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1、2013 全国新课标卷2 理科数学第1页2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷 II)第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013 课标全国，理 1)已知集合 M x|(x1)24，xR，N 1,0,1,2,3，则 M N()A0,1,2 B1,0,1,2 C1,0,2,3 D0,1,2,3 2(2013 课标全国，理2)设复数 z 满足(1i)z2i，则 z()A1i B1I C1i D1i 3(2013 课标全国，理3)等比数列 an 的前 n 项和为 Sn.已知 S3a210a1，a59
2、，则 a1()A13 B13 C19 D194(2013 课标全国，理4)已知 m，n 为异面直线，m 平面，n平面.直线 l 满足 lm，l n，l，l，则()A 且 l B 且 l C 与 相交，且交线垂直于l D 与 相交，且交线平行于 l 5(2013 课标全国，理5)已知(1ax)(1 x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a()A4 B3 C2 D1 6(2013 课标全国，理 6)执行下面的程序框图，如果输入的N 10，那么输出的S()A1111+2310LB1111+2!3!10!LC1111+2311L D1111+2!3!11!L7(2013 课标全国，理7)一个四面体的
3、顶点在空间直角坐标系O xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 15 页 -2013 全国新课标卷2 理科数学第2页8(2013 课标全国，理8)设 alog36，blog510，clog714，则()Acba Bbca Cacb Dabc 9(2013 课标全国，理9)已知 a0，x，y 满足约束条件1,3,3.xxyya x若 z2xy 的最小值为 1，则 a()A14 B12 C1 D2 10(2013 课
4、标全国，理 10)已知函数 f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f(x0)0 B函数 yf(x)的图像是中心对称图形C若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(，x0)单调递减D若 x0 是 f(x)的极值点，则 f(x0)0 11(2013 课标全国，理 11)设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M在 C上，|MF|5，若以 MF为直径的圆过点(0,2)，则 C的方程为()Ay24x 或 y28x By22x 或 y28x Cy24x 或 y216x Dy22x 或 y216x 12(2013 课标全国，理 12)已知点 A(1,0)，B(1,
5、0)，C(0,1)，直线 yaxb(a0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是()A(0,1)B2 11,22 C2 11,23 D1 1,3 2第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分13(2013 课标全国，理 13)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E为 CD的中点，则AE BDuuu r uuu r_.14(2013 课标全国，理14)从 n 个正整数 1,2，n 中任意取出两个不同的数，若名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师
6、精心整理-第 2 页，共 15 页 -2013 全国新课标卷2 理科数学第3页取出的两数之和等于5 的概率为114，则 n_.15(2013 课标全国，理 15)设 为第二象限角，若1tan42，则 sin cos _.16(2013 课标全国，理16)等差数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 S100，S1525，则nSn的最小值为 _三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013 课标全国，理 17)(本小题满分 12分)ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 abcos C csin B.(1)求 B；(2)若 b2，求 ABC 面积的最大值名师资料总
7、结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 15 页 -2013 全国新课标卷2 理科数学第4页18(2013 课标全国，理 18)(本小题满分 12分)如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中，D，E分别是 AB，BB1的中点，AA1AC CB 22AB.(1)证明：BC1平面 A1CD；(2)求二面角 DA1CE的正弦值19(2013 课标全国，理 19)(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每1 t 亏损 300元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购
8、进了130 t 该农产品以X(单位：t,100 X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将 T表示为 X的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于 57 000 元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X100,110)，则取 X105，且 X105 的概率等于需求量落入 100,110)的频率)，求 T的数学期望名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 15 页 -2013 全国新课标卷2 理科数学第5页
9、20(2013 课标全国，理20)(本小题满分12 分)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M：2222=1xyab(ab0)右焦点的直线30 xy交 M于 A，B两点，P为 AB的中点，且 OP的斜率为12.(1)求M的方程；(2)C，D为 M上两点，若四边形ACBD 的对角线 CD AB，求四边形 ACBD 面积的最大值21(2013 课标全国，理 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)exln(xm)(1)设 x0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性；(2)当 m 2时，证明 f(x)0.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 15 页 -
