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1、1/33 高一数学立体几何基础题题库二361.有一个三棱锥和一个四棱锥,棱长都相等,将它们一个侧面重叠后,还有几个暴露面?解析：有 5 个暴露面.如图所示,过 V作 VS AB,则四边形 SABV为平行四边形,有 SVA=VAB=60,从而 SVA为等边三角形,同理 SVD也是等边三角形,从而 SAD也是等边三角形,得到以 VAD为底,以 S与 S重合.这表明 VAB与VSA共面,VCD与 VSD共面,故共有 5 个暴露面.362.若四面体各棱长是1或 2,且该四面体不是正四面体,则其体积的值是.解析：该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点,实际上主要考查由所
2、给条件构造一个四面体的能力,首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.排除 1,1,2,可得 1,1,1,1,2,2,2,2,2,然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体,再求其体积.由平时所见的题目,至少可构造出二类满足条件的四面体,五条边为2,另一边为1,对棱相等的四面体.对于五条边为2,另一边为 1 的四面体,参看图 1 所示,设 AD=1,取 AD的中点为M,平面 BCM 把三棱锥分成两个三棱锥,由对称性可知AD面 BCM,且 VABCM=VDBCM,所以VABCD=31SBCMAD.CM=22DMCD=22)21(2=215.设 N是 BC的中点,则 MN BC,MN=22CNCM=
3、1415=211,从而 SBCM=212211=211,故 VABCD=312111=611.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 33 页 -2/33 对于对棱相等的四面体,可参见图 2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中,再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=122)bac)(acb)(cba(222222222,不妨令 a=b=2,c=1,则V=122)441)(414)(144(=1227=1214.363.湖结冰时,一个球漂在其上,取出后,冰面上留下了一个直径为24cm,深为 8cm的空穴,求该球的半径.解析：设球的半径为R,依题意知
4、截面圆的半径r 12,球心与截面的距离为dR-8,由截面性质得：r2+d2R2,即 122+2R2.得 R13 该球半径为13cm.364.在有阳光时,一根长为 3米的旗轩垂直于水平地面,它的影长为3米,同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上,如图所示,求球的阴影部分的面积.解析：由题意知,光线与地面成60角,设球的阴影部分面积为S,垂直于光线的大圆面积为S,则 Scos30 S,并且 S 9,所以 S63 365.设棱锥 M ABCD 的底面是正方形,且 MA MD,MA AB,如果 AMD 的面积为 1,试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解析：AB AD,AB MA,AB平面 MAD
5、,由此,面 MAD 面 AC.记 E是 AD的中点,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 33 页 -3/33 从而 ME AD.ME 平面 AC,MEEF 设球 O是与平面MAD、AC、平面 MBC 都相切的球.不妨设 O平面 MEF,于是 O是 MEF的内心.设球 O的半径为r,则 r MFEMEFSMEF2设 AD EFa,S AMD1.ME a2.MF22)2(aa,r 22)2(22aaaa22222-1 当且仅当aa2,即 a2时,等号成立.当 AD ME 2时,满足条件的球最大半径为2-1.366.在正方体ABCD A1B1C1D1中,期棱长为 a.求证
