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1、北京化工大学 2013-2014 学年第一学期矩阵论试题一、设矩阵2512516153A,1.求 A 的特征多项式和全部特征值；2.求 A 的不变因子、初等因子和最小多项式；3.求 A 的 Jordan 标准型 J；4.求limkkA；5.计算Ate6.求微分方程组()()dx tAx tdt满足初值1(0)11x的解.解：2222511521521.2511520615331560551001000000.0500IA特征多项式为3，特征值为0()三重.2.不变 因 子为21231,ddd.初 等因 子 为2,，最小 多项式 为2m.3.Jordan 标准型为00101000J或者.4.由于
2、=01lim0kkAA.5.取多项式()tfe,由带余除法设10(),()fqtmb tb，代入名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -00fb，10fb t得011btbt，所以125()21561513Attttef AtAItttttt。6.微分方程组的解为125112()(0)21511261513116Atttttx te xtttttttt.二、已知矩阵110010211iA，1.求11,mmFAAAAA；2.设,nHx yCBxy，试比较FB与22xy的大小，给出理由.解：1.1162,6,22,4,10mmFAAAAA2.相等，直接计算或者22(
3、)()()().HHHHHFHHHHBtr B Btr yx xyx xtr yyx xtr y yx xy yxy三、用 Householder 变换求矩阵1200103410301204A的QR分解.解 记1111x，则22x，11111xe，取111121u.得141111111112111121111THIuu，12234000000040230H A.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -对1000004230A，记1002x，则1122x，11 1202xe，取111021u。得23110012010100THIu u，21230004000H A
4、.令12100SHH，则有12111110111110111121111QHH，2234023000040000R，使得AQR.四、已知0101121210102121A，1313b.1.求A的满秩分解；2.求A；3.用广义逆矩阵方法判断线性方程组Axb是否有解；4.求线性方程组Axb的极小范数解或极小范数最小二乘解解，并说明是哪种解.解 1.1010010100000000A行，0112101010010121AFG.2.121341342110TTFF FF，11001110201TTGGGG，2134342112134203421AG F.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第
5、 3 页，共 6 页 -3.111121A b，1313AA bb，所以方程组Axb有解.4.0111121xA b，是Axb的极小范数解.五、已知矩阵空间2 2R的一个基为12341011111 1,0000101 1AAAA，线性变换T满足123410011 111,01101 111T AT AT AT A.1.求T在基1234,A AA A下的矩阵；2.判断是否存在2 2R的基，使得T在该基下的矩阵为对角矩阵，并证明你的结论；3.求N T的一个基；4.求2 2R的一个基，使得T 在该基下的矩阵为Jordan 矩阵，并写出这个Jordan 矩阵.解1234111221221,A AA A
6、EEEEC，11111011100110001C.记iiBT A，14i，则1234111221222,B B B BEEEEC，21011011101111011C.112341234123412,T A A A AB BB BA AA AC C，所以T在基1234,A A A A下的矩阵为1121102000011021011AC C.2.22det1IA，A有两个二重特征值0,1。3rank IA，1的几何重数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -41rank IA小于代数重数2，所以T不可对角化，即不存在2 2R的基，使得T在该基下的矩阵为对角矩阵.3
7、.1234,0N TX TXOX XA AAAA。0Ax的一个基础解系为121111,1001，所以N T的一个基为1234,iiXA A A A，1,2i，即1012,1011.4.21102100011121011(1)IA,对1,解线性方程组010200020000010001000100()0,111211121010101001020002IA x取31010p.求3()IA xp的解.0102100021010000100011121111211010001021101211010001000010000002100011/20000000000,取41011/2p名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -求出可逆矩阵1111110010110101/2P,使得100111PAPJ,取基为12341012011/21/2(,),1011101/21/2A AA A P 即为，则在此基下的矩阵为 Jordan 矩阵 J.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -