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1、收 稿日 期：2009-06-08；修订 日 期：2009-07-10基 金项 目：“863”计 划 资 助项 目作 者简 介：孙 立 成（1982-），女，黑 龙 江鸡 西 人，助 理 工程 师，硕士，主要 从 事 激光 与物质 相 互 作用 方 面的 研 究。Email:导 师简 介：武征（1969-），男，辽宁昌图人，高级工程师，硕士，主要从事光学测量方面的研究与应用。陆启生（1943-），男，江苏如东人，教授，主要从事激光与物质相互作用方面的研究。第39卷第2期红外与激光工程2010年4月Vol.39 No.2Infrared and LaserEngineeringApr.2010驻
2、波激光器的麦克斯韦-布洛赫方程的简化孙立成1，2，武征1，张浩3，陆启生2（1.九二九四一部队，辽宁 葫芦岛125000；2.国防科学技术大学 光电科学与工程学院，湖南 长沙410073；3.国防科学技术大学理学院，湖南长沙 410073）摘要：为了对驻波激光器的混沌现象进行数值模拟，需要建立驻波腔中对数学运算具有可行性的动力学方程。已知的哈肯激光方程中含有求和符号，导致运算量过大，不具备数值模拟的可行性。为了简化运算，将哈肯激光方程中的光场按驻波展开，在单模、均匀加宽的条件 下 引 入 两个 宏 观 变 量，消除了求和符号，得到简化后的驻波腔麦克斯韦-布洛赫方程(M 蛳 B 方 程)，再 对
3、 该 方 程 进 行 归 一 化 处 理，得到一个系数仅与各增益和损耗项有关的方程组。该方程组结构 简 单、各 变 量 意 义 明 确、各 系 数容 易获得。进一步应用该方程对CO2激光器进行MATLAB数值模拟，得到了混沌吸引子，说明该方程可以作为模拟驻波激光器混沌的数学模型。关键词：激光光学；麦克斯韦-布洛赫方程；驻波激 光器；均匀加宽中图分类号：TN241文献标识码：A文章编号：1007-2276(2010)02-0251-05Simplificationof the Maxwell 蛳 Bloch equation ofstanding wave laserSUN Li 蛳 cheng
4、1,2,WUZheng1,ZHANGHao3,LU Qi 蛳 sheng2(1.92941 Troop of the PLA,Huludao125000,China;2.College of Opto蛳 electronicScience and Engineering,NationalUniversityof Defence Technologyand Science,Changsha410073,China;3.College of Science,National Universityof Defence Technologyand Science,Changsha410073,Chin
5、a)Abstract:In order to make a numericalsimulationof the chaos in standing wave laser,a feasibledynamicequation in mathematical evaluation is required.In the wellknownHaken s laser equation,thesummation symbolresults in a tremendously large evaluation.In order to simplifythe evaluation,the lightfield
6、 in the Haken s laser equation was expanded in the standing wave form which includes two macroscopicvariablesto eliminatethe summationsymbolin terms ofsinglemode andhomogeneousbroadening.Therefore,the simplifiedMaxwell蛳 Blochequations were gained.Afternormalizing,newequations wereobtained.Every vari
