《2022年高中数学压轴题系列——导数专题——恒成立问题 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学压轴题系列——导数专题——恒成立问题 .pdf（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高中数学压轴题系列导数专题恒成立问题（分类讨论和分离变量）头条号：延龙高中数学微信：gyl_math123 1（2018?全国一模）已知函数f（x）=4x3+ax，xR（1）讨论函数 f（x）的单调性；（2）若函数 f（x）在 1，1 上的最大值为 1，求实数 a 的取值集合解：（1）f（x）=12x2+a当 a=0时，f（x）=4x3在 R上单调递减；当 a0 时，f（x）=12x2+a0，即 f（x）=4x3+ax在 R上单调递减；当 a0 时，f（x）=12x2+a.时，f（x）0，f（x）在上递减；时，f（x）0，f（x）在上递增；时，f（x）0，f（x）在上递减；综上，当 a0 时，
2、f（x）在 R上单调递减；当 a0 时，f（x）在上递减；在上递增；上递减（2）函数 f（x）在 1，1 上的最大值为 1即对任意 x 1，1，f（x）1 恒成立亦即 4x3+ax1 对任意 x 1，1 恒成立变形可得，ax1+4x3当 x=0时，a?01+4?03即 01，可得 aR；当 x（0，1 时，则令，则当时，f（x）0，当时，f（x）0因此，a3当 x 1，0）时，则令，则当 x 1，0）时，f（x）0，因此，g（x）max=g（1）=3，a3综上，a=3，a 的取值集合为 32（2018?遂宁模拟）已知函数f（x）=（1）求函数 f（x）的单调区间和极值点；（2）当 x1 时，f
3、（x）a（1）恒成立，求实数a 的取值范围解：（1）因为 f（x）=，求导得 f（x）=，令 f（x）=0，解得 x=e，（2 分）又函数的定义域为（0，+），当 x（0，e）时，f（x）0；当 x（e，+）时，f（x）0，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -所以函数 f（x）在（0，e）单调递增；在（e，+）单调递减，有极大值点 x=e；无极小值点（4 分）（2）由 f（x）a（1）恒成立，得a（1），（x1）恒成立，即 xlnx a（x21）（x1）恒成立令 g（x）=xlnxa（x21）（x1）g（x）=lnx+12ax，令 F（）=lnx+12ax，
4、则 F（x）=，（5 分）若 a0，F（x）0，g（x）在 1，+）递增，g（x）g（1）=12a0，故有 g（x）g（1）=0不符合题意 （7 分）若，从而在上，g（x）g（1）=12a0，同（1），不合题意 （9 分）若 a，F（x）0 在 1，+）恒成立，g（x）在 1，+）递减，g（x）g（1）=12a0，从而 g（x）在 1，+）递减，故g（x）g（1）=0 （11 分）综上所述，a 的取值范围是，+）（12 分）3（2018?瓦房店市一模）已知函数f（x）=ax1lnx，aR（）讨论函数 f（x）的单调区间；（）若函数 f（x）在 x=1处取得极值，对?x（0，+），f（x）bx2
5、 恒成立，求 b 的取值范围解：（）在区间（0，+）上，若 a0，则 f（x）0，f（x）是区间（0，+）上的减函数；若 a0，令 f（x）=0得 x=在区间（0，）上，f（x）0，函数 f（x）是减函数；在区间上，f（x）0，函数 f（x）是增函数；综上所述，当a0 时，f（x）的递减区间是（0，+），无递增区间；当 a0 时，f（x）的递增区间是，递减区间是（II）因为函数 f（x）在 x=1处取得极值，所以f（1）=0解得 a=1，经检验满足题意由已知 f（x）bx2，则令 g（x）=1+，则易得 g（x）在（0，e2 上递减，在 e2，+）上递增，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精
6、心整理-第 2 页，共 6 页 -所以 g（x）min=，即4（2018?玉溪模拟）已知函数f（x）=xex+（x2）exa（e2.73）（）当 a=2 时，证明函数 f（x）在 R上是增函数；（）若 a2 时，当 x1 时，f（x）恒成立，求实数a 的取值范围解：（）当 a=2 时，f（x）=xex+（x2）ex2，f（x）的定义域为 R，f（x）=exxex+ex2+（x2）ex2=（x1）（ex2ex）=ex（x1）（ex11）（ex1+1）当 x1 时，x10，ex110，所以 f（x）0，当 x1 时，x10，ex110，所以 f（x）0，所以对任意实数x，f（x）0，所以 f（x）
7、在 R上是增函数；（II）当 x1 时，f（x）恒成立，即（x2）e2xax2+3x10 恒成立，设 h（x）=（x2）e2xax2+3x1（x1），则 h（x）=（2x3）（e2xa1），令 h（x）=（2x3）（e2xa1）=0，解得，（1）当 1，即 2a3 时，x（1，）（，）（，+）h（x）+00+h（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以要使结论成立，则h（1）=e2a+10，h（）=e3a+0，即 e2a1，e3a，解得 a2，a3ln，所以 3lna3；（2）当=，即 a=3时，h（x）0 恒成立，所以 h（x）是增函数，又 h（1）=e1+10，故结论成立；（3）当，即