6、BD 截面 AB1C；求点 B到截面 AB1C的距离；求 BB1与截面 AB1C所成的角的余弦值。111:DDBDAC证明面ABCDBDAC同理 BD1AB1.BD1面 ACB1.AB=BC=BB1G为 AB1C的中心.AC=2a AG=36323a22?a BG=222229396)36(aaaaa=33a BB1G为所求cosBB1G=363611aaBBGB367.已知为所在平面外一点,为的中点,求证：平面解析：因 M为 PB的中点,连 BD AC于 O后,可将 PD缩小平移到MO,可见 MO 为所求作的平行线证明连交于,连,则为的中位线,平面,平面,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师
7、精心整理-第 3 页，共 33 页 -4/33 平面368.如图,在正方体1111中,M,N,分别是棱11,A1D1,1,的中点求证：1平面平面直线A1E与 MF所成的角解析：要证 A1E平面 ABMN,只要在平面中找到两条相交直线与A1E都垂直,显然 MN与它垂直,这是因为 MN 平面 A1ADD1,另一方面,AN与 A1E是否垂直,这是同一个平面中的问题,只要画出平面几何图形,用平几知识解决 为的应用证明 AB 平面 A1ADD1,而1平面 A1ADD1,AB1在平面A1ADD1中,A1E AN,ANAB A,A1E平面 ABMN 解由知 A1E平面 ABMN,而 MF平面 ABMN,A1
8、EMF,则 A1E与 MF所成的角为369.如图,在正方体1111中,M 为棱 C1的中点,AC 交 BD于点 O,求证：A1O平面 MBD 解析：要证 A1O平面 MBD,只要在平面MBD 内找到两条相交直线与A1O都垂直,首先想到DB,先观察 A1O垂直 DB吗？方法：发现A1O平分 DB,想到什么？A1DB是否为等腰三角形A1DA1B,DO OB,A1ODB 方法：A1O DB吗？即 DB A1O吗？DB垂直包含 A1O的平面吗？易见DB平面 A1ACC1再观察 A1O垂直何直线？DM？BM？因这两条直线与A1O均异面,故难以直接观察,平面 MDB 中还有何直线？易想到MO,因 MO 与
9、 A1O相交,它们在同一平面内,这是一个平几问题,可画出平几图进行观察证明取 CC1中点 M,连结 MO,DB A1A,DBAC,A1AAC=A,DB 平面 A1ACC1,而 A1O平面A1ACC1,A1O DB 在矩形 A1ACC1中,tan AA1O=22,tan MOC=22,AA1O=MOC,则 A1OA MOC ,A1O OM,OM DBO,A1O 平面 MBD 370.点 P在线段 AB上,且 AP PB ,若 A,B 到平面的距离分别为a,b,求点 P到平面的距离解析：A,B 在平面的同侧时,P 平面的距离为323132baba；A,B 在平面的异侧时,P 平面的距离为32)(3
10、132baba点评一是画图时,只要画出如右上图的平面图形即可,无需画出空间图形；二是对第种情形,若以平面为 水平面,在其上方的点高度为正,在其下方的点高度为负,则第种情形的结论,就是将结论中的b 改为,而无需再画另一图形加以求解371.若两直线a 与 b 异面,则过 a 且与 b 垂直的平面有且只有一个可能存在也可能不存在有无数多个一定不存在名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 33 页 -5/33 解析：若存在,则 ab,而由条件知,a 不一定与 b 垂直372.在正方体1111中,若 E是 A1C1的中点,则直线 CE垂直于 AC BD A1D A1D1解析：BD
11、AC,BD CC1,BD 平面 A1ACC1,BD CE 373.定点 P不在 ABC所在平面内,过 P作平面,使 ABC的三个顶点到的距离相等,这样的平面共有个个个个解析：D 过 P作一个与AB,AC都平行的平面,则它符合要求；设边AB,BC,CA的中点分别为E,F,G,则平面PEF符合要求；同理平面PFG,平面 PGE符合要求374.P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,且 PA平面 ABCD,P到 B,C,D 三点的距离分别是5,17,13,则 P到 A点的距离是3解析：A设 AB a,BCb,PAh,则 a2+h2=5,b2+h2=13,a2+b2+h2=17,h=1375.线段 AB
12、的两个端点A,B 到平面的距离分别为6cm,9cm,P在线段 AB上,AP：PB：,则 P到平面的距离为解析：cm或cm分 A,B 在平面的同侧与异侧两种情况同侧时,P 到平面的距离为319326 cm,异侧时,P 到平面的距离为319326 cm 376.ABC 的三个顶点 A,B,C 到平面的距离分别为2cm,3cm,4cm,且它们在的同一侧,则 ABC的重心到平面的距离为解析：3cm 35433cm 377.RtABC中,D 是斜边 AB的中点,AC,BC,EC平面 ABC,且 EC ,则 ED 解析：AB ,CD ,则 ED 22125378.如图,在正方体1111中,求：A1B与平面
