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1、离散数学第七章代数系统1第1页，共50页，编辑于2022年，星期日 本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为复本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为复杂的对象杂的对象代数系统，研究代数系统的性质和特殊的代数系统，研究代数系统的性质和特殊的元素，代数系统与代数系统之间的关系（如代数系统的元素，代数系统与代数系统之间的关系（如代数系统的同态和同构），这些概念较为复杂也较为抽象，是本课同态和同构），这些概念较为复杂也较为抽象，是本课程中的难点。它们将集合、集合上的运算以及集合间的程中的难点。它们将集合、集合上的运算以及集合间的函数关系结合在一起进行研究。函数关系结合在一起进行研究。第七章第
2、七章 代数系统代数系统2第2页，共50页，编辑于2022年，星期日第七章第七章代数系统代数系统7.1二元运算及其性质二元运算及其性质n 二元运算定义及其实例二元运算定义及其实例n 一元运算定义及其实例一元运算定义及其实例n 运算的表示运算的表示n 二元运算的性质二元运算的性质n交换律、结合律、幂等律、消去律交换律、结合律、幂等律、消去律n分配律、吸收律分配律、吸收律n 二元运算的特异元素二元运算的特异元素n单位元单位元n零元零元n可逆元素及其逆元可逆元素及其逆元3第3页，共50页，编辑于2022年，星期日二元运算的定义及其实例二元运算的定义及其实例定义定义：设：设S 为集合为集合,函数函数f：
3、SSS 称为称为S上的二元运算上的二元运算,简称为简称为二元运算二元运算.也称也称S 对对f 封闭封闭.例例1(1)N上的二元运算：加法、乘法上的二元运算：加法、乘法.(2)Z上的二元运算：加法、减法、乘法上的二元运算：加法、减法、乘法.(3)非零实数集非零实数集R*上的二元运算上的二元运算:乘法、除法乘法、除法.(4)设设S=a1,a2,an,ai aj=ai，为为S上二上二元运算元运算.4第4页，共50页，编辑于2022年，星期日二元运算的实例（续）二元运算的实例（续）(5)设设Mn(R)表示所有表示所有n 阶阶(n2)实矩阵的集实矩阵的集合，即合，即矩阵加法和乘法都是矩阵加法和乘法都是M
4、n(R)上的二元运算上的二元运算.(6)幂集幂集P(S)上的二元运算：上的二元运算：,.(7)SS 为为S 上的所有函数的集合：合成运算上的所有函数的集合：合成运算.5第5页，共50页，编辑于2022年，星期日二元运算的定义及其实例二元运算的定义及其实例从二元运算的定义可知它有三点涵义从二元运算的定义可知它有三点涵义:(1)S中任意两个元素都有运算结果中任意两个元素都有运算结果;(2)运算是封闭的运算是封闭的,即运算结果仍在即运算结果仍在S中中;(3)结果是唯一的。结果是唯一的。6第6页，共50页，编辑于2022年，星期日一元运算的定义与实例一元运算的定义与实例定义：定义：设设S 为集合，函数
5、为集合，函数f：SS 称为称为S 上的一元上的一元运算，简称为运算，简称为一元运算一元运算.例例2(1)Z,Q 和和R 上的一元运算上的一元运算:求相反数求相反数(2)非零有理数集非零有理数集Q*，非零实数集，非零实数集R*上的上的一元运算一元运算:求倒数求倒数(3)幂集幂集P(S)上上,全集为全集为S:求绝对补运算求绝对补运算(4)A 为为S 上所有双射函数的集合，上所有双射函数的集合，A SS:求求反函数反函数(5)在在 Mn(R)(n2)上，求转置矩阵上，求转置矩阵7第7页，共50页，编辑于2022年，星期日二元与一元运算的表示二元与一元运算的表示运算符运算符：,等符号表示二元或一元运算
