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1、电路原理重点电路原理重点第1页，共47页，编辑于2022年，星期一第十三章作业：第十三章作业：13-第2页，共47页，编辑于2022年，星期一13-1 拉普拉斯变换的定义13-2 拉普拉斯变换的基本性质13-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开13-4 运算电路13-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路第十三章第十三章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第3页，共47页，编辑于2022年，星期一 了解拉普拉斯变换的定义和基本性了解拉普拉斯变换的定义和基本性质。在熟悉基尔霍夫定律的运算形式、质。在熟悉基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳的基础上，掌握拉运算阻抗和运算导纳的基础上，掌握拉普拉斯变换法分析和研
2、究线性电路的方普拉斯变换法分析和研究线性电路的方法和步骤；在求拉氏反变换时，要求掌法和步骤；在求拉氏反变换时，要求掌握分解定理及其应用。握分解定理及其应用。本章教学目的及要求本章教学目的及要求第4页，共47页，编辑于2022年，星期一13-1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，往往采用变换的方法，拉普拉斯变换(简称拉氏变换)就是其中的一种。拉氏变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。用拉普拉斯变换分析综合线性系统(如线性电路)的运动过程，在工程上有着广泛的应用。第5页，共47页，编辑于2022年，星期一一、变换可先取对数 ln(ab)=
3、lna+lnb 再取指数运算 eln(ab)=e(lna+lnb)=ab1 1.对数与指数的变换对数与指数的变换v为求乘积为求乘积ab2.2.相量与正弦量的变换相量与正弦量的变换v相量与正弦量的变换相量与正弦量的变换第6页，共47页，编辑于2022年，星期一 为了计算正弦稳态响应，可将激励源变为相量，然后在频率域里求相量（即相量法），然后再变回时域得到正弦时间函数响应。其中 此复数的模 就是正弦量u(t)的振幅值，幅角就是u(t)的初相角。这种对应关系就是一种变换。第7页，共47页，编辑于2022年，星期一 拉普拉斯变换可将时域函数f(t)变换为频域函数F(s)。只要f(t)在区间0,有定义，
4、则有二、拉普拉斯变换的定义1 1.拉普拉斯变换拉普拉斯变换也叫拉氏也叫拉氏变换变换第8页，共47页，编辑于2022年，星期一一个时域函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的e-st称为收敛因子收敛因子，收敛因子中的s=+j是一个复数形式的频率，称为复频率，其实部恒为正，虚部即可为正、为负，也可为零。上式左边的F(s)称为复频域函数，是时域函数f(t)的拉氏变换，F(s)也叫做f(t)的象函数。f(t)也叫做F(s)的原函数。F(s)=Lf(t)时域复频域L第9页，共47页，编辑于2022年，星期一 如果复频域函数F(s)已知，要求出与它对应的时域函数f(t)，又要用到拉氏反变换，即：f(t
5、)=L-1F(s)复频域时域L-12.2.拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换也叫拉氏也叫拉氏反变换反变换第10页，共47页，编辑于2022年，星期一 在拉氏变换中，一个时域函数f(t)惟一地对应一个复频域函数F(s)；反过来，一个复频域函数F(s)惟一地对应一个时域函数f(t)，即不同的原函数和不同的象函数之间有着一一对应的关系，称为拉氏变换的惟一性。注意在拉氏变换或反变换的过程中，原函数一律用小写字母表示，而象函数则一律用相应的大写字母表示。如电压原函数为u(t)，对应象函数为U(s)。第11页，共47页，编辑于2022年，星期一求指数函数f(t)=et 、f(t)=et(0,是常数)的拉普拉斯变
6、换。例例由拉氏变换定义式可得此积分在s时收敛，有：同理可得f(t)=et 的拉氏变换为：定义式定义式第12页，共47页，编辑于2022年，星期一求单位阶跃函数f(t)=(t)、单位冲激函数f(t)=(t)、正弦函数f(t)=sint的象函数。例例由拉氏变换定义式可得单位阶跃函数的象函数为同理，单位冲激函数的象函数为正弦函数sin t的象函数为：第13页，共47页，编辑于2022年，星期一什么是拉普拉斯什么是拉普拉斯变换？什么是拉变换？什么是拉普拉斯反变换？普拉斯反变换？什么是原函数？什么是原函数？什么是象函数？什么是象函数？二者之间的关系二者之间的关系如何？如何？原函数是时域函数，一般用小写字