7、able had unambiguous meaning.Every coefficient was easy to obtain and only related togain or dissipation.Moreover,a chaotic attractor was obtained through a MATLABnumerical simulation of aCO2laser by using simplifiedthe equations.It is shown that this equation could be a model for the numericalsimul
8、ation of chaos in standing wave laser.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -红外与激光工程第39卷Key words:Laser optics;Maxwell 蛳 Bloch equation(M 蛳 B equation);Standing wave laser;Homogeneous broadening0引言1960 年尖峰脉冲被发现，证实了激光器中存在混沌现象，之后，激光器中的混沌运动作为光学混沌的一个分支,引起了国内外学者的广泛关注。大量实验和模拟工作被展开而且成果丰硕1-4。但是对于驻波激光器混沌的数值模拟一直
9、是个空白，原因是可以描述驻波激光器混沌的动力学方程哈肯的激光方程中含有求和符号，导致运算量巨大，难 于 对 它 进行 数 值 模 拟。要解决这个问题，必须先对哈肯的激光方程进行简化处理，消除求和符号。1麦克斯韦-布洛赫方程根据哈肯的半经典理论，将光场看成经典电磁场，用麦克斯韦方程描述，把原子看成是量子化的，由布洛赫方程描述，于是在二能级近似下，光场与原子系统相互作用的麦克斯韦-布洛赫方程组(M 蛳 B 方程)5-8为：E(x,t)-1c2E咬(x,t)-0E觶(x,t)=0P咬(x,t)(1)觶=(-i軍-)-1i攸E(x,t)abd(2)d觶=-襓(d-d0)+2i攸E(x,t)(ab*-b
10、a)(3)式 中：方 程(1)为 场 方 程；方 程(2)、(3)为 物 质 方 程；E(x,t)为 电 场；P(x,t)为 方 程 宏 观 极 化 强 度；d为 原 子出 现 在 上、下能 级 的 几 率 之 差；d0为 无 光 场 时 原 子 出现在上、下能 级的几率之差；为无量纲的原子偶 极矩；襓和分 别 为 纵 横 向 驰 豫 速 率；軍为 原 子 的 自由振荡频率；ab为横向密度矩阵元。通过宏观场变量和微观变量的关联，可使上述方程组封闭。对 于 驻 波 腔，在 平 面 波 近 似 下，再 作 旋 转 波 和 慢变振幅近似以及 电 场的 无 量 纲 处 理 后，可 以 得 到激 光动力
11、学哈肯理论的主要方程组：a觶v=(-iv-v)av-ig*v(4)觶=(-i軍-)+ivg vavd(5)d觶=-襓(d-d0)+2iv(g*va*v-av*g v)(6)式 中：av=-i Ev20/攸v姨；v为 单 位 时 间 内 第 v 个 模的腔损耗，即腔内光 子寿命的倒数；v为第 v 个模 的频率，光场 E 第 v 个 模 的 空 间 分 布 函 数 uv(x)=L/2姨sin(kv,x)，其中L/2姨为归一化系数，kv为光场第v 个模的波数，x 为空间坐标；g v为第 v 个模的光电场与位置的原子相互作用的耦合常数：g v=iabuv(x)v/(2攸0)姨场方程(4)右边第一项是假
12、定原子与场没有作用时腔内光场振幅的振荡与衰减，第二项表明原子的偶极矩是场的辐射源；在原子偶极矩方程(5)中，右边第一项表示在光场与原子 没有 作 用 时 偶 极 矩 的 振 荡 与 衰 减，对于均匀加宽介质，各原子的軍相同，即軍軍，而对于非均匀加宽介质，原子的軍各不相同，求和项 g vavd是非线性项，代表第 v 个模的光电场感应出第个原子的偶极矩；反转粒子数方程(6)右边第一项表示由于光泵的非相干作用而产生的原子出现在上、下能级几率差的定态值，第二项代表光与原子的相干作用，对 v求和表示各种模式的光电场共同参与作用。2均匀加宽驻波激光器的M 蛳 B 方程的简化对于驻波腔，光场按驻波展开：uv