6、。等符号表示二元或一元运算。对二元运算对二元运算 ，如果，如果x 与与y 运算得到运算得到z，记做，记做x y=z；对一元运算对一元运算,x 的运算结果记作的运算结果记作 x。表示二元或一元运算的方法：公式、表示二元或一元运算的方法：公式、运算表。运算表。注意：注意：在同一问题中不同的运算使用不同的运算符在同一问题中不同的运算使用不同的运算符8第8页，共50页，编辑于2022年，星期日公式表示公式表示例例3设设R 为实数集合，如下定义为实数集合，如下定义 R 上的二元运算上的二元运算：x,yR,x y=x.那么那么3 4=30.5(-3)=0.5运算表运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）（表
7、示有穷集上的一元和二元运算）二元与一元运算的表示（续）二元与一元运算的表示（续）9第9页，共50页，编辑于2022年，星期日运算表的形式运算表的形式 a1a2an ai a1 a2.ana1 a1a1 a2a1 ana2 a1a2 a2a2 an.an a1an a2an an a1 a2.an a1 a2.an10第10页，共50页，编辑于2022年，星期日运算表的实例运算表的实例例例4A=P(a,b),分别为对称差和绝对补运算分别为对称差和绝对补运算（a,b为全集）为全集）的运算表的运算表 的运算表的运算表 aba,bX Xaba,b aba,baa.bbba,baa,bba aba,ba
8、,bab11第11页，共50页，编辑于2022年，星期日运算表的实例（续）运算表的实例（续）例例5Z5=0,1,2,3,4,分别为模分别为模5加法与乘加法与乘法法 的运算表的运算表 的运算表的运算表 01234 01234012340123412340234013401240123 01234000000123402413031420432112第12页，共50页，编辑于2022年，星期日二元运算的性质二元运算的性质 定义：定义：设设 为为S 上的二元运算上的二元运算,(1)如果对于任意的如果对于任意的x,y S 有有x y=y x,则称运算在则称运算在S 上满足上满足交换律交换律.(2)如果
9、对于任意的如果对于任意的x,y,z S 有有(x y)z=x (y z),则称运算在则称运算在S 上满足上满足结合律结合律.(3)如果对于任意的如果对于任意的x S 有有x x=x,则称运算在则称运算在S 上满足上满足幂等律幂等律.13第13页，共50页，编辑于2022年，星期日实例分析实例分析Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为为n 阶实矩阵阶实矩阵集合集合,n 2；P(B)为幂集；为幂集；AA 为为A上上A，|A|2.集合集合运算运算交交换换律律结结合律合律幂幂等律等律Z,Q,R普通加法普通加法+普通乘法普通乘法 Mn(R)矩矩阵阵加法加法+矩矩阵
10、阵乘法乘法 P(B)并并 交交 相相对补对补 对对称差称差 AA函数符合函数符合 14第14页，共50页，编辑于2022年，星期日实例分析实例分析Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为为n 阶实矩阵集合阶实矩阵集合,n 2；P(B)为幂集；为幂集；AA 为为A上上A，|A|2.集合集合运算运算交交换换律律结结合律合律幂幂等律等律Z,Q,R普通加法普通加法+有有有有无无普通乘法普通乘法 有有有有无无Mn(R)矩矩阵阵加法加法+有有有有无无矩矩阵阵乘法乘法 无无有有无无P(B)并并 有有有有有有交交 有有有有有有相相对补对补 无无无无无无对对称差称差 有有有
11、有无无AA函数符合函数符合 无无有有无无15第15页，共50页，编辑于2022年，星期日二元运算的性质（续）二元运算的性质（续）定义定义设设 和和 为为S 上两个不同的二元运算上两个不同的二元运算,(1)如果如果 x,y,zS 有有(x y)z=(x z)(y z)z (x y)=(z x)(z y)则称则称 运算对运算对 运算满足运算满足分配律分配律.(2)如果如果 和和 都可交换都可交换,并且并且 x,yS 有有x (x y)=x x (x y)=x则称则称 和和 运算满足运算满足吸收律吸收律.16第16页，共50页，编辑于2022年，星期日实例分析实例分析集合集合运算运算分配律分配律吸收
