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1、高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、已知向量a=（-2，1），向量|b|= 2|a|，若b（a-b）= -30，则向量b的坐标= 。2、已知a=（2，1），3a-2b=（4,-1），则ab= 。3、向量a=（m，-2），向量b=（-6，3），若ab，则（3a+4b）（6a-5b）= 。4、已知向量a、b满足|a|=2，b=（-1，），且（4a-b）（a+b）=22，则a、b的夹角 。5、在矩形ABCD中，,，则实数 。6、已知向量，若，则t _。7、已知|=1，|=， =0，点C在AOB内，且AOC=30，设=m+n（m、nR），则等于 。8、若|+|=|=2|，则向量+与的夹角
2、为 。9、已知向量=（2，1），=10，|+|=，则|=（）10、已知平面向量，xR，若，则|=_。二、选择题1、已知向量a=（2，1），向量b=（1，-1），那么2a+b= 。A、 （5,，1） B、（4，1） C、（5，2） D、（4，2）2、已知向量a=（2，4），向量b=（-3，0），则= 。A、 3 B、 3 C、 2 D、3、已知向量a=（2cos，1），向量b=（2sin，-1），若0，且ab，则tan的值 。A、 -2- B、 2- C、3+ D、-3-4、已知非零向量a、b，且=，则a与a+b的夹角 。A、 90 B、 60 C、 30 D、 05、已知向量a=（m，-1），
3、向量b=（4m-1，2），若ab，则（2a+b）（a-2b）= 。A、 0 B、 1 C、 D、 6、已知向量，若为实数，则的值为 A、 B、 C、 D、 7、在正五边形ABCDE中，已知=9，则该正五边形的对角线的长为A、 B、 C、 D、8、直角三角形中，点是三角形外接圆上任意一点，则的最大值为_A、 12 B、 10 C、 8 D、69、已知向量=（x，2），=（2，1），=（3，x），若，则向量在向量方向上的投影为 。A、 1 B、 2 C、 4 D、610、已知非零向量满足，则（+）与（+）夹角的为 A、 30 B、 60 C、 90 D、120三、解答题1、已知向量a、b是互相垂直
4、的单位向量，向量c满足ca= cb=1 ，|c |=（1）求|a+b+c |的值（2）t为正实数，求|ta+ b+c |的最小值2、点P为ABC所在平面上的一点，且+ + = ， 求PAB的面积与ABC的比值。3、m是单位向量，向量a=（1，1），向量b=（1，2- ），若m与a、b所成的夹角相等，求向量m的坐标。高中平面向量经典练习题【答案】一、填空题1题：因为a=（-2，1），所以|a|=，又 |b|= 2|a|=2设b（m，n）则有：m+n= 20-已知b（a-b）= -30即：ab-b=-30 （因为b=（2）=20）所以：ab= -10即（m，n）（-2，1）= -2m+n = -1
5、0 式子变化：n= 2m-10-将代入得，5m-40m+80=0m-8m+16=0（m-4）=0m=4【特别提示】只能将m=4代入，解得n=-2 （如果将m=4代入，n会有两个值）故：向量b的坐标为（4，-2）2题：已知：a=（2，1）则3a=（6，3）- 又3a-2b=（4,-1）-式-式，得：2b=（2，4） b=（1，2） 所以ab=（2，1）（1，2）=43题：解：a=（m，-2），b=（-6，3）因为ab所以：-3m=（-2）（-6） ，解得m= 4故a=（4,-2）因为a=（4,-2），b=（-6，3）所以：a= - b（3a+4b）（6a-5b）=3（- b）+4b6（- b）-
6、5b =2b（-9b）=-18bb=（|b|）=45所以：（2a+5b）（4a-4b）= -1845= -9245= -990= -8104题：解：已知b=（-1，），则|b|=已知|a|=2则：a=（|a|）=4-b=（|b|）=3-|a|b|=2-又（4a-b）（a+b）=4a+3ab-b =22 【将代入】44+3ab-3=22 3ab=9则：ab= 3-Cos= 【将 代入】 = =30故，a与b的夹角为305题： 已知，,在三角形ABC中，= - =（k-1,1）又ABC=90，所以， =0即：k-1-3=0k=46题：3 7题： 因为=0所以，与的夹角为90，过C点作DCOB,连接
7、AC并延长交OB于E点。在三角形OCD中，有 = +-已知， =m+n- 由、知， =m =n又 因为|=1，|=，所以：| = m ，| = n -在RTOCD中，DOC=30故，tan30= -把代入， = = 故： =38题： 解：任意作两个向量a,b, 则就是a+b，就是a-b 已知|+|=|，也就是平行四边形ABCD的对角线相等，所以，ABCD是矩形。又|+|=2|，即，对角线的长度为一边的2倍，那么，DAB=30也就是向量+与的夹角为30 9题：解：|+|=，|=（+）2=2+2+2=50，=25得|=510题：解：平面向量，xR，若，则4x+2x2=0，解得：2x=1，=（1，1