13、(x)=L/2姨sin(kvx)原子与光场的耦合常数变为：gv=iabv/(2攸0)姨sin(kvx)=gsin(kv,x)(7)g=iabv20攸姨(8)同时假设原子的电偶极矩为：(t)=(t)sin(kvx)(9)将哈肯激光方程中的g v和分别用 gv和代替，252名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -第2期然后利用方程(7)和方程(9)，则：a觶v=(-iv-)av-ig*sin2(kvx)由 于 方 程(8)定 义 的 耦 合 常 数 g 与 下 标无 关，故 在上 式中可将g*提到求和符号之外，a觶v=(-iv-)av-i g*sin2(kvx)定义
14、量纲为1 的极化强度为：P=(10)则：a觶v=(-iv-)av-i g*mP(11)式中：m=sin2(kvx)，是一个常数。对于单模均匀加宽情况，原子偶极矩方程变为：觶=(-i軍-)+ig avd利 用 方 程(7)和 方 程(9)，在 演 算 中 消 去 正 弦 因 子sin(kvx)，并对求和：觶=(-i軍-)+igavd即P觶=(-i軍-)P+igavD(12)其中D=d(13)同样，反转粒子数方程变为：d觶=-襓(d-d0)+2i(g*a*v-av*g)*sin2(kvx)两 边 对求 和，并 利 用 P 和 D 的 定 义 方 程(10)和(13)，则：D觶=-襓(D-D0)+2
15、i m(g*Pa*v-avP*g)(14)令激光频率为，将 av和 P 写成慢变振幅的形式：av=Eexp(-it)P=Pexp(-it)代 入 方 程(11)、(12)和(14)，则 得 到 驻 波 激 光 器 的 M 蛳 B方程为：E觶=(-i-)E-i mg*P(15)P觶=(-i-)P+i gED(16)D觶=-襓(D-D0)+2i(g*mPE*-gmP*E)(17)式中：=v-；=軍-。若把耦合常数定义为实数g=abv/(2攸0)姨g=ig代入 M 蛳 B 方程(15)、(16)和(17)，则 得 到 驻 波 激 光器 的M 蛳 B 方程：E觶=(-i-)E-g mP(18)P觶=(
16、-i -)P-g E D(19)D觶=-襓(D-D0)+2 g m(PE*+P*E)(20)最 后 把 均匀 加 宽 驻 波 激 光 器 的 M 蛳 B 方 程 的 物 理意义总结如下：(1)E 是 量 纲 为 1 的 光 场 的 正 频 分 量 的 慢 变 振幅，E2=ava*v。(2)P 是 量 纲 为 1 的 极 化 强度 的 慢 变 振 幅 的 正 频分量，(-Pab)才是极化强度。(3)D 是量纲为1 的反转粒子数。(4)，襓分 别 是 光 场、极 化 强 度 和反 转 粒 子数的衰减常数。(5)m=sin2(kvx)，是一个常数。(6)=v-，是 谐 振 腔 的 失 谐 参 数，即
17、 腔 的 模 的角频率与激光的角频率之差。(7)=軍-，是 原 子 的 失 谐 参 数，即 原 子 的 跃 迁之角频率与激光的角频率之差。(8)在共振时，=0，=0，方程可简化。3驻波 激 光 器 宏观量 的 归 一化 M 蛳 B 方程 的建立下 面 将 给出 驻 波 腔 中 归 一化 的 宏 观 量 E(+)、P(+)和D 的方 程，这在 激 光 传 输 等 问题 中 能 被 大 大 简化。具孙 立 成 等：驻 波 激 光 器 的 麦 克 斯 韦-布 洛 赫 方 程 的 简 化253名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -红外与激光工程第39卷体推导如下：由
18、g 和 E 的定义，有：g=abv/(20攸)姨E=-i20/(攸v)姨E(+)ei t式 中：E(+)、P(+)分 别 是 光 场 E 和 极 化 强 度 P 的 正 频 分量，将 上 式 代 入 方 程(18)、(19)和(20)，并 推 广 到 包 含坠 E(+)/坠 x 的项，则得到：坠 E(+)坠 t+c坠 E(+)坠 x=(-i -)+iv20mP(+)(21)坠 P(+)坠 t=(-i-)P(+)+1i攸E(+)ab2D(22)坠 D坠 t=-襓(D-D0)-2i攸(mE(+)P(-)-m*E(-)P(+)(23)令 方 程(21)、(22)及(23)在 共 振(=0)、定 态(