8、 a3 时，x（1，）（，）（，+）h（x）+00+h（x）单调递极大单调递极小单调递增名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -增值减值所以要使结论成立，则 h（1）=e2a+10，h（）=+2a30，即 e2a1，a28a+120，解得 a2，2a6，所以 3a6；综上所述，若 a2，当 x1 时，f（x）恒成立，实数 a 的取值范围是 3ln a6（12分）5.（2017 秋?许昌月考）已知函数f（x）=xlnx+a（+lnx）（a0）（）求曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）设函数 g（x）=若对于任意 x（1，e，都有 f（x）ag（x
9、）成立，求实数 a 的取值范围解：（）函数的定义域为（0，+）由 f（x）=xlnx+a（+lnx）（a0），得 f（x）=1+a（）=，f（1）=0，又 f（1）=1+a，曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=1+a；（）由对于任意x（1，e，都有 f（x）ag（x）成立，则 xlnx+a（+lnx）对于任意 x（1，e 成立，等价于 a1对于任意 x（1，e 成立令 F（x）=，则当 x（1，e 时，a1F（x）maxF（x）=当 x（1，e 时，F（x）0，F（x）在 1，e 上单调递增F（x）max=F（e）=e，即 a1 e，得 a1e1ea06.（2016?合肥一模
10、）已知函数f（x）=exxlnx，g（x）=extx2+x，tR，其中 e 是自然对数的底数（）求函数f（x）在点（1，f（1）处切线方程；（）若 g（x）f（x）对任意 x（0，+）恒成立，求t 的取值范围解：（）由 f（x）=exxlnx，得 f（x）=elnx1，则 f（1）=e1而 f（1）=e，所求切线方程为ye=（e1）（x1），即 y=（e1）x+1；（）f（x）=exxlnx，g（x）=extx2+x，tR，g（x）f（x）对任意 x（0，+）恒成立?extx2+xex+xlnx0 对任意 x（0，+）恒成立即 t对任意 x（0，+）恒成立令F（x）=名师资料总结-精品资料欢迎
11、下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -则 F（x）=，设 G（x）=，则 G （x）=对任意 x（0，+）恒成立G（x）=在（0，+）单调递增，且G（1）=0 x（0，1）时，G（x）0，x（1，+）时，G（x）0，即 x（0，1）时，F（x）0，x（1，+）时，F（x）0，F（x）在（0，1）上单调递减，F（x）在（1，+）上单调递增 F（x）F（1）=1t1，即 t 的取值范围是（，1 7（2018?红谷滩新区校级二模）已知f（x）=xlnx，g（x）=x2+ax3（）对一切 x（0，+），2f（x）g（x）恒成立，求实数a 的取值范围；（）证明：对一切x（0，+），都有成立【解答
12、】（）解对一切 x（0，+），有 2xln x x2+ax3，则 a2ln x+x+，设 h（x）=2ln x+x+（x0），则 h（x）=，当 x（0，1）时，h（x）0，h（x）是减少的，当 x（1，+）时，h（x）0，h（x）是增加的，所以h（x）min=h（1）=4因为对一切 x（0，+），2f（x）g（x）恒成立，所以ah（x）min=4（5 分）（）证明：问题等价于xln x（x（0，+），f（x）=xln x（x（0，+）的最小值是，当且仅当 x=时取到，设 m（x）=（x（0，+），则 m （x）=，易知 m（x）max=m（1）=，当且仅当 x=1时取到从而对一切 x（0，+
13、），都有 ln x成立（12分）8（2018?拉萨一模）已知函数f（x）=lnxax，e 为自然对数的底数，aR（1）讨论函数 f（x）的单调性；（2）当 x1 时，恒成立，求 a 的取值范围解：（1）f（x）的定义域为（0，+），若 a0 时，则 f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增；若 a0 时，则由 f（x）=0，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -当时，f（x）0，f（x）在上单调递增；当时，f（x）0，f（x）在上单调递减综上所述，当 a0 时，f（x）在（0，+）上单调递增；当 a0 时，f（x）在上单调递增，在上单调递减（2）由题意得：对 x1 时恒成立，对 x1 时恒成立令，（x1），令，对 x1 时恒成立，在 1，+）上单调递减，当 x 1，e 时，h（x）0，g（x）0，g（x）在 1，e 上单调递增；当 x（e，+）时，h（x）0，g（x）0，g（x）在 e，+）上单调递减g（x）在 x=e处取得最大值，a 的取值范围是名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -