长(b)初态初态(c)末态末态系统系统AB地球地球初态和末态初态和末态“定义定义”第45页，共54页，编辑于2022
27、年，星期日(b)初态初态(c)末态末态从初态到末态从初态到末态的能量转化。的能量转化。初态和末态的初态和末态的总动能为零。总动能为零。初态：初态：末态：末态：根据机械能守恒根据机械能守恒(a)原长原长第46页，共54页，编辑于2022年，星期日例例3-11 劲度系数为劲度系数为k的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连一质量为连一质量为m的物体，物体与桌面间摩擦系数为的物体，物体与桌面间摩擦系数为 ，若向，若向右以恒力右以恒力 拉原静止在平衡位置的该物体，求物体到达拉原静止在平衡位置的该物体，求物体到达最远位置时系统的势能最远位置时系统的势能多大？多大？解：解：开始及
28、到达最远位置时，物体速度开始及到达最远位置时，物体速度为零，系统机械能变化为：为零，系统机械能变化为：在整个运动过程中，在整个运动过程中，有弹性力、摩擦力、有弹性力、摩擦力、及外力及外力F参与作功。参与作功。利用功能原理：利用功能原理：第47页，共54页，编辑于2022年，星期日例例3-12 如图所示，一质量为如图所示，一质量为m，长为，长为l的柔索放在桌面上，柔索跨过的柔索放在桌面上，柔索跨过滑轮下垂，滑轮很小，其质量不计，柔索与桌面间摩滑轮下垂，滑轮很小，其质量不计，柔索与桌面间摩擦系数为擦系数为。试求：。试求：（1）柔索下垂长度至少为多大时，柔索开始下滑？）柔索下垂长度至少为多大时，柔索
29、开始下滑？（2）当柔索全部离开桌面时，柔索的速度多大？）当柔索全部离开桌面时，柔索的速度多大？解解:(1)附加条件：附加条件：第48页，共54页，编辑于2022年，星期日(2)利用功能原理利用功能原理机械能变化：机械能变化：第49页，共54页，编辑于2022年，星期日例例3-13 光滑水平面上放有质量为光滑水平面上放有质量为m1的沙箱，的沙箱，由左方飞来质量由左方飞来质量为为m2的弹丸从箱左侧击入，的弹丸从箱左侧击入，在沙箱中前进在沙箱中前进 l 距离后停止。距离后停止。在这在这段时间中沙箱向右运动了距离段时间中沙箱向右运动了距离 s，此后沙箱带着弹丸以匀速此后沙箱带着弹丸以匀速 v 运动。求
30、运动。求(1)沙箱对弹丸的平均阻力沙箱对弹丸的平均阻力F；(2)弹丸初速弹丸初速v0；(3)沙沙箱箱-弹丸系统损失的机械能。弹丸系统损失的机械能。(2)对弹丸，应用动能定理：对弹丸，应用动能定理：(1)对沙箱对沙箱,应用动能定理：应用动能定理：解：解：s+l s第50页，共54页，编辑于2022年，星期日(3)机械能变化：机械能变化：一对非保守内力一对非保守内力(耗散力耗散力)做做负功，使系统动能减少。负功，使系统动能减少。s+l s第51页，共54页，编辑于2022年，星期日例例3-14 计算第一、第二宇宙速度。计算第一、第二宇宙速度。一、第一宇宙速度一、第一宇宙速度已知：地球半径为已知：地
31、球半径为R，质量为，质量为M，卫星质量，卫星质量为为m。要使卫星在距地面。要使卫星在距地面h 高度绕地球作匀高度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。速圆周运动，求其发射速度。解：解：设发射速度为设发射速度为v1，绕地球的运动速度为，绕地球的运动速度为v。机械能守恒：机械能守恒：万有引力提供向心力：万有引力提供向心力：RMm第52页，共54页，编辑于2022年，星期日得：得：第一宇宙速度第一宇宙速度第53页，共54页，编辑于2022年，星期日二、第二宇宙速度二、第二宇宙速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度。宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度。(1)脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或等于零。脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或等于零。(2)脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。由机械能守恒：由机械能守恒：得：得：END第54页，共54页，编辑于2022年，星期日