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1、关于无穷小无穷大极限运算法则第1页，讲稿共30张，创作于星期二当一、一、无穷小无穷小定义定义1(P39).若时,函数则称函数例1(P39):函数 当时为无穷小;函数 时为无穷小;函数 当为时的无穷小无穷小.时为无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明第2页，讲稿共30张，创作于星期二说明说明(P39):2、0是可以作为无穷小的唯一常数时,函数(或 )则称函数为定义定义1.若(或 )则时的无穷小无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、无穷小不是很小的数定理1第3页，讲稿共30张，创作于星期二其中 为时的无穷小量.定理定理 1(P39).(无穷小与函数极限的关系)证证:当时,有对自
2、变量的其它变化过程类似可证.机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷大第4页，讲稿共30张，创作于星期二二、二、无穷大无穷大定义定义2(P40).若任给任给 M 0,一切满足不等式的 x,总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将 式改为则记作(正数正数 X),记作总存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意第5页，讲稿共30张，创作于星期二注意注意(P40):1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例例(P42题题6),函数当但所以时,不是无穷大!机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2第6页，讲稿共30张，创作于星期二例例 2(P40).证
3、明证证:任给正数 M,要使即只要取则对满足的一切 x,有所以若 则直线为曲线的铅直渐近线.渐近线说明说明(P41):机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小无穷大关系第7页，讲稿共30张，创作于星期二三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2(P41).在自变量的同一变化过程中,说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2证明第8页，讲稿共30张，创作于星期二证 设取当时，有即所以为当时的无穷小.反之，设且 取当 时，有由得所以为当时的无穷大.内容小结第9页，讲稿共3
4、0张，创作于星期二内容小结内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系3.无穷小与无穷大的关系思考与练习思考与练习P42 题1,3P42 题3 提示:第五节 目录 上页 下页 返回 结束 第10页，讲稿共30张，创作于星期二 第一章 二、二、极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第五节第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则第11页，讲稿共30张，创作于星期二时,有一、一、无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1(P43).有限个无穷小的和还是无穷小.证证:考虑两个无穷小的和.
5、设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明第12页，讲稿共30张，创作于星期二说明说明:无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小!例如，例如，(P56,题 4(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证:有限个有限个无穷小之和仍为无穷小.定理2第13页，讲稿共30张，创作于星期二定理定理2(P43).有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证:设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论推论 1(P44).常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 2(P44).有限个无穷小的乘积是无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1第14页，
6、讲稿共30张，创作于星期二例例1(P48例例8).求解解:利用定理 2(P43)可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限四则运算法则第15页，讲稿共30张，创作于星期二二、二、极限的四则运算法则极限的四则运算法则则有定理定理 3 (P44).若机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明(P45):定理 3 可推广到有限个有限个函数相加、减、乘的情形.推论第16页，讲稿共30张，创作于星期二推论推论 1(P45).(C 为常数)推论推论 2 (P45).(n 为正整数)例例2(P46).设 n 次多项式试证证证机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理4第17页，讲稿共30张，创作于星期二定
7、理定理4(P45).若则有提示提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由定理3(P44)直接得出结论.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3第18页，讲稿共30张，创作于星期二 x=3 时分母为 0!例例3(P46).设有分式函数其中都是多项式,试证:证证:说明说明(P47):若不能直接用商的运算法则.例如例如.若机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4第19页，讲稿共30张，创作于星期二例例4(P47).求解解:x=1 时 分母=0,分子0,但因机动 目录 上页 下页 返回 结束 由P41定理2有例5第20页，讲稿共30张，创作于星期二例例5.求解解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大
8、头抓大头”原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 有理分式极限一般结果第21页，讲稿共30张，创作于星期二一般有如下结果一般有如下结果(P48)：为非负常数)(如如P47 例例5)(如如P47 例例6)(如如P47 例例7)机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合函数极限运算第22页，讲稿共30张，创作于星期二定理定理6(P48).设且 x 满足时,又则有 说明说明(P49):若定理中若定理中则类似可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7三、三、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则第23页，讲稿共30张，创作于星期二例例7.求求解解:令已知(见见 P47 例例3)原式=(见见 P3
9、4 例例5)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8第24页，讲稿共30张，创作于星期二例例8.求求解解:方法方法 1则令 原式方法方法 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结第25页，讲稿共30张，创作于星期二内容小结内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为 0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习第26页，讲稿共30张，创作于星期二思考及练习思考及练习1.是否存在?为什么?答答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解解:原式2.问机动 目录 上页 下页 返回 结束 3题第27页，讲稿共30张，创作于星期二3.求解法解法 1 原式=解法解法 2 令则原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 4题第28页，讲稿共30张，创作于星期二4.试确定常数 a 使解解:令则故机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此作业第29页，讲稿共30张，创作于星期二感感谢谢大大家家观观看看第30页，讲稿共30张，创作于星期二