7、母表示，象函数是复频域函数，用相应的大写字母表示。原函数的拉氏变换为象函数；象函数的拉氏反变换得到的是原函数。已知原函数求象函数的过程称为拉普拉斯变换；而已知象函数求原函数的过程称为拉普拉斯反变换。第14页，共47页，编辑于2022年，星期一13-2拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质一、拉氏变换的重要性质 拉普拉斯变换有许多重要的性质，利用这些性质可以很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程。1 1.线性性质线性性质第15页，共47页，编辑于2022年，星期一 上式中的A和B为任意常数(实数或复数)。这一性质可以直接利用拉普拉斯变
8、换的定义加以证明。例例第16页，共47页，编辑于2022年，星期一2.2.微分性质微分性质第17页，共47页，编辑于2022年，星期一 导数性质表明拉氏变换把原函数求导数的运算转换成象函数乘以s后减初值的代数运算。如果f(0-)=0，则有:例例第18页，共47页，编辑于2022年，星期一3.3.积分性质积分性质第19页，共47页，编辑于2022年，星期一 第20页，共47页，编辑于2022年，星期一4.4.延迟性质延迟性质时域复频域定理表明f(t)推迟t0出现则象函数应乘以一个时延因子第21页，共47页，编辑于2022年，星期一小结：小结：时域复频域第22页，共47页，编辑于2022年，星期一
9、课本394页的表13-1为一些常用函数的拉普拉斯变换表，在解题时可直接套用。拉普拉斯变换的主要性质有线性性质、微分性质。积分性质、延迟性质、频移性质等，由课本P294页表13-1表示了这些性质的具体应用。拉普拉斯拉普拉斯变换有哪变换有哪些性质？些性质？利用拉普利用拉普拉斯变换拉斯变换的性质，的性质，对解决问对解决问题有何种题有何种效益？效益？利用拉普拉斯变换的性质可以很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程，利用这些性质课本表13-1中给出了一些常用的时间函数的拉氏变换。第23页，共47页，编辑于2022年，星期一13-3拉普拉斯反变换的部
10、分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开一、部分分式展开（分解定理）学习目标：学习目标：了解拉氏反变换解决问题的方法，熟悉拉氏反变换中的分解定理，学会查表求原函数。利用拉普拉斯反变换进行系统分析时，常常需要从象函数F(s)中求出原函数f(t)，这就要用到拉氏反变换。分解定理：分解定理：利用拉氏变换表，将象函数F(s)展开为简单分式之和，再逐项求出其拉氏反变换的方法。第24页，共47页，编辑于2022年，星期一即：即：其中m和n为正整数，且nm。把F(s)分解成若干简单项之和，需要对分母多项式作因式分解，求出F2(s)的根。F2(s)的根可以是单根、共轭复根和重根3种情况，下面逐一讨论。第25页，
11、共47页，编辑于2022年，星期一1.F2(s)1.F2(s)有有n n个单根个单根设n个单根分别为p1、p2、pn，于是F2(s)可以展开为式中k1、k2、k3、kn 为待定系数。这些系数可以按下述方法确定，即把上式两边同乘以(s-p1)，得第26页，共47页，编辑于2022年，星期一同理可得 令令s=p1，则等式除右边第一项外其余都变为零，即可求得所求待定系数ki为：上式中：方法方法1 1第27页，共47页，编辑于2022年，星期一 另外把分部展开公式两边同乘以(s-pi),再令spi，然后引用数学中的罗比塔法则，可得：这样我们又可得到另一求解ki的公式为：待定系数确定之后，对应的原函数求
12、解公式为：方法方法2 2第28页，共47页，编辑于2022年，星期一例例第29页，共47页，编辑于2022年，星期一设共轭复根为p1=+j，p2=-j，则显然k1、k2也为共轭复数，设k1=|k1|ej1，k2=|k1|e-j1，则2.F2(s)2.F2(s)有有共轭复根共轭复根第30页，共47页，编辑于2022年，星期一例例|k1|=0.56，=-1,=2,1=26.6,所以原函数为第31页，共47页，编辑于2022年，星期一 设p1为F2(s)的重根，pi为其余单根(i从2开始)，则F(s)可分解为：对于单根，仍然采用前面的方法计算。要确定k11、k12，则需用下式：由上式把k11单独分离
13、出来，可得：再对式子中s进行一次求导，让k12也单独分离出来，得：3.F2(s)3.F2(s)具有重根具有重根第32页，共47页，编辑于2022年，星期一 如果F2(s)具有多重根时，利用上述方法可以得到各系数，即：参看课本P298页例题13-8。在求拉氏反变换的过程中，出现单根、共轭复根和重根时如何处理？第33页，共47页，编辑于2022年，星期一13-4运算电路运算电路一、元件的运算电路 时域条件下电阻电路有uR=RiR，把该式进行拉氏变换可得到电阻元件上的电压、电流复频域关系式为：时域的电阻电路+复频域的电阻运算电路1.1.电阻元件的运算电路电阻元件的运算电路第34页，共47页，编辑于2