12、律吸收律 Z,Q,R普通加法普通加法+与乘法与乘法 Mn(R)矩矩阵阵加法加法+与乘法与乘法 P(B)并并 与交与交 交交 与与对对称差称差 Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为为n 阶实矩阵阶实矩阵集合集合,n 2；P(B)为幂集；为幂集；AA为为A上上A，|A|2.17第17页，共50页，编辑于2022年，星期日实例分析实例分析集合集合运算运算分配律分配律吸收律吸收律 Z,Q,R普通加法普通加法+与乘法与乘法 对对+可分配可分配无无+对对 不分配不分配 Mn(R)矩矩阵阵加法加法+与乘法与乘法 对对+可分配可分配无无+对对 不分配不分配 P(B)并
13、并 与交与交 对对 可分配可分配有有 对对 可分配可分配交交 与与对对称差称差 对对 可分配可分配无无 对对 不分配不分配Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为为n 阶实矩阵集阶实矩阵集合合,n 2；P(B)为幂集；为幂集；AA为为A上上A，|A|2.18第18页，共50页，编辑于2022年，星期日二元运算的特异元素二元运算的特异元素单位元单位元定义定义设设 为为S上的二元运算上的二元运算,如果存在如果存在el（或（或er）S，使得对任意，使得对任意xS 都有都有 el x=x(或或x er=x)，则称则称el(或或er)是是S 中关于中关于 运算的运算
14、的左左(或右或右)单位单位元元.若若eS 关于关于 运算既是左单位元又是右单位元，运算既是左单位元又是右单位元，则称则称e 为为S 上关于上关于 运算的运算的单位元单位元.单位元也叫做单位元也叫做幺元幺元.19第19页，共50页，编辑于2022年，星期日二元运算的特异元素（续）二元运算的特异元素（续）零元零元设设 为为S 上的二元运算上的二元运算,如果存在如果存在l（或（或r）S，使得对任意使得对任意xS 都有都有 l x=l(或或x r=r)，则称则称l(或或r)是是S 中关于中关于 运算的运算的左左(或右或右)零元零元.若若S关于关于 运算既是左零元又是右零元，则称运算既是左零元又是右零元
15、，则称为为S 上关于运算上关于运算 的的零元零元.20第20页，共50页，编辑于2022年，星期日二元运算的特异元素（续）二元运算的特异元素（续）可逆元素及其逆元可逆元素及其逆元令令e 为为S 中关于运算中关于运算 的单位元的单位元.对于对于xS，如果存，如果存在在yl（或（或yr）S 使得使得 yl x=e（或（或x yr=e），），则称则称yl(或或yr)是是x 的的左逆元左逆元(或右逆元或右逆元).关于关于 运算，若运算，若yS 既是既是x 的左逆元又是的左逆元又是x 的右逆的右逆元，则称元，则称y 为为x 的的逆元逆元.如果如果x 的逆元存在，就称的逆元存在，就称x 是是可逆的可逆的.
16、21第21页，共50页，编辑于2022年，星期日实例分析实例分析集合集合运算运算单位元单位元零元零元逆元逆元Z,Q,R普通加法普通加法+普通乘法普通乘法 Mn(R)矩矩阵阵加法加法+矩矩阵阵乘法乘法 P(B)并并 交交 对对称差称差 22第22页，共50页，编辑于2022年，星期日实例分析实例分析集合集合运算运算单位元单位元零元零元逆元逆元Z,Q,R普通加法普通加法+0无无X 的逆元的逆元 x普通乘法普通乘法 10X 的逆元的逆元x 1(x-1属于给定集合属于给定集合)Mn(R)矩矩阵阵加法加法+n阶全阶全0矩阵矩阵无无X逆元逆元 X矩矩阵阵乘法乘法 n阶单位阶单位矩阵矩阵n阶全阶全0矩阵矩阵
17、X的逆元的逆元X 1（X是可逆矩阵）是可逆矩阵）P(B)并并 B的逆元为的逆元为交交 BB 的逆元为的逆元为B对对称差称差 无无X 的逆元为的逆元为X23第23页，共50页，编辑于2022年，星期日唯一性定理唯一性定理定理定理设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，el 和和er 分别为分别为S 中关于中关于运算的左和右单位元，则运算的左和右单位元，则el=er=e 为为S 上关于上关于 运运算的唯一的单位元算的唯一的单位元.证：证：el=el er=el er=er所以所以el=er,将这个单位元记作将这个单位元记作e.假设假设e 也是也是S 中的中的单位元，则有单位元，则有e=e e=e.
