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1、高中数学核心概念的教学设计第1页，此课件共64页哦目目 录录一一.数学概念教学的重要性数学概念教学的重要性二二.数学概念教学数学概念教学“教什么教什么”三三.数学概念教学典型案例分析数学概念教学典型案例分析第2页，此课件共64页哦一一.数学概念教学的重要性数学概念教学的重要性知知名名华华人人数数学学家家、哈哈佛佛大大学学教教授授丘丘成成桐桐兴兴冲冲冲冲地地赶赶到到杭杭州州，去去与与一一群群刚刚在在高高考考中中取取得得好好成成绩绩的的数数学学尖尖子见面。结果却让他颇为失望：子见面。结果却让他颇为失望：“大大多多数数学学生生对对数数学学根根本本没没有有清清晰晰的的概概念念，对对定定理理不不甚甚了了
2、了了，只只是是做做习习题题的的机机器器。这这样样的的教教育育体体系系，难难以以培培养养出什么数学人才出什么数学人才。”第3页，此课件共64页哦李李邦邦河河院院士士：“数数学学根根本本上上是是玩玩概概念念的的，不不是是玩玩技技巧技巧不足道也巧技巧不足道也！”概概念念教教学学常常常常采采用用“一一个个定定义义，几几项项注注意意”的的方方式式，以以解解题题教教学学代代替替概概念念教教学学的的做做法法，严严重重偏偏离离了了数数学学的的正正轨，必须纠正轨，必须纠正否否则则，学学生生在在数数学学上上耗耗费费大大量量时时间间、精精力力，结结果果可可能能是是对对数数学学的的内内容容、方方法法和和意意义义知知之
3、之甚甚少少，“数数学学育人育人”终将落空终将落空第4页，此课件共64页哦数数学学是是用用概概念念思思维维的的，在在概概念念学学习习中中养养成成的的思思维维方方式，其迁移能力也最强式，其迁移能力也最强数数学学概概念念教教学学的的意意义义，不不仅仅在在于于使使学学生生掌掌握握“书书本本知知识识”，更更重重要要的的是是让让他他们们从从中中体体验验数数学学家家概概括括数数学学概概念念的的心心路路历历程程，领领悟悟数数学学家家用用数数学学的的观观点点看看待待和和认认识识世世界界的的思思想想真真谛谛，学学会会用用概概念念思思维维，进进而而发发展展智智力力和和培培养养能力。能力。第5页，此课件共64页哦二二
4、.数学概念教学数学概念教学“教什么教什么”1.1.教数学概念的本质教数学概念的本质概念：概念：反映事物本质属性的思维产物反映事物本质属性的思维产物.数学：数学：空间形式和数量关系空间形式和数量关系.数学概念：数学概念：反映数学对象的本质属性的思维产物反映数学对象的本质属性的思维产物.本质属性：本质属性：共有性，特有性，整体性；共有性，特有性，整体性；相相对对性性：在在一一定定范范围围内内保保持持不不变变的的性性质质是是“本本质质属属性性”，而可变的性质则是，而可变的性质则是“非本质属性非本质属性”。第6页，此课件共64页哦（1 1）概念教学的关键是揭示本质属性）概念教学的关键是揭示本质属性示例
5、示例1 1：集合概念的教学：集合概念的教学幼儿园孩子学习集合。幼儿园孩子学习集合。应如何学习集合？应如何学习集合？示例示例2 2：数列概念的教学：数列概念的教学数列的本质是什么？数列的本质是什么？应如何学习数列？应如何学习数列？第7页，此课件共64页哦示例示例3 3：函数概念的本质：函数概念的本质设设A A、B B是是非非空空数数集集，如如果果按按照照某某种种确确定定的的对对应应关关系系f f，使使对对于于集集合合A A中中的的任任意意一一个个数数x x，在在集集合合B B中中都都有有唯唯一一确确定定的的数数f(x)f(x)和和它它对对应应，那那么么就就称称f f：ABAB为为从从集集合合A
6、A到到集集合合B B的的一一个个函函数数，记记作作y=f(x)y=f(x)，xA.xA.其其中中x x叫叫做做自自变变量量，x x的的取取值值范范围围A A叫叫做做函函数数的的定定义义域域；与与x x的的值值相相对对应应的的y y值值叫叫做做函函数数值值，函函数数值值的的集集合合f(x)|xAf(x)|xA叫叫做做函函数数的的值值域域.显显然然，值值域域是是集集合合B B的的子集子集.第8页，此课件共64页哦进一步思考：函数的本质究竟是什么？进一步思考：函数的本质究竟是什么？A.A.“非空数集非空数集”是函数的本质属性之一吗？是函数的本质属性之一吗？B.B.“单值对应单值对应”是函数的本质属性
7、之一吗？是函数的本质属性之一吗？C.C.“对应法则对应法则”是函数的本质属性之一吗？是函数的本质属性之一吗？D.AD.A同同f f同同、但但B B不不同同的的两两个个函函数数，是是否否为为同同一一个个函数？函数？E.E.函数本质上是一种人为约定的特殊函数本质上是一种人为约定的特殊“对应对应”.第9页，此课件共64页哦第10页，此课件共64页哦(2)(2)凸显概念本质的基本策略是凸显概念本质的基本策略是“变式教学变式教学”变化当中保持不变的属性就是事物的本质属性。变化当中保持不变的属性就是事物的本质属性。变变式式是是变变更更对对象象的的非非本本质质属属性性或或本本质质属属性性特特征征的的表表现现
8、形形式式，变变更更观观察察事事物物的的角角度度或或方方法法，以以突突出出对对象象的的本本质特征，突出那些隐蔽的本质要素。质特征，突出那些隐蔽的本质要素。概念变式概念变式和和非概念变式非概念变式，统称为，统称为概念性变式概念性变式.第11页，此课件共64页哦示例示例4 4：复数的本质：复数的本质二二元元的的复复数数不不仅仅有有数数量量意意义义,而而且且还还有有方方向向意意义义，“数量加方向数量加方向”是复数的本质属性。是复数的本质属性。用用几几何何形形式式表表示示：它它的的意意义义是是一一个个向向量量，其其本本质质特征是向量的长度和方向特征是向量的长度和方向;用用三三角角形形式式表表示示：在在z
9、=r(cos+isin)z=r(cos+isin)中中，r r表表示复数向量的长度，示复数向量的长度，表示复数向量的方向；表示复数向量的方向；用用代代数数形形式式表表示示:在在z=a+biz=a+bi中中，复复数数向向量量的的长长度度是是“”，“”就就表表示示了了复复数数向向量量的的方方向。向。第12页，此课件共64页哦示例示例5 5：向量的数量积：向量的数量积 代数表征代数表征：，说明两个向量的数量积，说明两个向量的数量积是是3 3个实数的乘积。个实数的乘积。几何意义几何意义：叫做叫做 在在 的方向上的投影，故数的方向上的投影，故数量积在图形上表征为两条线段量积在图形上表征为两条线段“长度长
10、度”的乘积。的乘积。变式理解变式理解：第13页，此课件共64页哦(3)(3)背会数学定义不等于掌握了数学概念背会数学定义不等于掌握了数学概念示示例例6 6：一一般般地地，在在大大量量重重复复试验中中，如如果果事事件件A A发生生的的频率率 会会稳定定在在某某个个常常数数p p附附近近，那那么么事事件件发生的概率生的概率P P（A A）=p=p。频率率稳定定于于概概率率，是是不不是是说频率率的的极极限限是是概概率率？频率率稳定于定于p p，能不能写成：，能不能写成：第14页，此课件共64页哦只有大量试验的频率才能作为概率的估计只有大量试验的频率才能作为概率的估计.频频率率总总可可以以作作为为概概
11、率率的的估估计计,试试验验次次数数的的多多少少只只是是影影响响估计的精度估计的精度,试验次数随实际问题而定试验次数随实际问题而定.把把“用用频频率率估估计计概概率率”错错误误地地理理解解为为用用频频率率的的稳稳定定值估计概率或频率的稳定值是概率的估计等值估计概率或频率的稳定值是概率的估计等.频频率率的的稳稳定定值值就就是是概概率率,但但仅仅从从试试验验中中我我们们无无法法知知道道频率的稳定值具体是多少频率的稳定值具体是多少.第15页，此课件共64页哦 “试试验验次次数数少少频频率率不不准准确确”“随随着着试试验验次次数数的的增增加频率越来越接近概率加频率越来越接近概率”.频频率率随随试试验验结
12、结果果而而改改变变,没没有有准准确确与与不不准准确确的的问问题题.试验结果确定了试验结果确定了,频率就定了频率就定了.试试验验次次数数的的增增加加，不不能能绝绝对对保保证证频频率率越越来来越越接接近近概概率率.只只是是当当实实验验次次数数很很大大时时，事事件件发发生生的的频频率率与与概概率率有有较较大大偏差的可能性很小偏差的可能性很小.第16页，此课件共64页哦（4 4）概念教学应）概念教学应“淡化形式，注重实质淡化形式，注重实质”陈陈省省身身：“当当然然不不能能考考定定义义、定定理理，只只能能考考具具体问题，看你能不能把定义落实到例子上体问题，看你能不能把定义落实到例子上”。示例示例7 7：
13、对称轴，角；导数，定积分对称轴，角；导数，定积分思考：思考：，是指数函数吗？是指数函数吗？，是对数函数吗？是对数函数吗？给给出出一一个个函函数数，怎怎么么知知道道它它能能否否变变成成一一个个指指数数函数或对数函数呢？函数或对数函数呢？第17页，此课件共64页哦2.2.教数学概念的过程教数学概念的过程示例示例8 8：直线的方向向量与平面的法向量：直线的方向向量与平面的法向量为什么要提出方向向量与法向量的概念？为什么要提出方向向量与法向量的概念？如何来刻画直线与平面的方向？如何来刻画直线与平面的方向？为什么要用向量平行来刻画直线的方向？为什么要用向量平行来刻画直线的方向？为什么要用向量的垂直来刻画