14、022年，星期一2.2.电感元件的运算电路电感元件的运算电路时域条件下电感电路时域条件下电感电路u u、i i关系：关系：时域的电感电路+L+复频域的电感运算电路1sL+-复频域的电感运算电路2+-sL1对时域条件下电感电路对时域条件下电感电路u u、i i关系式进行拉氏变换后可得：关系式进行拉氏变换后可得：由此得复频域运算电路：由此得复频域运算电路：由此得复频域运算电路：由此得复频域运算电路：运算阻抗运算导纳相应附加电流源相应附加电压源第35页，共47页，编辑于2022年，星期一时域条件下电容电路时域条件下电容电路u u、i i关系：关系：对时域条件下电容电路对时域条件下电容电路u u、i
15、i关系式进行拉氏变换后可得：关系式进行拉氏变换后可得：由此得电容运算电路：由此得电容运算电路：由此得电容运算电路：由此得电容运算电路：运算阻抗运算导纳相应附加电流源相应附加电压源时域的电容电路+C)(Cti+复频域的电容运算电路1+-sC1+-sC复频域的电容运算电路2+-3 3.电电容容元件的运算电路元件的运算电路第36页，共47页，编辑于2022年，星期一时域的耦合电感电路L1*L2i1u1M*i2u2时域条件下耦合电感电路时域条件下耦合电感电路u u、i i关系：关系：对时域的耦合电感电路对时域的耦合电感电路u u、i i关系式进行拉氏变换后可得：关系式进行拉氏变换后可得：得得得得耦耦耦
16、耦合合合合电电电电感感感感运运运运算算算算电电电电路路路路附加电压源sL1*sL2I1(s)U1(s)sM*I2(s)U2(s)+-+-+-+4 4.耦合电感耦合电感的运算电路的运算电路第37页，共47页，编辑于2022年，星期一二、电路定律（理）的运算形式1.1.KCLKCL运算运算形式形式2 2.KVLKVL运算运算形式形式第38页，共47页，编辑于2022年，星期一13-5应用拉普拉斯变换法分析线性电路应用拉普拉斯变换法分析线性电路一、运算法的思想 拉氏变换分析法是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为复频域的代数方程，更加方便于运算和求解；变换自动包含初始状态，
17、既可分别求得零输入响应、零状态响应，也可同时求得系统的全响应。运算法的思想与相量法的思想相似。正弦量相量相量法时间函数象函数运算法第39页，共47页，编辑于2022年，星期一运算法经典法与运算法时域内求解微分方程经典法时域的微分方程复频域的线性代数方程基础是熟悉各基本的运算电路第40页，共47页，编辑于2022年，星期一基本的运算电路+L+sL+-+C)(Cti+-sC1+-第41页，共47页，编辑于2022年，星期一应用拉氏变换求解电路的一般步骤如下：1.确定和计算各储能元件的初始条件；2.将t0时的时域电路变换为相应的运算电路；3.用以前学过的任何一种方法分析运算电路，求出待求响应的象函数
18、；4.对待求响应的象函数进行拉氏反变换，即可确定时域中的待求响应。第42页，共47页，编辑于2022年，星期一例例解解求下图所示电路在t0时各支路上的电流响应。(设开关闭合以前电路已达稳态)ik S(t=0)例题 电路图110VuC111FiCiL1HIk(s)例题 运算电路图10s11IC(s)IL(s)5ss5ss1首先确定动态元件的初始条件由此可得出相应运算电路如图示：根据运算电路求两支路电流的象函数+-sC1+-C运算电路运算电路第43页，共47页，编辑于2022年，星期一对运算电路上结点列KCL可得：Ik(s)例题 运算电路图10s11IC(s)IL(s)5ss5ss1再对各支路电流
19、进行拉氏反变换例例解解求下图所示电路的iL(t)。已知例题 电路图5Hus(t)15画出(t)作用下的运算电路并求解根据运算电路求出1/s作用下运算电路的响应。5S15(t t)作用下的运算电路1s第44页，共47页，编辑于2022年，星期一5S15(t t)作用下的运算电路1s对运算电路求1/s作用下的响应：应用叠加原理可得电路响应为：A第45页，共47页，编辑于2022年，星期一对零状态线性电路进行复频域分析 时，能否用叠加原理？若为非零状 态，即运算电路中存在附加电源时，能否用叠加原理？零状态线性电路的复频域分析中，不需要应用叠加定零状态线性电路的复频域分析中，不需要应用叠加定理。若电路为非零状态时，可应用叠加定理：即先求出零理。若电路为非零状态时，可应用叠加定理：即先求出零状态响应，再求出零输入响应，将二者叠加后可得到全响状态响应，再求出零输入响应，将二者叠加后可得到全响应。应。第46页，共47页，编辑于2022年，星期一The EndThe End第47页，共47页，编辑于2022年，星期一