13、 A1B1CD所成的角；B1B在平面 A1C1B所成角的正切值解析：求线面成角,一定要找准斜线在平面内的射影先找到斜足A1,再找出 B在平面 A1B1CD内的射影,即从 B向平面 A1B1CD作垂线,一定要证明它是平面A1B1CD的垂线这里可证BC1平面 A1B1CD,O为垂足,A1O为 A1B在平面 A1B1CD上的射影名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 33 页 -6/33 若将平面D1D1BB竖直放置在正前方,则 A1C1横放在正前方,估计 B1B在平面 A1C1B内的射影应落在 O1B上,这是因为 A1C1平面 D1DBB1,故作 B1H O1B交于 H时,B
14、H1A1C1,即 H为 B1在平面A1C1B内的射影另在求此角大小时,只要求 B1BO1即可解析：如图,连结 BC1,交 B1C于 O,连 A1OA1B1平面 B1BCC1,BC1平面 B1BCC1,A1B1BC1又 B1CBC1,A1B1B1CB1,BC1平面 A1B1CD,O为垂足,A1O为 A1B在平面 A1B1CD上的射影,则 BA1O为 A1B与平面 A1B1CD所成的角sin BA1O 211BABO,BA1O连结A1C1交 B1D1于 O1,连 BO1,作 B1HBO1于 HA1C1平面 D1DBB1,A1C1B1H又 B1HBO1,A1C1BO1O1,B1H平面 A1C1B,B
15、1BO1为 B1B与平面 A1C1B所成的角,tan B1BO=22111BBOB,即 B1B与平面 A1C1B所成的角的正切值为22379.Rt ABC中,C,BC,若平面 ABC外一点 P与平面 A,B,C 三点等距离,且 P到平面 ABC的距离为,M 为 AC的中点求证：PM AC；求P到直线 AC的距离；求PM与平面 ABC所成角的正切值解析：点 P到 ABC的三个顶点等距离,则 P在平面 ABC内的射影为ABC的外心,而 ABC为直角三角形,其外心为斜边的中点证明 PA PC,M是 AC中点,PM AC 解 BC,MH ,又 PH ,PM 8218802222MHPH,即 P到直线
16、AC的距离为；PM=PB=PC,P在平面 ABC内的射线为 ABC的外心,C=90 P在平面 ABC内的射线为AB的中点 H。PH平面 ABC,HM为 PM在平面 ABC上的射影,则 PMH 为 PM与平面 ABC所成的角,tan PMH 9401880MHPH380.如图,在正四面体ABCD 中。各面都是全等的正三角形的四面体,M 为 AD的中点,求 CM与平面 BCD所成角的余弦值解析：要作出 CM在平面 BCD内的射影,关键是作出M在平面 BCD内的射影,而 M为 AD的中点,故只需观察A在平面 BCD内的射影,至此问题解法已明朗解作 AO 平面 BCD于 O,连 DO,作 MN 平面
17、BCD于 N,则 NOD 设 AD a,则 OD aa332332,AO aODAD3622,MN a66又 CM a23,aaMNCM62112722名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 33 页 -7/33 CM与平面 BCD所成角的余弦值为37CMCN381.如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1中,M 是棱 A1A的中点,N 在 AB上,且 AN NB ,求证：C1M MN 解析：在空间中作出两条直线垂直相对较在平面内作两条直线垂直难此题C1M与 MN是相交直线,一种方法可通过勾股定理来验证它是否垂直,另一方法为：因 MN 是平面 A1ABB1内的一条直线,
18、可考虑 MC1在平面 A1ABB1内的射影证明设正方体的棱长为,则 MN a45,C1M aaaa23)2(222,C1Naaaa441)43(222,MNMC1NC1,C1M MN 证明连结 B1M,C1B1平面 A1ABB1,B1M为 C1M在平面 A1ABB1上的射影设棱长为a,AN a41,AMa21,tan AMN 21,又 tan A1B1M 21,则 AMN A1B1M,B1M MN,由三垂线定理知,C1M MN 382.如图,ABCD为直角梯形,DAB ABC ,ABBC a,AD a,PA平面 ABCD,PA a（）求证：PC CD；（）求点 B到直线 PC的距离解析：要证