14、平面的方向？为什么要用向量的垂直来刻画平面的方向？李李祎祎.基基于于探探究究学学习习的的数数学学教教学学策策略略研研究究,数数学学通通报报，20092009年年第第2 2期期 第18页，此课件共64页哦示例示例9 9：函数的单调性：函数的单调性（形式化过程）（形式化过程）单调性教学设计大体从三个层次展开：单调性教学设计大体从三个层次展开：首首先先，观观察察图图像像，描描述述变变化化规规律律，如如上上升升、下下降降，从从几几何直观角度加以认识；何直观角度加以认识；其其次次，结结合合图图、表表，用用自自然然语语言言描描述述，即即因因变变量量随随自自变量的增大而增大（或减小）；变量的增大而增大（或减
15、小）；最最后后，用用数数学学符符号号语语言言描描述述变变化化规规律律，逐逐步步实实现现用用精精确确的数学语言刻画函数的变化规律。的数学语言刻画函数的变化规律。第19页，此课件共64页哦教教学学的的困困惑惑：从从图图像像上上不不难难获获得得图图像像“上上升升”或或“下下降降”的直观特征，但为什么还要进一步来研究它呢？的直观特征，但为什么还要进一步来研究它呢？解解释释和和说说明明：“上上升升”“”“下下降降”是是一一种种日日常常语语言言，用用日日常常语语言言描描述述“单单调调增增”“”“单单调调减减”这这样样的的数数学学性性质质是是不够准确的不够准确的。能能否否用用数数学学语语言言来来描描述述函函
16、数数的的这这种种特特点点呢呢？如如果果可可以以的的话，又该如何来描述呢？话，又该如何来描述呢？这这时时结结合合图图像像的的特特点点，即即它它是是“函函数数”的的图图像像，从从而而根根据函数的意义，自然过渡到第二个层次。据函数的意义，自然过渡到第二个层次。第20页，此课件共64页哦教教学学的的难难点点：如如何何用用符符号号化化的的数数学学语语言言来来描描述述递递增增的的特征，这其中有两个难点：特征，这其中有两个难点：第21页，此课件共64页哦3.3.教数学概念的方法教数学概念的方法数数学学概概念念是是基基于于问问题题解解决决的的需需要要而而建建立立的的。但但有有的的数数学学概念本身就蕴含着解决问
17、题的方法。概念本身就蕴含着解决问题的方法。这时教师在教学中需要着重思考：这时教师在教学中需要着重思考：概念解决的是什么类型的问题？概念解决的是什么类型的问题？解决问题的思路与方法是什么？解决问题的思路与方法是什么？不不能能将将数数学学概概念念教教学学简简单单化化，以以为为学学生生会会利利用用概概念念进进行行推理和运算就是理解了概念。推理和运算就是理解了概念。第22页，此课件共64页哦示例示例1010：古典概型与几何概型：古典概型与几何概型解决问题：解决问题：随机试验中某一事件发生的概率；随机试验中某一事件发生的概率；适适用用条条件件：两两者者均均是是等等可可能能概概型型，古古典典概概型型适适用
18、用于于试试验验结结果果有有限限个个的的情情形形，几几何何概概型型适适用用于于试试验验结结果果无限多的情形。无限多的情形。解决方法：解决方法：辨别；计算。辨别；计算。第23页，此课件共64页哦概率模型的类型，是相对而言的。概率模型的类型，是相对而言的。一一个个靶靶子子如如图图所所示示，飞飞镖镖手手随随机机地地掷掷一一个个飞飞镖镖扎扎在在靶靶子子上上，假假设设飞飞镖镖既既不不会会落落在在靶靶心心，也也不不会会落落在在两两个个区区域域之间，求飞镖落在之间，求飞镖落在4 4号区域的概率。号区域的概率。第24页，此课件共64页哦示例示例1111：导数与定积分：导数与定积分解解决决问问题题：导导数数求求解
19、解的的是是瞬瞬时时变变化化率率问问题题；定定积积分分求求解解的是总量问题。的是总量问题。解解决决思思路路：导导数数是是辩辩证证转转化化与与否否定定之之否否定定思思想想的的成成功功运运用用；定定积积分分是是“化化整整为为零零、积积零零为为整整”的的辩辩证证思思想想的的成功应用。成功应用。第25页，此课件共64页哦导数概念的引入导数概念的引入百米跑百米跑老老师师：小小王王的的100100米米成成绩绩是是1212秒秒，很很快快的的速速度度。这这里里讲讲的的是是他他跑跑这这100100米米的的平平均均速速度度，在在他他撞撞线线时时肯肯定定有有速速度，我们能否知道他撞线时的速度？度，我们能否知道他撞线时