19、坠/坠 t=0)，以及忽略传播效应(坠/坠 x=0)时的解为 E軍(+)、P軍(+)和 D軓。由方程(21)可知：P軍(+)=20ivmE軍(+)P軍(-)=-20ivmE軍(-)将 P軍(+)和 P軍(-)代入方程(23)，并注意坠 D軓/坠 t=0，得到：D軓=D0-80襓攸vE(+)2(24)将 P軍(+)、P軍(-)和 D軓代入方程(22)，利用 坠 P軍(+)/坠 t=0，则：E軍(+)2=D0-20攸vmab2軓軓80/襓攸v将E軍(+)2代入方程(24)，则：D軓=20攸(vm2)P軍(+)=20ivmE軍(+)E軍(+)=(D0 D軓)襓攸v(80)軓軓1/2引入归一化的量E赞
20、、P赞和D赞，E赞=E(+)/E軍(+)P赞=P(+)/E軍(+)D赞=D/D軓+1=D0/D軓軓軓軓軓軓軓軓軓軓軓軓軓軓軓軓軓軓軓軓(25)将方程(25)依次代入方程(21)、(22)和(23)，则得到：坠坠 t+c坠坠 x+i+軓軓E赞=P赞坠坠 t+i+軓軓P赞=E赞D赞坠坠 t+襓軓軓D赞=襓(1+)-襓(E赞P赞*+E赞*P赞)/2这就是驻波腔中归一化的M蛳 B 方程。共振时=0，=0，则归一化的M 蛳 B 方程可以写为：E赞+E赞=P赞P赞+P赞=E赞D赞D赞+襓D赞=襓(1+)-襓(E赞P赞*+E赞*P赞)/軓軓軓軓軓軓軓軓軓軓軓軓軓2(26)式中：E赞表 示 归 一 化 的 光
21、 场 正 频 分 量，P赞表 示 归 一 化 的极 化 强 度 正 频 分 量；D赞表 示 归 一 化 的 反 转 粒 子 数；、襓分 别 是 光 场、极 化 强 度和 反 转 粒 子 数 的 衰 减 常数；表示泵浦系数。4数值模拟应 用 M 蛳 B 方 程(26)对 CO2激 光 器 进 行 MATLAB数值 模 拟，用以 验 证 驻 波 激 光 器 的 M 蛳 B 方 程 存 在 混沌解。当方程中的各参数取值=3 107s-1,襓=1 104s-1，=6.1 107s-1,=2 105，用 MATLAB计算后得到图1。图 1 表示在以光场E、极化强度P、反转粒 子 数 D为坐标轴得到的（E
22、,P,D）三维空间中,轨道的运动轨迹为单螺旋结构，即轨道从初始位置出发、以螺旋方式收缩至唯一的稳定不动点。此时方程的解是稳定解。图 1 稳 定 不动点Fig.1Steady point当 方 程 中 的 各 参 数 取 值=1.8 108s-1,襓=1 104s-1，=6.1 107s-1,=1.5 105，用 MATLAB计 算后得到图 2。254名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -第2期图 2 混 沌 吸引 子Fig.2Chaotic attractor图 2 表 示 在（E,P,D）三 维 空 间 中,轨 道 的 运 动 轨迹为双螺旋 结 构。此 时
23、存在 两 个 不 动 点，轨 道 先靠 近一 个 不 动 点，然 后 以 螺 旋 方 式 离 开，被 吸 引 到 另 一 个不 动 点，如 此 反 复，没 有 终 点，不 闭 合 又 永 不 相 交，至于绕两个不动点 旋 转的 次 数，则 灵 敏 地 依 赖 于 初始 值而不可预测。这是典型的混沌吸引子。5结论驻波腔中归一化的M蛳 B 方程不含求和符号，结构简单，用计算机求解速度快。另外，该方程的各系数分别是泵浦系数和各变量的衰减常数，容易估算其大小，因此，可以用它进行数值模拟。进一步应用该方程对CO2激光器进行数值模拟，得到了混沌吸引子。这说明驻波腔中存在混沌在理论上具有可能性，并且用该方程
24、来对驻波腔中的混沌进行数值模拟是完全可行的。参考文献：1WEISSC O.Routes to chaotic emission in a cw He蛳 Ne laserJ.PhysicalReview,1983,A28(2):892-895.2HILLMANLW,KUASINSKIJ,KOCHK,et al.Dynamicsofhomogeneouslybroadened lasers:higher 蛳 orderbichromaticstates ofoperationJ.JournaloftheOpticalSocietyofAmerica,1985，B2:211-217.3GIOGGIA