19、PC与 CD垂直,只要证明 AC与 CD垂直,可按实际情形画出底面图形进行证明从 B向直线 PC作垂直,可利用 PBC求高,但需求出三边,并判断其形状事实上,这里的 PBC；另一种重要的思想是：因 PC在平面 PAC中,而所作 BH为平面 PAC的斜线,故关键在于找出 B在平面 PAC内的射影,因平面 PAC处于 竖直状态,则只要从 B作水平 的垂线,可见也只要从 B向 AC作垂线便可得其射影证明取 AD的中点 E,连 AC,CE,则 ABCE 是正方形,CED为等腰直角三角形ACCD,PA 平面 ABCD,AC为 PC在平面 ABCD 上的射影,PCCD；解连BE交 AC于 O,则 BE A
20、C,又 BE PA,ACPA A,BE 平面 PAC 过 O作 OH PC于 H,连 BH,则 BH PC PAa,ACa2,PC a3,则 OH aaaa663221,BO a22,BH aOHBO3622383.四面体 ABCD 的四个面中,是直角三角形的面至多有个个个个解析：D设底面为直角三角形,从底面的一个锐角顶点作平面的垂线,则这样的四面体的每个面都是直角三角形名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 33 页 -8/33 384.直角三角形ABC的斜边 AB在平面内,直角顶点 C在平面外,C 在平面内的射影为C1,且 C1AB,则 C1AB为锐角三角形直角三角形
21、钝角三角形以上都不对解析：CC1A2+C1B2CA2+CB2 AB,AC1B为钝角,则 C1AB为钝角三角形385.ABC在平面内,C90,点,PA=PB=PC=7,AB=10,则点 P到平面的距离等于解析：62PAPB PC,P在平面内的射影为ABC的外心,C 90,为 AB的中点,AO,PA,PO 625722386.P 是边长为 a 的六边形 ABCDEF 所成平面外一点,PAAB,PAAF,PAa,则点 P到边 CD的距离是解析：2aPA 平面 ABCDEF,A 到 CD的距离为a3,P到边 CD的距离是2a 387.如图,已知 PA 矩形 ABCD 所在平面,M,N 分别是 AB,P
22、C的中点（）求证：MN CD；（）若 PDA 45,求证：MN 平面 PCD 证明连 AC BD O,连 NO,MO,则 NO PA PA平面 ABCD,NO 平面 ABCD MO AB,MN AB,而 CD AB,MN CD；PDA 45,PA AD,由 PAM CBM 得 PM CM,N为 PC中点,MN PC 又 MN CD,PC CD C,MN 平面 PCD 388.如图,在四棱锥 PABCD 中,侧面 PCD是边长等于2cm的等边三角形,底面 ABCD 是面积为23cm2的菱形,ADC是锐角.求证：PA CD 证明：设 ADC=,则：由 SABCD=23,CD=BC=AB=AD=2,
23、易得=60 ACD是等边三角形,取 CD中点 E连 AE、PE,则 AE CD,PE CD AE CD,PE CD CD 平面 PAE CD PA 389.设 P点在正三角形ABC所在平面外,且 AP,BP,CP两两垂直；又G是ABP的重心；E为BC上一点,13BEBC；F为PB上一点,13PFPB；APBPCP,如图求证：GF平面 PBC；求证：EFBC。PADBCE名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 33 页 -9/33 HACBPPACBH解析：连结 BG并延长交 PA于 M.G为 ABP的重心注要充分注意平面几何中的知识在证题中的运用。390.已知=C,ab,
24、a,b,Aa,AEb 于 E,AFc 于 F,求证：aEF 解析：ba,b,a,b又 b,=cbc,又 AFcAFb 又 AE b,AE AF=A b平面 AEFa ba平面 AEF EF平面 AEF aEF 391.如图,ABC为锐角三角形,PA平面 ABC,A点在平面 PBC上的射影为 H,求：H不可能是 PBC的垂心解析：连结 CH,则 CH是 AC在平面 PBC内的射影,若 H为垂心,则 CHPB,由三垂线定理得ACPB,又 PA 平面 ABC,PA AC,AC 平面 PAB,从而 AC AB与 ABC为锐角三角形矛盾,故 H不可能是垂心392.如图,BCD 是等腰直角三角形,斜边 C