18、唯一性得证唯一性得证.类似地可以证明关于零元的唯一性定理类似地可以证明关于零元的唯一性定理.注意：当注意：当|S|2，单位元与零元是不同的；，单位元与零元是不同的；当当|S|=1时，这个元素既是单位元也是零元时，这个元素既是单位元也是零元.24第24页，共50页，编辑于2022年，星期日唯一性定理（续）唯一性定理（续）定理定理设设 为为S 上可结合的二元运算上可结合的二元运算,e 为该运算的单为该运算的单位元位元,对于对于xS 如果存在左逆元如果存在左逆元yl 和右逆元和右逆元yr,则有则有yl=yr=y,且且y 是是x 的唯一的逆元的唯一的逆元.证：证：由由yl x=e和和x yr=e得得
19、yl=yl e=yl (x yr)=(yl x)yr=e yr=yr令令yl=yr=y,则则y 是是x 的逆元的逆元.假若假若yS 也是也是x 的逆元的逆元,则则 y=y e=y(x y)=(y x)y=e y=y所以所以y 是是x 唯一的逆元唯一的逆元.说明：对于可结合的二元运算，可逆元素说明：对于可结合的二元运算，可逆元素x 只有唯一只有唯一的逆元，记作的逆元，记作x 1.25第25页，共50页，编辑于2022年，星期日消去律消去律定义定义：设：设 为为V上二元运算，如果上二元运算，如果 x,y,z V，若若x y=x z，且，且x不是零元，则不是零元，则y=z若若y x=z x,且且x
20、不是零元，则不是零元，则y=z那么称那么称 运算满足运算满足消去律消去律.26第26页，共50页，编辑于2022年，星期日消去律消去律实例实例:（1）Z,Q,R关于普通加法和乘法满足消去律关于普通加法和乘法满足消去律.（2）Mn(R)关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵乘法不满足消去律乘法不满足消去律.（3）Zn关于模关于模n加法满足消去律，当加法满足消去律，当n为素数时关为素数时关于模于模n乘法满足消去律乘法满足消去律.当当n为合数时关于模为合数时关于模n乘法乘法不满足消去律不满足消去律.27第27页，共50页，编辑于2022年，星期日例题分析例题分析解解
21、(1)运算可交换，可结合运算可交换，可结合.任取任取x,y Q,x y=x+y+2xy=y+x+2yx=y x,任取任取x,y,z Q,(x y)z=(x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x (y z)=x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz例例6设设 运算为运算为Q上的二元运算，上的二元运算，x,y Q,x y=x+y+2xy,(1)运算是否满足交换和结合律运算是否满足交换和结合律?说明理由说明理由.(2)求求 运算的单位元、零元和所有可逆元运算的单位元、零元和所有可逆元.28第28页
22、，共50页，编辑于2022年，星期日给定给定x，设，设x 的逆元为的逆元为y,则有则有x y=0成立，即成立，即 x+y+2xy=0(x=1/2)因此当因此当x 1/2时，时，是是x 的逆元的逆元.例题分析（续）例题分析（续）(2)设设 运算的单位元和零元分别为运算的单位元和零元分别为e 和和，则对于任意，则对于任意x 有有x e=x 成立，即成立，即 x+e+2xe=x e=0由于由于 运算可交换，所以运算可交换，所以0是幺元是幺元.对于任意对于任意x 有有x =成立，即成立，即x+2x =x+2x =0=1/229第29页，共50页，编辑于2022年，星期日例题分析（续）例题分析（续）例例