25、R S,ABRAHAMNB.Routes tochaoticoutputfroma single 蛳 mode,de 蛳 excitedlaserJ.PhysicalReviewLetters，1983，51(8):650-653.4TRADICEJ R,NARDUCCIL M,BANDYD K.Experimentalevidence ofmode competitionleading to opticalbistabilityinhomogeneouslybroadened lasers J.OpticsCommunications,1986，56:435-439.5WEISSC O,VI
26、LASECAR.DynamicsofLaserM.NewYork：Wiley 蛳 VCH,1991:17-34.6HAKENH.Analogybetween higher instabilitiesin fluidsandlasersJ.Physics Letters,1975,A53:77-78.7SUNCheng蛳 wei,LUQi 蛳 sheng,FANZheng 蛳 xiu，et al.LaserRadiationEffectM.Beijing:NationalDefenceIndustryPublishingPress（孙 承 伟，陆 启 生，范 正 修，等.激 光 辐 照 效应.北
27、 京：国 防 工 业出 版 社），2002:381-383.8LIFu 蛳 li.AdvancedLaserPhysicsM.Beijing:HigherEducationPublishingPress（李 福 利.高 等 激 光 物 理 学.北 京：高 等 教育 出 版 社），2006:66-67.新书介绍!光 纤 陀 螺 及 其 应 用 光 纤 陀 螺 及 其 应 用 由 北 京 航 空 航 天 大 学 张 维 叙 教 授 主 编、红 外 与 激 光 工 程 编 辑 部 编 辑、北 京 国 防 工 业 出 版 社 出版。本 书 着 重 描 述 了 光 纤 陀 螺 原 理 及 光 学 元 器
28、 件 的 基 本 知 识，简 要 介 绍 了 光 纤 陀 螺 在 各 种 系 统 中 的 应 用。全 书 共 分6章：光 纤 陀 螺 基 本 原 理；光 纤 陀 螺 的 光 学 误 差；开 环 光 纤 陀 螺 技 术；闭 环 光 纤 陀 螺 技 术；光 纤 陀 螺 光 学 元 器 件；光 纤 陀 螺 的 应用。该 书 为 从 事 光 纤 陀 螺 及 系 统 研 究 的 技 术 人 员 提 供 了 详 实 的 资 料，亦 可 作 为 高 等 院 校 师 生 的 教 材。全 书 共 计28.5万 字，233页。有 需 求 者 请 与 红 外 与 激 光 工 程 编 辑 部 联 系，联 系 电 话：
29、（022）58625202；（022）58625210；（022）23666400。光 学 系 统 设 计(内 部 资 料)光学系统设计 主要内容包括基础光学与光学系统技 术 要求；光 阑、光瞳 和 基 本原 理；衍 射、像 差 和 像质；光 程 差的 概 念；几何像差概述及其消除方法；玻璃的选择；球面和非球面；光学设计过程；计算机性能评价；高斯光束成像；3 5 m和8 12 m热 红外 成 像 基础 和 紫 外光 学 系 统；衍 射光 学；照 明 系 统的 设 计；性能 评 价 与光 学 测 试；公 差 与 生产 工 艺 性；光 学 加 工；光 学 设 计中的偏振问题；光学薄膜；硬件设计问题；镜头设计优化实例；光学系统设计常见的错误和失误；经验法则和提示等。有 需 求 者 可 与 红 外 与 激 光 工 程 编 辑 部 联 系。电 话：（022）58625202；(022)58625210；(022)23666400。孙 立 成 等：驻 波 激 光 器 的 麦 克 斯 韦-布 洛 赫 方 程 的 简 化255名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -