《2022年小专题椭圆----斜率之积是定值 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年小专题椭圆----斜率之积是定值 .pdf（4页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页 共 4 页OxyPAB椭圆一个性质的应用性质如图 1，椭圆22221(0)xyabab上任意一点P与过中心的弦AB的两端点A、B连线PA、PB与坐标轴不平行，则直线PA、PB的斜率之积PAPBkk为定值22ba证明设(,)P x y，11(,)A xy，则11(,)Bxy所以12222byax1221221byax由得22122212byyaxx，所以22212212abxxyy，所以222111222111PAPByyyyyybkkxxxxxxa为定值这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性，因而能简洁解决问题，下举例说明一、证
2、明直线垂直例 1 如图 2，已知椭圆22142xy，,A B是其左、右顶点，动点M满足MBAB，连结AM交椭圆于点P求证：MOPB证 明设(2,)My，由 性 质 知12PAPBkk，即12MAPBkk图 1 图 2 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 4 页 -第 2 页 共 4 页直线MA，MO的斜率分别为24MAyyka，2MOyyka，所以12MAMOkk将代入得1MOPBkk，所以MOPB例 2 如图 3，PQ 是椭圆不过中心的弦，A1、A2为长轴的两端点，A1P 与 Q A2相交于 M，P A2与 A1Q 相交于点 N，则 MNA1A2证明设 M（x1，y
3、1），N（x2，y2）由性质知1222PAPAbkka，即1222MANAbkka，所以222211abaxyaxy1222QAQAbkka，即2122MANAbkka，所以221122abaxyaxy比较与得1221()()()()xaxaxaxa，所以2112()()a xxa xx，所以12xx所以 MNx 轴，即 MNA1A2二、证明直线定向例 3 如图 4，已知 A(2，1)，B(2，1)是椭圆 E：x26y231上的两点，C，D 是椭圆 E 上异于 A，B 的两点，且直线AC，BD相交于点M，直线 AD，BC 相交于点NCA，CB，DA，DB 的斜率都存在求证：直线MN 的斜率为定
4、值证明设(,)MMM xy，(,)NNN xy，由性质知12CACBkk，即12MANBkk，12DADBkk，即12NAMBkk所以111222NMMNyyxx，11(224)2MNMNMNMNy yyyx xxxx y A O B C D M N 图 4 图 3 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 4 页 -第 3 页 共 4 页111222NMMNyyxx，11(224)2MNMNMNMNy yyyx xxx由得()MNMNyyxx所以1MNk，即直线 MN 的斜率为定值1三、证明点的纵坐标之积为定值例 4如图 5，已知椭圆 C：x24y231，过椭圆 C 的右
5、焦点F 且与 x 轴不重合的直线与椭圆C 交于 A，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P，直线 PA，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于 M，N 两点记 M，N 两点的纵坐标分别为yM，yN，求证：yM yN为定值证明当直线 AB 的斜率 k 不存在时，易得yM yN 9.当直线 AB 的斜率 k 存在时，由性质知kPAk34，所以 kPA34k.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 P(x2，y2)，所以直线PA 的方程为 yy234k(xx2)，因为右准线l 的方程为4x，所以 yM34k(x24)y2，因为,A F B三点共线，所以直线AB 的斜率 ky2x21.所以 yM3 x24x214y2y2.因为直线PB 的方程为 yy2x2x，所以 yN4y2x2.所以 yMyN3x24 x21x24y22x2.又因为x224y2231，所以 4y22123x22，所以 yMyN3x24 x21 4x22x2 9，所以 yMyN为定值 9.图 5 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 4 页 -第 4 页 共 4 页由以上几个例题，同学们会看到，这个性质解决问题中起到了化繁为简作用，希望同学们领悟其中的道理，并进一步运用这个性质解决更多的问题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 4 页 -