20、的速度？学学生生议议论论：不不知知道道加加速速度度呀呀；也也不不一一定定是是匀匀加加速速呀呀老老师师明明确确说说明明：百百米米赛赛跑跑刚刚起起跑跑加加速速度度大大，中中间间几几乎乎是是匀匀速速，冲冲刺刺时时又又可可能能加加速速，整整个个过过程程不不可可能能是是匀加速运动。匀加速运动。第26页，此课件共64页哦学学生生的的讨讨论论陷陷入入了了僵僵局局。这这时时老老师师就就处处于于不不能能自自己己讲讲又又不不能能一一味味等等的的两两难难境境地地。合合理理的的问问题题引引导导才才是是让让学学生思维突破的上策。生思维突破的上策。老老师师引引导导：速速度度是是路路程程与与时时间间的的比比值值，我我们们能
21、能不不能能找找一种近似的方法来描述撞线的速度呢？一种近似的方法来描述撞线的速度呢？受受到到启启发发后后，随随即即有有同同学学举举手手回回答答：用用最最后后1 1秒秒里里跑跑的的路路程程除除以以时时间间，或或者者是是找找出出最最后后一一段段时时间间里里的的路路程程除以时间。除以时间。(很多同学认可！很多同学认可！)第27页，此课件共64页哦老老师师继继续续引引导导：假假设设第第1212秒秒里里小小王王跑跑了了1010米米，那那么么第第1212秒秒里里的的平平均均速速度度就就是是1010米米/秒秒，我我们们可可以以用用1010米米/秒秒来来近近似似地地描描述述他他撞撞线线的的速速度度。如如果果他他
22、在在最最后后的的0.50.5秒秒里里跑跑了了5.55.5米米，那那么么他他在在最最后后半半秒秒里里的的速速度度是是1111米米/秒，我们也可以用这个速度近似描述他撞线的速度。秒，我们也可以用这个速度近似描述他撞线的速度。请请同同学学思思考考：这这种种用用一一段段较较短短时时间间里里的的平平均均速速度度近近似似描述撞线速度的办法，怎样描述才会更精确一些呢？描述撞线速度的办法，怎样描述才会更精确一些呢？第28页，此课件共64页哦学生抢着回答：学生抢着回答：时间取得越短越精确。时间取得越短越精确。另另一一学学生生又又站站起起来来说说：时时间间越越来来越越小小渐渐渐渐趋趋向向于于0 0时时，平均速度就
23、越来越接近于瞬时速度。平均速度就越来越接近于瞬时速度。同学们喜形于色，议论纷纷。同学们喜形于色，议论纷纷。老老师师继继续续引引导导：那那平平均均速速度度与与瞬瞬时时速速度度是是不不是是一一回回事呀？事呀？同学齐答：同学齐答：不是。不是。第29页，此课件共64页哦4.4.教数学概念的联系教数学概念的联系在在讲讲某某个个概概念念时时，首首先先要要在在宏宏观观上上认认识识这这个个概概念念在在数数学学知知识识体体系系中中的的地地位位与与作作用用，不不要要一一开开始始就就把把焦焦点点放放在概念的定义、内涵等具体内容上。在概念的定义、内涵等具体内容上。首首先先思思考考“为为什什么么要要引引入入这这个个概概
24、念念，这这个个概概念念与与相相邻邻概概念念之之间间有有何何联联系系与与区区别别”等等问问题题，这这样样就就能能在在头头脑中建立由基本概念构成的脑中建立由基本概念构成的概念系统概念系统。第30页，此课件共64页哦教教师师在在教教学学中中把把这这种种观观念念传传递递给给学学生生，学学生生就就会会围围绕绕这这个个概概念念逐逐步步构构建建起起一一个个概概念念网网络络，网网络络的的结结点点越越多多、通通道道越越丰丰富富，概概念念理理解解就就越越深深刻刻，面面临临复复杂杂问问题题时时，就就容容易易产产生生思思维维指指向向，实实现现转转化化、迁迁移移，这这正正是是形形成数学能力的基本要素成数学能力的基本要素
25、!示例示例1212：函数的零点：函数的零点定定义义：对对于于函函数数y=f(x)y=f(x)，我我们们把把使使f(x)=0f(x)=0的的实实数数x x叫叫做做函数函数y=f(x)y=f(x)的零点。的零点。第31页，此课件共64页哦示例示例1313：单调性、斜率、正切、性、斜率、正切、导数数A.A.单调性性B.B.斜率斜率直直线是是线性性的的，它它描描述述的的是是均均匀匀变化化，是是最最简单的的变化化。即即直直线在在某某个个区区间 上上的的平平均均变化化率率 ，与与直直线上上任任意意一一点点x x0 0的的瞬瞬时变化化率率（导数数）是是相相同同的的，都都等等于于这条条直直线的斜率的斜率k k