25、D的长等于点P到 BC的距离,D 是 P在平面 BCD上的射影1求 PB与平面 BCD所成角；2求 BP与平面 PCD所成的角解析：1 PD 平面 BCD,BD是 PB在平面 BCD内的射影,PBD为 PB与平面 BCD所成角,BDBC,由三垂线定理得BC BD,BP=CD,设 BC=a,则BD=a,BP=CD=2a在 RtBPD中,cosDBP=22 DBP=45,即 PB与平面 BCD所成角为 452过 B作 BE CD于 E,连结 PE,PD 平面 BCD得 PD BE,BE 平面 PCD,ACEFba名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 33 页 -10/33
26、BCDPCBPDE BPE为 BP与平面 PCD所成的角,在 RtBEP中,BE=22a,BP=2a,BPE=30 即 BP与平面 PCD所成角为 30393.正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为2:6,求侧面与底面所成的角的大小。解析：如图,正四棱锥 PABCD 的一个对角面PAC。设棱锥的底面边长为a,高为 h,斜高为 h,底面中心为O,连 PO,则 PO 底面 ABCD,PO AC,在PAC中,AC=a2,PO=h,ahPOACSPAC2221在 PBC中,haSPBC212:6:221:22:hhhaahSSPBCPACh:h=2:3.取 BC中点 E,连 OE,PE,可证 PE
27、O即为侧面与底面所成两面角的平面角。在 RtPOE中,sin PEO=23hhPEPO,PEO=3,即侧面与底面所成的角为3.394.如右图,斜三棱柱 ABC A1B1C1中,A1C1BC1,AB AC,AB=3,AC=2,侧棱与底面成60角。1求证：AC 面 ABC1；2求证：C1点在平面 ABC上的射影 H在直线 AB上；3求此三棱柱体积的最小值。P A B C D O E P A B C 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 33 页 -11/33 解析：1由棱柱性质,可知 A1C1/AC A1C1BC1,ACBC1,又 ACAB,AC平面 ABC12由 1知
28、AC平面 ABC1,又 AC平面 ABC,平面 ABC平面 ABC1在平面 ABC1内,过 C1作 C1HAB于 H,则 C1H平面 ABC,故点 C1在平面 ABC上的射影 H在直线 AB上。3连结 HC,由 2知 C1H平面 ABC,C1CH就是侧棱 CC1与底面所成的角,C1CH=60,C1H=CH tan60=CH3 V棱柱=CHCHHCACABHCSABC33323212111CAAB,CH2AC,所以棱柱体积最小值33362。395.已知直三棱柱ABC A1B1C1中,ACB=900,BAC=300,BC=1,AA1=6,M 为 CC1中点,求证：AB1A1M。解析：因结论是线线垂
29、直,可考虑用三垂线定理或逆定理 ACB=900 A1C1B1=900即 B1C1C1A1又由 CC1平面 A1B1C1得：CC1B1C1 B1C1平面 AA1C1C AC1为 AB1在平面 AA1C1C的射影由三垂线定理,下证 AC1A1M即可在矩形 AA1C1C中,AC=A1C1=3,AA1=CC1=622326ACMC111,2263AACA111AACAACMC111111 Rt A1C1M RtAA1C1 1=2 又 2+3=900 1+3=900 AC1A1M AB1A1M 评注：利用三垂线定理的关键是找到基本面后找平面的垂线396.正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为a,在侧
30、棱 BB1上截取 BD=2a,在侧棱 CC1上截取 CE=a,过A、D、E作棱柱的截面ADE 1求 ADE的面积；2求证：平面ADE 平面 ACC1A1。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 33 页 -12/33 解析：分别在三个侧面内求出ADE的边长AE=2 a,AD=25a,DE=a25)2a(a)BDEC(BC2222 截面 ADE为等腰三角形 S=222a46)a22()a25(a221hAE212底面 ABC 侧面 AA1C1C ABC边 AC上的高 BM 侧面 AA1C1C 下设法把BM平移到平面AED中去取 AE中点 N,连 MN、DN MN/21EC