10、2013 全国新课标卷2 理科数学第6页请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22(2013 课标全国，理 22)(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点 D，E，F 分别为弦 AB与弦 AC上的点，且 BC AE DC AF，B，E，F，C四点共圆(1)证明：CA是ABC 外接圆的直径；(2)若 DB BE EA，求过 B，E，F，C四点的圆的面积与 ABC外接圆面积的比值23(2013 课标全国，理 23)(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知动点
11、 P，Q都在曲线 C：2cos,2sinxtyt(t 为参数)上，对应参数分别为t 与 t 2(02)，M为 PQ的中点(1)求 M的轨迹的参数方程；(2)将 M到坐标原点的距离d 表示为 的函数，并判断 M的轨迹是否过坐标原点名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 15 页 -2013 全国新课标卷2 理科数学第7页24(2013 课标全国，理 24)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲设 a，b，c 均为正数，且 abc1，证明：(1)abbcac13；(2)2221abcbca.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 15 页 -20
12、13 全国新课标卷2 理科数学第8页2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷 II)第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1答案：A 解析：解不等式(x1)24，得 1x3，即 M x|1x3而 N 1,0,1,2,3，所以 M N 0,1,2，故选 A.2答案：A 解析：2i2i 1i=1i1i 1iz22i21i.3答案：C 解析：设数列 an 的公比为q，若q1，则由a59，得a19，此时S327，而a210a199，不满足题意，因此q1.q1 时，S331(1)1aqqa1q10a1，311q
13、qq10，整理得 q29.a5a1q49，即 81a19，a119.4答案：D 解析：因为 m，l m，l，所以 l.同理可得 l.又因为 m，n 为异面直线，所以 与 相交，且 l 平行于它们的交线故选D.5答案：D 解析：因为(1x)5的二项展开式的通项为5Crrx(0 r 5，r Z)，则含x2的项为225C xax15C x(105a)x2，所以 105a5，a1.6答案：B 解析：由程序框图知，当 k1，S0，T1 时，T1，S1；当 k2 时，12T，1=1+2S；当 k3 时，123T，111+223S；当 k4 时，1234T，1111+223234S；当 k10 时，12 3
14、 410TL，1111+2!3!10!SL，k 增加 1 变为 11，满足 kN，输出 S，所以 B正确7名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 15 页 -2013 全国新课标卷2 理科数学第9页答案：A 解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O xyz 的图像为下图：则它在平面 zOx上的投影即正视图为，故选 A.8答案：D 解析：根据公式变形，lg 6lg 21lg 3lg 3a，lg10lg 21lg 5lg 5b，lg14lg 21lg 7lg 7c，因为lg 7lg 5 lg 3，所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg 5lg 3，即 cba.故选D.9答
15、案：B 解析：由题意作出1,3xxy所表示的区域如图阴影部分所示，作直线 2xy1，因为直线 2xy1 与直线 x1 的交点名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 15 页 -2013 全国新课标卷2 理科数学第10页坐标为(1，1)，结合题意知直线ya(x3)过点(1，1)，代入得12a，所以12a.10答案：C 解析：x0是 f(x)的极小值点，则 yf(x)的图像大致如下图所示，则在(，x0)上不单调，故 C不正确11答案：C 解析：设点 M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|x02p5，则 x052p.又点 F的坐标为,02p，所以以 MF为直径的圆
16、的方程为(xx0)2px(yy0)y0.将 x0，y2 代入得 px084y00，即202y4y080，所以 y04.由20y2px0，得16252pp，解之得 p2，或 p8.所以 C的方程为 y24x 或 y216x.故选 C.12答案：B 第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分13答案：2 解析：以 AB所在直线为 x 轴，AD所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(2,0)，点 D的坐标为(0
17、,2)，点 E的坐标为(1,2)，则AEu uu r(1,2)，BDuu u r(2,2)，所以2AE BDu uu r uuu r.14答案：8 解析：从 1,2，n中任取两个不同的数共有2Cn种取法，两数之和为 5 的有(1,4)，(2,3)2种，所以221C14n，即24111142n nn n，解得 n8.15答案：105解析：由1tan1tan41tan2，得 tan 13，即 sin 13cos.将其代入 sin2cos21，得210cos19.因为 为第二象限角，所以cos 3 1010，sin 1010，sin cos 105.16答案：49 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名
18、师精心整理-第 10 页，共 15 页 -2013 全国新课标卷2 理科数学第11页解析：设数列 an 的首项为 a1，公差为 d，则 S101109102ad10a145d0，S15115 14152ad 15a1105d25.联立，得 a13，23d，所以 Sn2(1)211032333n nnnn.令 f(n)nSn，则32110()33f nnn，220()3fnnn.令f(n)0，得n0 或203n.当203n时，f(n)0,200 3n时，f(n)0，所以当203n时，f(n)取最小值，而 nN，则f(6)48，f(7)49，所以当n7 时，f(n)取最小值 49.三、解答题：解答