26、。第32页，此课件共64页哦C.C.正切正切D.D.导数数导数数是是平平均均变化化率率的的极极限限，即即表表示示瞬瞬时变化化率率。其几何意其几何意义是切是切线的斜率：的斜率：递增；增；递减。减。第33页，此课件共64页哦三三.数学概念教学典型案例分析数学概念教学典型案例分析数数学学中中的的概概念念大大多多有有其其发发生生、发发展展和和完完善善的的经经历历，教教师师在在讲讲概概念念之之前前一一定定要要研研究究清清楚楚概概念念的的来来龙龙去去脉脉，对对概念本身要有深入的理解概念本身要有深入的理解对对概概念念的的“前前世世今今生生”理理解解不不透透彻彻，就就不不能能揭揭示示概概念念产产生生的的合合理
27、理性性和和必必然然性性，还还有有可可能能误误导导学学生生所所以以，概概念念课课前前教教师师必必须须深深入入研研究究概概念念、正正确确理理解解概概念念，做做到到知知其然，知其所以然其然，知其所以然第34页，此课件共64页哦人教版教材：人教版教材：数数学学概概念念、数数学学方方法法与与数数学学思思想想的的起起源源与与发发展展都都是是自自然然的的!如如果果有有人人感感到到某某个个概概念念不不自自然然，是是强强加加于于人人的的，那那么么只只要要想想一一下下它它的的背背景景、它它的的形形成成过过程程、它它的的应应用用，以以及及它它与与其其他他概概念念的的联联系系，你你就就会会发发现现它它实实际际上上是是
28、水水到到渠渠成成、浑浑然然天天成成的的产产物物，不不仅仅合合情情合合理理，甚甚至至很很有有人人情味情味!第35页，此课件共64页哦在教学前需要对概念进行在教学前需要对概念进行学术解构和教学解构学术解构和教学解构：学学术术解解构构是是指指从从数数学学学学科科理理论论角角度度对对概概念念的的内内涵涵及及其其所所反反映映的的思思想想方方法法进进行行解解析析,包包括括概概念念的的内内涵涵和和外外延延、概概念念所所反反映映的的思思想想方方法法、概概念念的的历历史史背背景景和和发发展展、概概念念的的联联系、地位作用和意义等。系、地位作用和意义等。第36页，此课件共64页哦教教学学解解构构是是在在学学术术解
29、解构构的的基基础础上上,对对概概念念的的教教育育形形态态和和教教学学表表达达进进行行分分析析,重重点点放放在在概概念念的的发发生生发发展展过过程程的的解解析析上上,包包括括对对概概念念抽抽象象概概括括过过程程的的“再再造造”、辨辨析析过过程程(内内涵涵与与外外延延的的变变式式，正正例例和和反反例例的的举举证证)和概念的运用和概念的运用(变式应用变式应用)等。等。第37页，此课件共64页哦案例案例1 1：函数的奇偶性：函数的奇偶性（1 1）学习背景分析）学习背景分析小学数学：小学数学：二年级二年级“美丽的对称图形美丽的对称图形”（认识并画出：（认识并画出：画一画）；五年级画一画）；五年级“图形的
30、变换图形的变换轴对称轴对称”（方格（方格纸上研究轴对称：量一量，数一数）纸上研究轴对称：量一量，数一数）初中数学：初中数学：初二初二“轴对称轴对称”（坐标系中研究轴对称的（坐标系中研究轴对称的特征和性质）特征和性质）高中数学：高中数学：函数的对称性函数的对称性奇偶性；方程曲线的对称奇偶性；方程曲线的对称性性第38页，此课件共64页哦（2 2）学习价值分析）学习价值分析认认识识论论的的价价值值：经经历历从从特特殊殊（具具体体函函数数）到到一一般般（抽抽象象函函数数）、从从具具体体（运运算算）到到抽抽象象（概概括括）的的思思维维过过程程，经经由由直直观观分分析析到到演演绎绎证证明明、从从自自然然语
31、语言言到到符符号号表表示示，使使学学生生认认识识到到数数学学研研究究是是一一条条从从感感性性走走向向理理性性、从粗糙走向精细的发展之路。从粗糙走向精细的发展之路。方方法法论论的的价价值值：奇奇偶偶性性概概念念蕴蕴涵涵的的数数学学思思想想是是“转转化化思思想想”。即即对对于于一一个个确确定定的的奇奇函函数数或或偶偶函函数数，如如果果已已知知该该函函数数图图像像在在y y轴轴一一侧侧的的特特征征，便便可可推推知知该该函函数数图图像像y y轴另一侧的特征。轴另一侧的特征。第39页，此课件共64页哦（3 3）直观特征为何要量化？）直观特征为何要量化？为为什什么么需需要要将将图图像像的的对对称称特特征征
32、用用形形式式化化的的符符号号表表示示出出来，并以此作为函数奇偶性的定义来，并以此作为函数奇偶性的定义?“符符号号表表示示是是一一种种数数量量关关系系的的表表示示，目目的的是是准准确确地地表表达达图像上点与点之间位置关系的规律图像上点与点之间位置关系的规律”；“从数量角度研究空间形式是从数量角度研究空间形式是数学上的要求数学上的要求”；“图图像像特特征征本本质质上上是是函函数数性性质质的的直直观观表表现现，用用函函数数符符号号来反映图像的对称性来反映图像的对称性是一种回归是一种回归”；“函函数数的的奇奇偶偶性性是是函函数数自自身身的的一一种种性性质质，因因而而需需要要用用对应关系体现的性质来下定
