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1、2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考公式：样本数据12,nxxx的方差2211niisxxn，其中11niixxn柱体的体积VSh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高锥体的体积13VSh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合 1,0,1,6A，|0,Bx xxR，则ABI.2已知复数(2i)(1i)a的实部为0，其中i为虚数单位，则实数 a 的值是.3下图是一个算法流程图，则输出的S的值是.4函数276yxx的定义域是.5已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是
2、.6从 3 名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务，则选出的2 名同学中至少有1 名女同学的概率是.7在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yxbb经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是.8已知数列*()nanN是等差数列，nS是其前 n 项和.若25890,27a aaS，则8S的值是.9如图，长方体1111ABCDA B C D的体积是 120，E 为1CC的中点，则三棱锥E-BCD 的体积是.10在平面直角坐标系xOy中，P 是曲线4(0)yxxx上的一个动点，则点P 到直线 x+y=0 的距离的最小值是.11在平面直角坐标系xOy中，点 A 在曲线 y=ln
3、 x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是.12如图，在ABC中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与CE 交于点O.若6AB ACAO ECuuu r uuu ruuu r uuu r，则ABAC的值是.开始x1，S0 xx+1SS+结束输出Sx4YN2x名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 16 页 -13已知tan23tan4，则sin24的值是.14设(),()f xg x是定义在 R 上的两个周期函数，()f x的周期为4，()g x的周期为2，且()f x是奇函数.当2(0,
4、x时，2()1(1)f xx，(2),01()1,122k xxg xx，其中 k0.若在区间(0，9上，关于 x 的方程()()f xg x有 8 个不同的实数根，则k 的取值范围是.二、解答题：本大题共6小题，共计 90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14 分）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c（1）若 a=3c，b=2，cosB=23，求 c 的值；（2）若sincos2ABab，求sin()2B的值16（本小题满分14 分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC求证：（
5、1）A1B1平面 DEC1；（2）BEC1E名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 16 页 -17（本小题满分14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C:22221(0)xyabab的焦点为F1（1、0），F2（1，0）过F2作 x 轴的垂线l，在 x 轴的上方，l 与圆 F2:222(1)4xya交于点 A，与椭圆C 交于点 D.连结 AF1并延长交圆F2于点 B，连结 BF2交椭圆 C 于点 E，连结 DF1已知 DF1=52（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点 E 的坐标18（本小题满分16 分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型
6、公路l，湖上有桥 AB（AB 是圆 O 的直径）规划在公路l 上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA规划要求:线段 PB、QA 上的所有点到点O的距离均不小于圆O 的半径已知点 A、B 到直线 l 的距离分别为AC 和 BD（C、D 为垂足），测得 AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）（1）若道路PB 与桥 AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和 QA 的长度均为d（单位：百米）.求当 d 最小时，P、Q 两点间的距离名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共
7、16 页 -19（本小题满分16 分）设函数()()()(),Rf xxaxb xc a b c、()f x 为 f（x）的导函数（1）若 a=b=c，f（4）=8，求 a 的值；（2）若 a b，b=c，且 f（x）和()f x 的零点均在集合3,1,3中，求 f（x）的极小值；（3）若0,01,1abc,，且 f（x）的极大值为M，求证:M42720（本小满分16 分）定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“M 数列”.（1）已知等比数列 an*()nN满足：245132,440a aaaaa，求证:数列 an为“M 数列”；（2）已知数列 bn满足:111221,nnnbSbb，其中 S
8、n为数列 bn的前 n 项和求数列 bn的通项公式；设 m 为正整数，若存在“M 数列”cn*()nN，对任意正整数k，当 k m 时，都有1kkkcbc剟成立，求 m 的最大值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 16 页 -数学(附加题)21【选做题】本题包括A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A.选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分10 分）已知矩阵3122A（1）求2A；（2）求矩阵A的特征值.B.选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10分）在极坐标系中，已知