19、应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin C sin B又 A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由，和 C(0，)得 sin Bcos B，又 B(0，)，所以4B.(2)ABC的面积12sin24SacBac.由已知及余弦定理得4a2c22cos4ac.又 a2c22ac，故422ac，当且仅当 ac 时，等号成立因此 ABC面积的最大值为2+1.18解：(1)连结 AC1交 A1C于点 F，则 F 为 AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1DF.因为 DF?平面 A1CD，BC1平
20、面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD.(2)由 AC CB 22AB得，AC BC.以 C为坐标原点，CAuu u r的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设 CA 2，则 D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，CDuuu r(1,1,0)，CEu uu r(0,2,1)，1CAu uu r(2,0,2)设 n(x1，y1，z1)是平面 A1CD的法向量，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 15 页 -2013 全国新课标卷2 理科数学第12页则10,0,CDCAuuu ruuu rnn即11110,220.xyxz可取
21、 n(1，1，1)同理，设 m是平面 A1CE的法向量，则10,0,CECAuu u ruu u rmm可取 m(2,1，2)从而 cosn，m3|3n mnm，故 sin n，m 63.即二面角 DA1CE的正弦值为63.19解：(1)当 X100,130)时，T500X300(130X)800X39 000，当 X130,150 时，T500130 65 000.所以80039000,100130,65000,130150.XXTX(2)由(1)知利润 T不少于 57 000 元当且仅当 120X150.由直方图知需求量 X120,150 的频率为 0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少
22、于 57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得 T的分布列为T 45 00053 00061 00065 000 P 0.10.20.30.4 所以 ET 45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.4 59 400.20解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则221122=1xyab，222222=1xyab，2121=1yyxx，由此可得2212122121=1bxxyyayyxx.因为 x1x22x0，y1y22y0，0012yx，所以 a22b2.又由题意知，M的右焦点为(3，0)，故 a2b23.因此a26，b23.所
23、以 M的方程为22=163xy.(2)由2230,1,63xyxy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 15 页 -2013 全国新课标卷2 理科数学第13页解得4 3,33,3xy或0,3.xy因此|AB|4 63.由题意可设直线 CD的方程为y5 333xnn，设 C(x3，y3)，D(x4，y4)由22,163yxnxy得 3x24nx2n260.于是 x3,4222 93nn.因为直线 CD的斜率为 1，所以|CD|24342|93xxn.由已知，四边形 ACBD 的面积218 6|929SCDABn.当 n0 时，S取得最大值，最大值为8 63.所以四边形
24、ACBD 面积的最大值为8 63.21解：(1)f(x)1exxm.由 x0 是 f(x)的极值点得 f(0)0，所以 m 1.于是 f(x)exln(x1)，定义域为(1，)，f(x)1e1xx.函数 f(x)1e1xx在(1，)单调递增，且 f(0)0.因此当 x(1,0)时，f(x)0；当 x(0，)时，f(x)0.所以 f(x)在(1,0)单调递减，在(0，)单调递增(2)当 m 2，x(m，)时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当 m 2 时，f(x)0.当 m 2 时，函数 f(x)1e2xx在(2，)单调递增又f(1)0，f(0)0，故 f(x)0在(2，)有唯一实根 x0，
25、且 x0(1,0)当 x(2，x0)时，f(x)0；当 x(x0，)时，f(x)0，从而当 xx0时，f(x)取得最小值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 15 页 -2013 全国新课标卷2 理科数学第14页由 f(x0)0 得0ex012x，ln(x02)x0，故f(x)f(x0)012xx020012xx0.综上，当 m 2时，f(x)0.请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22解：(1)因为 CD为ABC外接圆的切线，所以 DCB A，由题设知BCDCFAEA，故CDB AEF，所以 DBC EF
26、A.因为 B，E，F，C四点共圆，所以 CFE DBC，故EFA CFE 90.所以 CBA 90，因此 CA是ABC 外接圆的直径(2)连结 CE，因为 CBE 90，所以过 B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由 DB BE，有 CEDC，又 BC2DB BA 2DB2，所以 CA24DB2BC26DB2.而 DC2DB DA 3DB2，故过 B，E，F，C四点的圆的面积与 ABC外接圆面积的比值为12.23解：(1)依题意有 P(2cos，2sin)，Q(2cos 2，2sin 2)，因此 M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为coscos2,sinsin2xy
27、(为参数，02)(2)M点到坐标原点的距离2222cosdxy(02)当 时，d0，故 M的轨迹过坐标原点24解：(1)由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得 a2b2c2abbcca.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 15 页 -2013 全国新课标卷2 理科数学第15页由题设得(abc)21，即 a2b2c22ab2bc2ca1.所以 3(abbcca)1，即 abbcca13.(2)因为22abab，22bcbc，22caca，故222()abcabcbca2(abc)，即222abcbcaabc.所以222abcbca1.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 15 页 -