33、义对应关系体现的性质来下定义”等。等。第40页，此课件共64页哦（4 4）需要严格证明吗？）需要严格证明吗？结结合合具具体体函函数数图图像像观观察察和和运运算算检检验验,不不难难得得出出“y=f(x)y=f(x)的的图图像像关关于于y y轴轴对对称称,等等价价于于f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)”.是是否否要要求求学学生生对该结论进行证明呢对该结论进行证明呢?数数学学是是讲讲“道道理理”的的科科学学,看看上上去去“显显然然成成立立”的的结结论论往往往往需需证证明明,这这是是理理性性精精神神的的体体现现.培培养养理理性性精精神神、发发展展理性思维能力理性思维能力是高中数学的教学目标是高中
34、数学的教学目标.引引导导学学生生对对上上述述结结论论进进行行严严格格证证明明,不不仅仅可可以以发发展展学学生生的的逻逻辑辑思思维维能能力力,对对于于学学生生形形成成言言必必有有据据的的科科学学态态度度也颇有裨益也颇有裨益.第41页，此课件共64页哦 在函数在函数y=f(x)y=f(x)的图像上任取一点的图像上任取一点P(x,f(x)P(x,f(x)；写出点写出点P P关于关于y y轴的对称点轴的对称点 (-x,f(x)(-x,f(x)；根根据据图图像像对对称称性性的的定定义义，(-x,f(x)(-x,f(x)也也在在函函数数y=f(x)y=f(x)的图像上，由此得到的图像上，由此得到f(-x)
35、=f(x)f(-x)=f(x)；由由于于以以上上步步骤骤可可逆逆，因因而而从从“对对于于定定义义域域内内的的任任 意意 x x，都都 有有“f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)”出出 发发，也也 可可 获获 得得“y=f(x)y=f(x)的图像关于的图像关于y y轴对称轴对称”的结论的结论第42页，此课件共64页哦（5 5）能培养哪些能力？）能培养哪些能力？一是直观基础上的分析和概括能力一是直观基础上的分析和概括能力从从整整体体到到局局部部，即即“函函数数图图像像的的特特征征”向向“点点与与点点之间的位置关系之间的位置关系”的转化的转化分析能力分析能力从从“形形”到到“数数”，即即“点点与
36、与点点之之间间的的位位置置关关系系”向向“点的坐标之间的关系点的坐标之间的关系”的转化的转化分析能力分析能力第43页，此课件共64页哦从从特特殊殊到到一一般般，即即借借助助具具体体的的x x的的值值和和对对应应的的f(x)f(x)的的值值，归归纳纳得得到到“图图像像上上横横坐坐标标互互为为相相反反数数的的两两个个点点，其其纵纵坐坐标相等标相等”概括能力概括能力形形式式化化表表示示,即即“若若x x1 1=-x=-x2 2，则则f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2)”，简简记记为为“f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)”符号表达能力符号表达能力第44页，此课件共64页哦函函数数y=f
37、(x)y=f(x)的的图图像像关关于于y y轴轴对对称称存存在在点点与与点点之之间间位位置置关关系系的的规规律律性性因因为为点点的的横横坐坐标标、纵纵坐坐标标分分别别表表示示自自变变量量的的值值和和其其对对应应的的函函数数值值，所所以以自自变变量量的的值值之之间间具具有有某某种种特特殊殊关关系系时时，对对应应的的函函数数值值之之间间也也会会呈呈现现特特定定的的关关系系列列出出函函数数值值对对应应表表，观观察察和和归归纳纳得得到到“若若x x1 1=-x=-x2 2，则，则f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2)”“f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)”第45页，此课件共64页哦二是推