23、7(1)说明那些运算是交换的、可结合的、幂等的说明那些运算是交换的、可结合的、幂等的.(2)求出运算的单位元、零元、所有可逆元素的逆元求出运算的单位元、零元、所有可逆元素的逆元.abc abc abc a b c cab abc bca a b c aaa bbb ccc a b c abc bcc ccc解解(1)满足交换、结合律；满足交换、结合律；满足结合、幂等律；满足结合、幂等律；满足交换、结合律满足交换、结合律.(2)的单位元为的单位元为b,没零元，没零元，a 1=c,b 1=b,c 1=a 的单位元和零元都不存在，没有可逆元素的单位元和零元都不存在，没有可逆元素.的单位元为的单位元为
24、a，零元为，零元为c,a 1=a.b,c不可逆不可逆.30第30页，共50页，编辑于2022年，星期日由运算表判别算律的一般方法由运算表判别算律的一般方法n交换律：运算表关于主对角线对称交换律：运算表关于主对角线对称n幂等律：主对角线元素排列与表头顺序一致幂等律：主对角线元素排列与表头顺序一致n消去律：所在的行与列中没有重复元素消去律：所在的行与列中没有重复元素n单位元单位元:所在的行与列的元素排列都与表头一致所在的行与列的元素排列都与表头一致n零元：元素的行与列都由该元素自身构成零元：元素的行与列都由该元素自身构成nA 的可逆元：的可逆元：a 所在的行中某列所在的行中某列(比如第比如第j 列
25、列)元素为元素为e，且第，且第j 行行 i 列的元素也是列的元素也是e，那么，那么a与第与第j 个元素互逆个元素互逆n结合律：除了单位元、零元之外，要对所有结合律：除了单位元、零元之外，要对所有3个元素的个元素的组合验证表示结合律的等式是否成立组合验证表示结合律的等式是否成立31第31页，共50页，编辑于2022年，星期日n代数系统定义与实例代数系统定义与实例n同类型与同种的代数系统同类型与同种的代数系统n子代数子代数第七章第七章代数系统代数系统7.2代数系统及其子代数代数系统及其子代数32第32页，共50页，编辑于2022年，星期日代数系统定义与实例代数系统定义与实例定义定义非空集合非空集合
26、S 和和S 上上k 个一元或二元运算个一元或二元运算f1,f2,fk 组成的系统称为一个组成的系统称为一个代数系统代数系统,简称简称代数代数，记做，记做 V=.S称为代数系统的称为代数系统的载体载体，S 和运算叫做代数系统的和运算叫做代数系统的成分成分.有的代数系统定义指定了有的代数系统定义指定了S中的特殊元素，称中的特殊元素，称为代数常数为代数常数,例如二元运算的单位元例如二元运算的单位元.有时也将代数常有时也将代数常数作为系统的成分数作为系统的成分.33第33页，共50页，编辑于2022年，星期日实例实例,是代数系统，是代数系统，+和和分别表示普通加法和乘法分别表示普通加法和乘法.是代数系
27、统，是代数系统，+和和分别表示分别表示n 阶阶(n2)实矩阵的加法和乘法实矩阵的加法和乘法.是代数系统，是代数系统，Zn0,1,n-1，和和 分别表示模分别表示模n 的加法和乘法，的加法和乘法，x,yZn，x y=(xy)modn，x y=(xy)modn也是代数系统，也是代数系统，和和为并和交，为并和交，为绝对补为绝对补34第34页，共50页，编辑于2022年，星期日同类型与同种代数系统同类型与同种代数系统定义定义(1)如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称它们是算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称它们
28、是同类型的同类型的代数系统代数系统.(2)如果两个同类型的代数系统规定的运算性质也相如果两个同类型的代数系统规定的运算性质也相同，则称为同，则称为同种的同种的代数系统代数系统.例例1V1=,V2=,为为n 阶全阶全0矩阵，矩阵，E 为为n 阶单位矩阵阶单位矩阵 V3=35第35页，共50页，编辑于2022年，星期日V1V2V3+可交可交换换,可可结结合合可交可交换换,可可结结合合+满满足消去律足消去律满满足消去律足消去律对对+可分配可分配+对对不可分配不可分配+与与没有吸收律没有吸收律+可交可交换换,可可结结合合可交可交换换,可可结结合合+满满足消去律足消去律满满足消去律足消去律对对+可分配可