8、），=（1，1）=（0，2），|=2二、选择题1题：选A 2题、选D3题：选B解：a=（2cos，1），b=（2sin，-1）且ab所以：4sincos -1=0 2sin2=1 sin2= 因为0 则 02， cos2为正。 所以 cos 2= 则：tan2=而tan2= =tan=2- 或tan= -2-（在一象限，其tan为正，故舍去）4题：C如图，因为=，所以，三角形为等边三角形，每一个角为60又a+b平分a与b的夹角故：a与a+b的夹角为30b5题：选Aa=（m，-1），b=（4m-1，2）因为ab所以 ：（-1）（4m-1） = 2m 化简：-4m+1=2m即：4m+2m-1=0-
9、又2a+b=（2m+4m-1，-2+2）=（0,0）由知，此项为0所以：2a+b=（0,0）则：（2a+b）（a-2b）= 06题：Aa=（1，2）, b=（1，0）， c=（3，4）那么：a+b=（+1,2）又因为，（a+b）c （+1,2）（3，4）=0 3+3+8=0= - 故，选A7题：C解：正五边形内角=（5-2）1805=108解：设该正五边形的边长为x，在RTBDC中，线段DC=BCcos36=xcos36所以，线段AC=2DC=2xcos36- =9，COSDAB= （其中：AB=x）cos36=所以，x= - 将 代入中，得： AC = 2 * * cos36化简： AC =
10、 即： AC =18 AC =该正五边形的对角线的长为：38题：A如图，建立坐标系，A（0，0），B（3，0），C（0，4）圆心0（,2）半径r= 则圆的方程：（x- ）+（y-2）= （）等式两边同时乘以（）（x- ）+（y-2）=1令（x- ）=cos 化简得，x= cos+ （y-2）=sin，化简得， y= sin+2因为M在圆上，故设M坐标（ cos+ ，sin+2）所以，= （ cos+ ，sin+2）=(3，0）那么，=（ cos+ ，sin+2） (3，0）= cos+ 因为可以取负数，0，正数当M点与B点重合时，=0Cos取最大值1，则最大值= + =12故选A9题：C解：=
11、（x，2），=（2，1），x=22=4，=（3，4），|=5， =（4，2）（3，4）=12+8=20，向量在向量方向上的投影为=4，故答案为：410、选A因为，所以三角形ABC为等边三角形，每个角为60，D为BC中点，那么，ADBC，在三角形ABD中，=+(其中=，=) 所以，=+-又=+- 由 知，（+）与（+）的夹角就是与的夹角而与的夹角=DAC=30故选A三、解答题1、解【第一问】因为a、b是单位向量，所以，a=（|a|）=1- b=（|b|）=1-又ab，所以ab=0 -|c |= 则c=（|c|）=2-ca= cb=1 -令m= a+b+c ，等式两边同时平方m=a+b+c+2ab
12、+2bc+2ac 【将 】m=1 +1 +2 +0 +2*1+2*1m=8故|a+b+c |= = 【第二问】令n =ta+ b+c 等式两边同时平方n=ta+ b+c+2ab+2bc+2tac 【将 】n=t + +2 +0 + +2t- 又t为正实数，t + 2 =2- +2t 2 = 4-将 代入n2+2+4=8故：|ta+ b+c | 所以，|ta+ b+c |的最小值为2、解：因为在三角形ABP中， = + ， 将移到等号的左边，得 - =- 已知 + + = - 两式相减，即- 得，-2 -= 0 即： = -2【特别提示】1、如果三个点构成的任意两个向量，他们的比值为一个常量，那
13、么，这三个点共线。2、比值常量可以为正，也可以为负，常量可以是有理数，也可以是无理数：例如比值为2，-2， ，- ， ， ，- - 3、根据比值的正负，最终排定三个点的先后顺序。因为， = -2 所以 A、C、P三点共线，比值为负，故P在边AC上，且位于A、C之间。由上图， = -2 则2|AP |=|PC| 三角形ABC被分成两部分，其面积之比1:2故：PAB的面积与ABC的比值1:33、解：设m坐标（x，y）m是单位向量，则|m |=1-a=（1，1） 则|a|= -b= （1，2- ）则|b|= - -【过程】|b|= 1 +（2- ） = 1 +（4 -4 +3） =8 - 4 =（6
14、+2）-2 =（）-2+（）=（- ）那么，cos = 【将 】得，cos = = -cos = 【将 】得，cos = = -因为m与a、b所成的夹角相等，所以= 即 = 等式两边同时乘以（ -1）（ -1）am=bm- 因为m=（x，y），a=（1，1），向量b=（1，2- ）则 am= x +y- bm=x +（2- ）y-将 代入（ -1）（ x +y）= x +（2- ）y化简：（ -1）-1x=（2- ）-（ -1）y（ -2）x=（3- 2）y 等式两边同时乘以（ +2） 得，（3-4）x=（3+6-6-4）y -x= - y x=y-因为|m |=1 x+y=1 【将 x=y代
15、入】解得：y= 将 y=代入，x= 故：m坐标（,）或（- ，- ）【第二种情况】向量a、b所形成的夹角有两个，且这两个夹角互补，他们的cos值互为相反数。也就是说，cos = - cos即 = - 等式两边同时乘以（ -1）-（ -1）am=bm-因为m=（x，y），a=（1，1），向量b=（1，2- ）则 am= x +y- bm=x +（2- ）y-将代入-（ -1）（x+y）= x +（2- ）y-（ -1）-1x=（2- ）+（ -1）y- x=y-因为|m |=1 x+y=1 【将 y= -x代入】解得：x= 将 y=代入，x= - y= - 代入，x= 故：m坐标（，- ）或（- ， ，）综上：m坐标（,）或（- ，- ）或（，- ）或（- ， ，）