38、理论证能力二是推理论证能力引引导导学学生生利利用用对对称称性性的的定定义义证证明明非非逻逻辑辑手手段段获获得得的的以以下命题，发展学生的演绎证明能力下命题，发展学生的演绎证明能力命命题题:若若函函数数y=f(x)y=f(x)的的图图像像关关于于关关于于y y轴轴对对称称，则则f(-f(-x)=f(x)x)=f(x)；反之，也成立；反之，也成立第46页，此课件共64页哦（6 6）迁移价值分析）迁移价值分析发挥思维的迁移作用发挥思维的迁移作用,获得超越课本的数学知识。获得超越课本的数学知识。一一般般地地，对对于于函函数数y=f(x)y=f(x)，若若其其图图像像关关于于直直线线x=mx=m对对称称
39、，如何用对应关系如何用对应关系f f来表示这一图像特征呢？来表示这一图像特征呢？若若其其图图像像关关于于点点Q(a,b)Q(a,b)对对称称，又又如如何何用用对对应应关关系系f f来来表示这一图像特征呢？表示这一图像特征呢？第47页，此课件共64页哦函数图象的对称性：函数图象的对称性：第48页，此课件共64页哦方程曲线的对称性：方程曲线的对称性：第49页，此课件共64页哦案例案例2 2：斜率：斜率不同版本的教材，其处理方式不同。不同版本的教材，其处理方式不同。大体有两类：大体有两类：（1 1）用倾斜角的正切值定义斜率）用倾斜角的正切值定义斜率人教人教A A版、鄂教版、湘教版。比如人教版、鄂教版
40、、湘教版。比如人教A A版：版：确确定定直直线线位位置置的的几几何何要要素素倾倾斜斜程程度度倾倾斜斜角角斜斜率率过任意两点的斜率公式过任意两点的斜率公式第50页，此课件共64页哦倾斜角代数化的理由倾斜角代数化的理由斜斜率率公公式式反反映映出出斜斜率率在在联联系系两两点点的的坐坐标标与与直直线倾斜角的优越性；线倾斜角的优越性；(解析思想解析思想)()(列方程之需列方程之需)斜率在研究直线平行与垂直上的作用；斜率在研究直线平行与垂直上的作用；一次函数一次函数y=kx+by=kx+b中中k k的几何意义。的几何意义。第51页，此课件共64页哦斜率使用正切的理由斜率使用正切的理由首首先先与与“坡坡度度
41、”概概念念一一致致。坡坡面面的的铅铅直直高高度度和水平长度的比。（垂直变化率）和水平长度的比。（垂直变化率）其其次次，不不管管是是锐锐角角变变化化，还还是是钝钝角角变变化化，反反映的都是倾斜角越大，斜率越大。映的都是倾斜角越大，斜率越大。第第三三，正正切切值值就就是是直直线线的的变变化化率率，这这样样，采采用正切值与导数保持了一致性用正切值与导数保持了一致性。第52页，此课件共64页哦用倾斜角的正切值定义斜率的弊端用倾斜角的正切值定义斜率的弊端为为什什么么有有了了角角已已能能确确定定直直线线的的前前提提下下，还还一一定定要将其代数化？要将其代数化？采用坡度的例子只能说明倾斜角为锐角的情形，采用
42、坡度的例子只能说明倾斜角为锐角的情形，倾斜角为钝角时是解释不清楚的倾斜角为钝角时是解释不清楚的把把代代数数形形式式的的表表示示缩缩小小到到了了“正正切切”，为为何何要要用正切？学生可能知其然，不知其所以然。用正切？学生可能知其然，不知其所以然。第53页，此课件共64页哦（2 2）直接用变化率定义斜率）直接用变化率定义斜率根根据据“两两点点确确定定一一条条直直线线”可可知知，两两点点就就可可刻刻画画直直线线的的倾斜程度。倾斜程度。“率率”是是指指两两个个相相关关数数的的比比值值，x x变变化化单单位位长长时时，看看y y变变化化了了多多少少，实实质质是是对对x x和和y y变变化化的的快快慢慢程
43、程度度的的刻刻画画。角越大，倾斜程度越大，该特定比值越大。角越大，倾斜程度越大，该特定比值越大。第54页，此课件共64页哦比如北师大版：比如北师大版：倾倾斜斜角角0A900A0)k(k0)，我我们们称称k k 为为这这条条直直线线的的斜斜率率通通常常我我们们把把tanAtanA也也叫叫做做直直线线的的斜斜率率倾倾斜斜角角90A18090A0)k(k0)，我我们们称称-k-k为为这条直线的斜率这条直线的斜率第55页，此课件共64页哦解解析析几几何何的的本本质质是是用用“数数”刻刻画画“形形”，因因而而用用数数 刻刻画画直直线线的的倾倾斜斜程程度度，符符合合解解析析几几何的思想。何的思想。倾倾斜斜
44、角角本本身身包包含含了了形形，用用它它来来刻刻画画直直线线的的倾倾斜斜程程度度，就就像像“倾倾斜斜角角相相等等两两直直线线平平行行”一一样样，看似直观，却不能体现解析几何的思想。看似直观，却不能体现解析几何的思想。第56页，此课件共64页哦教学思路新构想：教学思路新构想：两两点点确确定定一一条条直直线线，一一点点呢呢？一一点点无无法法确确定定直直线线的的方方向向两两点点可可以以确确定定直直线线的的方方向向直直线线定定、倾倾斜斜程程度度定定用用两两点点刻刻画画直直线线的的倾倾斜斜程程度度联联想想坡坡度度引引出出斜率概念斜率概念已知两点与任一动点已知两点与任一动点直线的两点式直线的两点式。第57页