29、分配+对对不可分配不可分配+与与没有吸收律没有吸收律可交可交换换,可可结结合合可交可交换换,可可结结合合不不满满足消去律足消去律不不满满足消去律足消去律对对可分配可分配对对可分配可分配与与满满足吸收律足吸收律V1,V2,V3是同类型的代数系统是同类型的代数系统V1,V2是同种的代数系统是同种的代数系统V1,V2与与V3不是同种的代数系统不是同种的代数系统同类型与同种代数系统（续）同类型与同种代数系统（续）36第36页，共50页，编辑于2022年，星期日子代数子代数定义定义设设V=是代数系统，是代数系统，B 是是S 的非的非空子集空子集，如果，如果B 对对f1,f2,fk都是封闭的，且都是封闭的
30、，且B 和和S 含有相同的代数常数，则称含有相同的代数常数，则称是是V 的子代数系统，简称的子代数系统，简称子代数子代数.有时将子代数系统有时将子代数系统简记为简记为B.实例实例N是是和和的子代数的子代数.N 0是是的的子代数，但不是子代数，但不是的子代数的子代数说明：说明：子代数和原代数是同种的代数系统子代数和原代数是同种的代数系统对于任何代数系统对于任何代数系统V，其子代数一定存在，其子代数一定存在.37第37页，共50页，编辑于2022年，星期日n同态映射的定义同态映射的定义n同态映射的分类同态映射的分类n单同态、满同态、同构单同态、满同态、同构n自同态自同态n同态映射的性质同态映射的性
31、质第七章第七章 代数系统代数系统7.3代数系统的同态与同构代数系统的同态与同构38第38页，共50页，编辑于2022年，星期日同态映射的定义同态映射的定义定义定义设设V1=和和V2=是代数系统，其中是代数系统，其中 和和 是二元运算是二元运算.f:S1S2,且且 x,y S1,f(x y)=f(x)f(y),则称则称f为为V1到到V2的的同态映射同态映射，简称，简称同态同态.39第39页，共50页，编辑于2022年，星期日更广泛的同态映射定义更广泛的同态映射定义定义定义设设V1=和和V2=是代数系统，其中是代数系统，其中 和和 是二元运算是二元运算.f:S1S2,且且 x,y S1 f(x y
32、)=f(x)f(y),f(xy)=f(x)f(y)则称则称f为为V1到到V2的的同态映射同态映射，简称，简称同态同态.设设V1=和和V2=是代数系统，其中是代数系统，其中 和和 是二元运算是二元运算.和和是一元运算，是一元运算，f:S1S2,且且 x,y S1 f(x y)=f(x)f(y),f(xy)=f(x)f(y),f(x)=f(x)则称则称f为为V1到到V2的的同态映射同态映射，简称，简称同态同态.40第40页，共50页，编辑于2022年，星期日例题例题例例1 V=,判断下面的哪些函数是判断下面的哪些函数是V 的自同态？的自同态？(1)f(x)=|x|(2)f(x)=2x (3)f(x
33、)=x2(4)f(x)=1/x(5)f(x)=x(6)f(x)=x+1解解(2),(5),(6)不是自同态不是自同态.(1)是同态，是同态，f(x y)=|x y|=|x|y|=f(x)f(y)(3)是同态，是同态，f(x y)=(x y)2=x2 y2=f(x)f(y)(4)是同态，是同态，f(x y)=1/(x y)=1/x 1/y=f(x)f(y)41第41页，共50页，编辑于2022年，星期日特殊同态映射的分类特殊同态映射的分类同态映射如果是单射，则称为同态映射如果是单射，则称为单同态单同态；如果是满射，则称为如果是满射，则称为满同态满同态，这时称，这时称V2是是V1的的同同态像态像，
34、记作，记作V1 V2；如果是双射，则称为如果是双射，则称为同构同构，也称代数系统，也称代数系统V1同构于同构于V2，记作，记作V1 V2.对于代数系统对于代数系统V，它到自身的同态称为，它到自身的同态称为自同态自同态.类似地可以定义类似地可以定义单自同态单自同态、满自同态满自同态和和自同构自同构.42第42页，共50页，编辑于2022年，星期日同态映射的实例同态映射的实例例例2设设V=，a Z，令，令fa：ZZ，fa(x)=ax那么那么fa是是V的自同态的自同态.因为因为 x,y Z，有，有fa(x+y)=a(x+y)=ax+ay=fa(x)+fa(y)当当a=0时称时称f0为零同态；为零同态
35、；当当a=1时，称时，称fa为自同构；为自同构；除此之外其他的除此之外其他的fa 都是单自同态都是单自同态.43第43页，共50页，编辑于2022年，星期日例例3设设V1=,V2=，其中，其中Q*=Q 0，令，令f：QQ*,f(x)=ex那么那么f 是是V1到到V2的同态映射，因为的同态映射，因为 x,y Q有有f(x+y)=ex+y=ex ey=f(x)f(y).不难看出不难看出f 是单同态是单同态.同态映射的实例（续）同态映射的实例（续）44第44页，共50页，编辑于2022年，星期日同态映射的实例（续）同态映射的实例（续）例例4V1=，V2=，Zn=0,1,n-1,是模是模n 加加.令令
36、f：ZZn，f(x)=(x)modn则则f是是V1到到V2的满同态的满同态.x,yZ有有f(x+y)=(x+y)modn=(x)mod n (y)mod n =f(x)f(y)45第45页，共50页，编辑于2022年，星期日例例5设设 V=，可以证明恰有，可以证明恰有n 个个G 的自同态，的自同态，fp：ZnZn,fp(x)=(px)modn，p=0,1,n 1例如例如n=6,那么那么f0为零同态；为零同态；f1与与f5为同构；为同构；f2与与f4的同态像是的同态像是0,2,4；f3的同态像是的同态像是0,3.同态映射的实例（续）同态映射的实例（续）46第46页，共50页，编辑于2022年，星
37、期日同态映射保持运算的算律同态映射保持运算的算律设设V1,V2是代数系统是代数系统.o,是是V1上的二元运算，上的二元运算，o,是是V2上上对应的二元运算，如果的二元运算，如果f：V1V2是是满同同态，那么那么(1)若若o运算是可交运算是可交换的（可的（可结合、合、幂等的），等的），则o运算也是运算也是可交可交换的（可的（可结合、合、幂等的）等的）.(2)若若o运算运算对 运算是可分配的，运算是可分配的，则o运算运算对 运算也是运算也是可分配的；若可分配的；若o 和和 运算是可吸收的，运算是可吸收的，则o和和 运算运算也是可吸收的。也是可吸收的。47第47页，共50页，编辑于2022年，星期日
38、(3)若若e为o 运算的运算的单位元，位元，则f(e)为o运算的运算的单位元位元.(4)若若 为o 运算的零元，运算的零元，则f()为o运算的零元运算的零元.(5)设u V1，若，若u 1是是 u关于关于o运算的逆元，运算的逆元，则f(u 1)是是 f(u)关于关于o运算的逆元。运算的逆元。证明明见书P105.同态映射保持运算的特异元素同态映射保持运算的特异元素48第48页，共50页，编辑于2022年，星期日同态映射的性质同态映射的性质说明：说明：上述性质仅在满同态时成立，如果不是满同态，那么相上述性质仅在满同态时成立，如果不是满同态，那么相关性质在同态像中成立关性质在同态像中成立.同态映射不
39、一定能保持消去律成立同态映射不一定能保持消去律成立.例如例如f:ZZn 是是V1=到到V2=的同态，的同态，f(x)=(x)modn,V1中满足消去律，但是当中满足消去律，但是当n为合数时为合数时,V2中不满足消去律中不满足消去律.49第49页，共50页，编辑于2022年，星期日例题例题证证假设假设 f 是是V2到到V1的同构，那么有的同构，那么有f：V2V1，f(1)=0.于是有于是有f(1)+f(1)=f(1)(1)=f(1)=0从而从而f(1)=0，又有，又有f(1)=0，这与，这与 f 的单射性矛盾的单射性矛盾.例例3设设V1=，V2=，其中，其中Q 为有理数集合，为有理数集合，Q*=Q 0，+和和分别表示普通加法和乘法分别表示普通加法和乘法.证明不存在证明不存在V2到到V1的同构的同构.50第50页，共50页，编辑于2022年，星期日