9、两点3,2,42AB，直线l的方程为sin34.（1）求,A B两点间的距离；（2）求点 B到直线l的距离.C.选修 4-5：不等式选讲（本小题满分10 分）设 xR，解不等式|+|21|2xx.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 16 页 -【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,nnnxaa xa xa xnnNL.已知23242aa a.（1）求n的值；（2）设(13)3nab，其中*,a bN，求223ab 的值.23.（
10、本小题满分10 分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集(0,0),(1,0),(2,0),(,0)nAn，(0,1),(,1),(0,2),(1,2),(2,2),(,2),.nnBnCnnNL令nnnnMABCUU.从集合nM中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.（1）当 n=1 时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数(3)n n，求概率()P xn（用n表示）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 16 页 -2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题 5分，共计 70分.1
11、.1,62.23.54.1,75.536.7107.2yx8.169.1010.411.(e,1)12.313.21014.12,34二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为23,2,cos3ac bB，由余弦定理222cos2acbBac，得2222(3)(2)323cccc，即213c.所以33c.（2）因为sincos2ABab，由正弦定理sinsinabAB，得cossin2BBbb，所以cos2sinBB.从而22cos(2sin)BB，即22cos4 1cosBB，故24cos5B.因为si
12、n0B，所以cos2sin0BB，从而2 5cos5B.因此2 5sincos25BB.16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分 14 分.证明：（1）因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点，所以 EDAB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABA1B1，所以 A1B1ED.又因为 ED平面 DEC1，A1B1平面 DEC1，所以 A1B1平面 DEC1.（2）因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以BEAC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面 ABC.又因为 BE平面 ABC，所以 CC1BE.
13、因为 C1C平面 A1ACC1，AC平面 A1ACC1，C1CAC=C，所以 BE平面 A1ACC1.因为 C1E平面 A1ACC1，所以 BEC1E.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 16 页 -17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分 14 分.解：（1）设椭圆C 的焦距为 2c.因为 F1(1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为 DF1=52，AF2x 轴，所以 DF2=222211253()222DFF F，因此 2a=DF1+
14、DF2=4，从而 a=2.由 b2=a2-c2，得 b2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143xy.（2）解法一：由（1）知，椭圆C：22143xy，a=2，因为 AF2x 轴，所以点A 的横坐标为1.将 x=1 代入圆 F2的方程(x-1)2+y2=16，解得 y=4.因为点 A 在 x 轴上方，所以A(1，4).又 F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.由22()22116yxxy，得256110 xx，解得1x或115x.将115x代入22yx，得125y，因此1112(,)55B.又 F2(1，0)，所以直线BF2：3(1)4yx.由221433(1)4xyxy，得276
15、130 xx，解得1x或137x.又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以1x.将1x代入3(1)4yx，得32y.因此3(1,)2E.解法二：由（1）知，椭圆C：22143xy.如图，连结EF1.因为 BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以 EF1=EB，从而 BF1E=B.因为 F2A=F2B，所以 A=B，所以 A=BF1E，从而 EF1F2A.因为 AF2x 轴，所以 EF1x 轴.因为 F1(-1，0)，由221431xxy，得32y.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 16 页 -又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以32y.因此3(1,)2E
16、.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分 16分.解：解法一：（1）过 A作AEBD，垂足为 E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，6,8DEBEACAECD.因为 PBAB，所以84cossin105PBDABE.所以12154cos5BDPBPBD.因此道路 PB的长为 15（百米）.（2）若P在D处，由（1）可得 E在圆上，则线段 BE上的点（除 B，E）到点 O的距离均小于圆O的半径，所以 P选在 D处不满足规划要求.若Q在D处，连结 AD，由（1）知2210ADAEED，从而2227cos0