45、，此课件共64页哦一一点点加加一一倾倾斜斜角角也也可可确确定定直直线线任任一一动动点点和和已已知知点点，与与倾倾斜斜角角存存在在怎怎样样的的联联系系？动动点点运运动动所所形形成成的的直直线线的的倾倾斜斜程程度度，用用斜斜率率刻刻画画，发发现现它它就就是是倾倾斜斜角角的的正正切值切值直线的点斜式直线的点斜式。第58页，此课件共64页哦案例案例3 3：三角函数：三角函数（1 1）三角函数的认知基础）三角函数的认知基础三三角角函函数数是是函函数数的的下下位位概概念念，同同时时又又是是锐锐角角三三角角函数的上位概念；函数的上位概念；教教学学要要以以函函数数思思想想为为指指导导，以以锐锐角角三三角角函函
46、数数概概念念为为认认知知起起点点，突突破破用用直直角角三三角角形形定定义义三三角角函函数数的的思思维维局局限限，以以坐坐标标系系和和单单位位圆圆为为定定义义工工具具，促促进进任任意意角角三三角角函函数数定义的有效生成。定义的有效生成。第59页，此课件共64页哦（2 2）三角函数的本质特征）三角函数的本质特征根据相似性说明根据相似性说明比值的不变性比值的不变性特征；特征；角角的的边边上上的的任任一一点点到到另另一一边边的的距距离离、在在另另一一边边的的投投影影，以以及及该该点点到到角角的的顶顶点点的的距距离离，三三者者中中任任两两者者的的比比保保持持不不变变。揭揭示示这这一一本本质质，既既可可在
47、在直直角角三三角角形形中中，也也可可在在坐坐标标系系中中，后后者者可可体体现现三三角角函函数数的的周周期期性性特特点点（核心是对应关系）（核心是对应关系）。引引入入锐锐角角三三角角函函数数，目目的的是是为为了了研研究究三三角角形形中中的的边边角角关关系系，定定义义侧侧重重几几何何的的角角度度；引引入入任任意意角角三三角角函函数数，目目的的是是为为了了研研究究周周期期变变化化现现象象，定定义义侧侧重重代代数数的的角角度度。第60页，此课件共64页哦（3 3）三角函数的认知难点）三角函数的认知难点三三角角函函数数对对应应关关系系的的“与与众众不不同同”，主主要要表表现现在在不不以以“代代数数运运算
48、算”为为媒媒介介.以以前前遇遇到到的的y=kx+by=kx+b，y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c，y=ay=ax x等等，都都有有“运运算算”的的背背景景，而而三三角角函函数数是是“直直接接对对应应”，无须计算，无须计算.三三角角函函数数是是以以角角为为自自变变量量的的函函数数,由由角角与与比比值值的的对对应应,再再实现数到坐标的对应实现数到坐标的对应,会造成一定的理解困难会造成一定的理解困难.由锐角三角函数到任意角三角函数的由锐角三角函数到任意角三角函数的过渡与衔接过渡与衔接.第61页，此课件共64页哦（4 4）两种定义方法的比较）两种定义方法的比较终边定义法：终边定义法：终终边边
49、定定义义法法”需需要要经经过过“取取点点求求距距离离求求比值比值”等步骤，等步骤，对应关系不够简洁对应关系不够简洁；“比值比值”作为三角函数值，其作为三角函数值，其意义不够清晰意义不够清晰；任任意意一一个个角角所所对对应应的的比比值值的的唯唯一一性性（即即与与点点的的选选取取无关）无关）需要证明需要证明。第62页，此课件共64页哦单位圆定义法：单位圆定义法：一一是是简简单单、清清楚楚、易易掌掌握握。坐坐标标（coscos，sinsin）是是单单位位圆圆上上点点的的动动态态描描述述，正正、余余弦弦函函数数的的基基本本性性质就是质就是圆的几何性质的解析表述圆的几何性质的解析表述。二二是是突突出出三
50、三角角函函数数最最重重要要的的性性质质周周期期性性。单单位位圆圆上上点的坐标随角点的坐标随角每隔每隔22而重复出现而重复出现 。三三是是单单位位圆圆中中的的三三角角函函数数线线与与定定义义有有了了直直接接联联系系，从从而而便便于于采采用用“数数形形结结合合”的的思思想想，研研究究三三角角函函数数的的定义域、值域、同角三角函数的基本关系式等系列知识。定义域、值域、同角三角函数的基本关系式等系列知识。第63页，此课件共64页哦为何不用一般的圆周？为何不用一般的圆周？单位圆周上运动点的单位圆周上运动点的位置模型位置模型：非非单单位位圆圆周周，则则是是比比值值与与角角的的模模型型，而而仅仅仅仅比比值值