31、,BD/21EC MN/BD DNBM DN平面 AA1C1C 平面 ADE 平面 AA1C1C 397.斜三棱柱ABC A1B1C1中,底面是边长为4cm的正三角形,侧棱 AA1与底面两边AB、AC均成600的角,AA1=7 1求证：AA1BC；2求斜三棱柱ABC A1B1C1的全面积；3求斜三棱柱ABC A1B1C1的体积；4求 AA1到侧面 BB1C1C的距离。解析：设 A1在平面 ABC上的射影为0 A1AB=A1AC O 在 BAC的平行线 AM上 ABC为正三角形 AMBC 又 AM为 A1A在平面 ABC上的射影 A1ABC 23142374ABAsinAAABSS11BBAAC
32、CAA1111 B1BA1A B1BBC,即侧面 BB1C1C为矩形2874SCCBB11又34443SS2ABCCBA111 S全=)cm(3362823428231423 cosA1AB=cosA1AO cosOAB cos A1AO=3330cos60cosOABcosABAcos001 sin A1AO=36 A1O=A1Asin A1AO=637)cm(228637443OASV321ABC 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 33 页 -13/33 4把线 A1A到侧面 BB1C1C的距离转化为点A或 A1到平面 BB1C1C的距离为了找到A1在侧面 B
33、B1C1C上的射影,首先要找到侧面BB1C1C的垂面设平面 AA1M交侧面 BB1C1C于 MM1 BCAM,BC A1A BC平面 AA1M1M 平面 AA1M1M 侧面 BCC1B1在平行四边形AA1M1M中过 A1作 A1HM1M,H为垂足则 A1H侧面 BB1C1C 线段 A1H长度就是 A1A到侧面 BB1C1C的距离)cm(223632AMAsinMAHMAsinMAHA11111111398.平面内有半径为R的 O,过直径 AB的端点 A作 PA ,PA=a,C 是 O上一点,CAB=600,求三棱锥POBC 的侧面积。解析：三棱锥 POBC的侧面由 POB、POC、PBC三个三
34、角形组成在求出边长元素后,求三角形面积时,应注意分析三角形的形状,简化计算 PA平面 ABC PAAO,AC为 PC在平面 ABC上的射影 BCAC BCPC POB中,2POBa21PAOB21SPBC中,BC=ABsin600=2aa323 AC=a PC=a22POBa26BCPC21SPOC中,PO=PC=a2,OC=a 222POCa47)OC21(POOC21S S侧=2222a47622a47a26a21399.四棱锥 V ABCD 底面是边长为4 的菱形,BAD=1200,VA底面 ABCD,VA=3,AC与 BD交于 O,1求点 V到 CD的距离；2求点 V到 BD的距离；3
35、作 OF VC,垂足为 F,证明 OF是 BD与VC的公垂线段；4求异面直线BD与 VC间的距离。解析：用三垂线定理作点到线的垂线在平面 ABCD内作 AE CD,E为垂足 VA平面 ABCD AE 为 VE在平面 ABCD 上的射影 VECD 线段 VE长为点 V到直线 CD的距离 BAD=1200 ADC=600名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 33 页 -14/33 ACD为正三角形 E 为 CD中点,AE=32423 VE=21AEVA222 AOBD 由三垂线定理VO BD VO 长度为 V到直线 BD距离 VO=13AOVA223只需证OF BD BD
36、HC,BD VA BD平面 VAC BDOF OF 为异面直线BD与 VC的公垂线4求出 OF长度即可在 RtVAC中OC=21AC=2,VC=5ACVA22 OF=OC sin ACF=OC 56532VCVA400.斜三棱柱ABC A1B1C1的底面 ABC中,AB=AC=10,BC=12,A1到 A、B、C三点的距离都相等,且 AA1=13,求斜三棱柱的侧面积。解析：A1A=A1B=A1C 点 A1在平面 ABC上的射影为 ABC的外心,在 BAC平分线 AD上 AB=AC ADBC AD 为 A1A在平面 ABC上的射影 BCAA1 BCBB1 BB1C1C为矩形,S=BB1BC=15
37、6 取 AB中点 E,连 A1E A1A=A1B A1EAB 12)2AB(AAEA221120SSBBAACCAA1111 S侧=396 401.如图,在 ABC中,ACB 90,BCa,ACb,D 是斜边 AB上的点,以 CD为棱把它折成直二面角 A CD B后,D 在怎样的位置时,AB 为最小,最小值是多少?解析：设 ACD ,则BCD 90-,作 AM CD于 M,BN CD于 N,于是 AM bsin,asin.MN asin-bcos,因为 ACD B是直二面角,AMCD,BN CD,AM与 BN成 90的角,于是 AB 22222)cossin(cossinbaab222sina