17、225ADABBDBADADAB，所以 BAD 为锐角.所以线段 AD上存在点到点 O的距离小于圆 O的半径.因此，Q选在 D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在 D处.（3）先讨论点 P的位置.当OBP90 时，在1PPB中，115PBPB.由上可知，d 15.再讨论点 Q的位置.由（2）知，要 使 得 QA 15，点 Q 只 有 位 于 点 C 的 右 侧，才 能 符 合 规 划 要 求.当 QA=15 时，22221563 21CQQAAC.此时，线段 QA上所有点到点 O的距离均不小于圆O的半径.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 16 页 -综 上，当
18、 PBAB，点 Q 位 于 点 C 右 侧，且 CQ=3 21时，d 最 小，此 时 P，Q 两 点 间 的 距 离PQ=PD+CD+CQ=17+3 21.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+3 21（百米）.解法二：（1）如图，过 O作OHl，垂足为 H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为 BD=12，AC=6，所以 OH=9，直线 l的方程为 y=9，点 A，B的纵坐标分别为3，-3.因为 AB为圆 O的直径，AB=10，所以圆 O的方程为 x2+y2=25.从而 A（4，3），B（-4，-3），直线 AB的斜率为34.因为 PBAB，所以直线 PB的斜率为43
19、，直线 PB的方程为42533yx.所以 P（-13，9），22(134)(93)15PB.因此道路 PB的长为 15（百米）.（2）若P在D处，取线段 BD上一点 E（-4，0），则 EO=45，所以 P选在 D处不满足规划要求.若Q在D处，连结 AD，由（1）知D（-4，9），又 A（4，3），所以线段 AD：36(44)4yxx剟.在线段 AD上取点 M（3，154），因为22221533454OM，所以线段 AD上存在点到点 O的距离小于圆 O的半径.因此 Q选在 D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在 D处.（3）先讨论点 P的位置.当OBP90 时，在1PPB中，115PBP
20、B.由上可知，d 15.再讨论点 Q的位置.由（2）知，要使得 QA15，点Q只有位于点 C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设 Q（a，9），由22(4)(93)15(4)AQaa，得 a=43 21，所以 Q（43 21，9），此时，线段QA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 16 页 -上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当 P（-13，9），Q（43 21，9）时，d最小，此时 P，Q两点间的距离43 21(13)173 21PQ.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为173 21（百米）.19本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运
21、用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力满分 16分解：（1）因为abc，所以3()()()()()f xxaxbxcxa因为(4)8f，所以3(4)8a，解得2a（2）因为bc，所以2322()()()(2)(2)f xxaxbxab xbab xab，从而2()3()3abf xxbx令()0f x，得xb或23abx因为2,3aba b，都在集合 3,1,3中，且ab，所以21,3,33abab此时2()(3)(3)f xxx，()3(3)(1)f xxx令()0f x，得3x或1x列表如下：x(,3)3(3,1)1(1,)()f x+0 0+()f xZ极大值极小值Z所以()f x
22、的极小值为2(1)(13)(13)32f（3）因为0,1ac，所以32()()(1)(1)f xx xbxxbxbx，2()32(1)f xxbxb因为01b，所以224(1)12(21)30bbb，则()f x有2个不同的零点，设为1212,x xxx由()0f x，得22121111,33bbbbbbxx列表如下：x1(,)x1x12,x x2x2(,)x()f x+0 0+()f xZ极大值极小值Z所以()f x的极大值1Mfx解法一：321111(1)Mfxxbxbx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 16 页 -221111211(1)32(1)3999b
23、bxbb bxbxbx23221(1)(1)2127927bbbb bbb23(1)2(1)(1)2(1)1)272727b bbbb b(1)24272727b b因此427M解法二：因为01b，所以1(0,1)x当(0,1)x时，2()()(1)(1)f xx xb xx x令2()(1),(0,1)g xx xx，则1()3(1)3g xxx令()0g x，得13x列表如下：x1(0,)3131(,1)3()g x+0()g xZ极大值所以当13x时，()g x取得极大值，且是最大值，故max14()327g xg所以当(0,1)x时，4()()27f xg x，因此427M20本小题主
24、要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分16分解：（1）设等比数列an的公比为 q，所以 a10，q0.由245321440a aaaaa，得244112111440a qa qa qa qa，解得112aq因此数列na为“M 数列”.（2）因为1122nnnSbb，所以0nb由1111,bSb得212211b，则22b.由1122nnnSbb，得112()nnnnnb bSbb，当2n时，由1nnnbSS，得111122nnnnnnnnnb bbbbbbbb，整理得112nnnbbb所以数列 bn是首项和公差均为
25、1的等差数列.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 16 页 -因此，数列 bn的通项公式为 bn=n*nN.由知，bk=k，*kN.因为数列 cn为“M 数列”，设公比为 q，所以 c1=1，q0.因为 ck bk ck+1，所以1kkqkq，其中 k=1，2，3，m.当k=1时，有 q1；当k=2，3，m时，有lnlnln1kkqkk设f（x）=ln(1)xxx，则21ln()xf xx令()0f x，得 x=e.列表如下：x(1,e)e(e，+)()f x+0 f（x）极大值因为ln2ln8ln9ln 32663，所以maxln3()(3)3f kf取33q，当
26、 k=1，2，3，4，5时，lnlnkqk,，即kkq，经检验知1kqk也成立因此所求 m的最大值不小于5若m6，分别取 k=3，6，得 3 q3，且 q56，从而 q15243，且 q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求 m的最大值为 5数学(附加题)21【选做题】本题包括A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A.选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分10 分）已知矩阵3122A（1）求 A2；（2）求矩阵 A的特征值.B.选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10分）
27、在极坐标系中，已知两点3,2,42AB，直线 l的方程为sin34.（1）求 A，B两点间的距离；（2）求点 B到直线 l的距离.C.选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10分）设xR，解不等式|+|2 1|2xx.【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,nnnxaa xa xa xnnNL.已知23242aa a.（1）求 n的值；（2）设(13)3nab，其中*,a bN，求223ab 的值.23.（本 小 题 满 分 10 分）在 平 面 直 角
28、坐 标 系 xOy 中，设 点 集(0,0),(1,0),(2,0),(,0)nAn，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 16 页 -(0,1),(,1),(0,2),(1,2),(2,2),(,2),.nnBnCnnNL令nnnnMABCUU.从集合 Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.（1）当 n=1时，求 X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n3），求概率 P（X n）（用 n表示）.数学(附加题)参考答案21【选做题】A选修 4 2：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力满分10分解：（1）因为3122
29、A，所以231312222A=3 3 1 23 1 1 22 32 22 122=115106（2）矩阵 A的特征多项式为231()5422f.令()0f，解得 A的特征值121,4.B 选修 4 4：坐标系与参数方程 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分10分解：（1）设极点为 O.在OAB中，A（3，4），B（2，2），由余弦定理，得AB=223(2)232cos()524.（2）因为直线 l的方程为sin()34，则直线 l过点(3 2,)2，倾斜角为34又(2,)2B，所以点 B到直线 l的距离为3(3 22)sin()242.C选修 4 5：不等式选讲 本小
30、题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力满分10分解：当 x0时，原不等式可化为122xx，解得 x2，即 x12时，原不等式可化为x+2x 12，解得 x1.综上，原不等式的解集为1|13x xx或.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 16 页 -22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分解：（1）因为0122(1)CCCC4nnnnnnnxxxxnL，所以2323(1)(1)(2)C,C26nnn nn nnaa，44(1)(2)(3)C24nn nnna因为23242aa a，所以2(
31、1)(2)(1)(1)(2)(3)26224n nnn nn nnn，解得5n（2）由（1）知，5n5(13)(13)n0122334455555555CC3C(3)C(3)C(3)C(3)3ab解法一：因为*,a bN，所以024135555555C3C9C76,C3C9C44ab，从而22223763 4432ab解法二：50122334455555555(13)CC(3)C(3)C(3)C(3)C(3)0122334455555555CCC(3)C(3)C(3)(3C3)因为*,a bN，所以5(13)3ab因此225553(3)(3)(13)(13)(2)32ababab23【必做题】
32、本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力满分10分解：（1）当1n时，X的所有可能取值是1225，X的概率分布为22667744(1),(2)C15C15P XP X，22662222(2),(5)C15C15P XP X（2）设()A a b，和()B cd，是从nM中取出的两个点因为()1()P XnP Xn，所以仅需考虑Xn的情况若bd，则ABn，不存在Xn的取法；若01bd，则22()11ABacn，所 以Xn当 且 仅 当21ABn，此 时0acn，或0anc，有 2 种取法；若02bd，则22()44ABacn，因为当3n时，2(1)4nn，所以Xn当且仅当24ABn，此时0acn，或0anc，有 2 种取法；若12bd，则22()11ABacn，所 以Xn当 且 仅 当21ABn，此 时0acn，或0anc，有 2 种取法名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 16 页 -综上，当Xn时，X的所有可能取值是21n和24n，且2222242442(1),(4)CCnnP XnP Xn因此，222246()1(1)(4)1CnP XnP XnP Xn名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 16 页 -