38、bba名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 33 页 -15/33 abba22.当 45即 CD是 ACB的平分线时,AB 有最小值,最小值为abba22.402.自二面角内一点分别向两个面引垂线,求证：它们所成的角与二面角的平面角互补.已知：从二面角AB 内一点P,向面和分别引垂线PC和 PD,它们的垂足是C和 D.求证：CPD和二面角的平面角互补.证：设过 PC和 PD的平面 PCD与棱 AB交于点 E,PC,PDPCAB,PDAB CEAB,DEAB 又 CE,DE,CED是二面角 AB 的平面角.在四边形PCED 内：C90,D90 CPD和二面角 AB 的
39、平面 CBD互补.403.求证：在已知二面角,从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点,到二面角两个面的距离的比是一个常数.已知：二面角ED,平面过 ED,A,AB,垂足是 B.AC,垂足是 C.求证：AB AC k 证明：过 AB、AC的平面与棱DE交于点 F,连结 AF、BF、CF.AB,AC.AB DE,ACDE.DE平面 ABC.BFDE,AFDE,CFDE.BFA,AFC分别为二面角DE,DE 的平面角,它们为定值.在 RtABF中,ABAFsin AFB.在 RtAFC中,ACAFsin AFC,得：ACABAFCAFAFBAFsinsin定值.404.如果直线l、m与平面、满足
40、l,l ,m和 m.则必有 A.且 l m B.且 m C.m且 l mD.且解析：m,m.又 m,l.m l.应选 A.说明本题考查线面垂直、面面垂直及综合应用推理判断能力及空间想象能力.405.如图,在梯形 ABCD中,ADBC,ABC 2,ABa,AD3a,且 ADC arcsin55,又 PA 平面 ABCD,AP a.求：二面角 PCD A的大小；点 A到平面 PBC的距离.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 33 页 -16/33 解析：作 CD AD于 D,ABCD 为矩形,CD AB a,在 RtCD D中.ADC arcsin55,即 DDC ar
41、csin55,sin CDD CDDC55CD 5a DD2a AD3a,AD aBC 又在 RtABC中,AC22BCAB2a,PA平面 ABCD,PAAC,PAAD,PA AB.在 RtPAB中,可得 PB2a.在 RtPAC中,可得 PC22ACPA3a.在 RtPAD中,PD22)3(aa10a.PC2+CD22+8a22cosPCD 0,则 PCD 90作 PE CD于 E,E 在 DC延长线上,连 AE,由三垂线定理的逆定理得AE CD,AEP为二面角PCD A的平面角.在 RtAED中 ADE arcsin55,AD3a.AEAD sin ADE 3a55553a.在 RtPAE
42、中,tan PEA AEPAaa55335.AEP arctan35,即二面角 PCD A的大小为 arctan35.AD PA,AD AB,AD 平面 PAB.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 33 页 -17/33 BCAD,BC 平面 PAB.平面 PBC 平面 PAB,作 AH PB于 H,AH 平面 PBC.AH为点 A到平面 PBC的距离.在 RtPAB中,AHPBABPAaaa222a.即 A到平面 PBC的距离为22a.说明 中辅助线 AE的具体位置可以不确定在DC延长线上,而直接作 AE CD于 E,得 PECD,从而 PEA为所求,同样可得结果
43、,避免过多的推算.中距离的计算,在学习几何体之后可用等体积法 求.406.如图,在二面角 l 中,A、B,C、Dl,ABCD 为矩形,P,PA,且 PA AD,M、N依次是 AB、PC的中点.求二面角 l 的大小；求证：MN AB；求异面直线PA与 MN 所成角的大小.解析：连 PD,ABCD 为矩形,AD DC,即 AD l.又 PA l,PDl.P、D,则PDA为二面角 l 的平面角.PAAD,PAAD,PAD是等腰直角三角形,PDA 45,即二面角 l 的大小为45.过 M作 ME AD,交 CD于 E,连结 NE,则 ME CD,NE CD,因此,CD平面 MNE,CD MN.AB C
44、D,MN AB 过 N作 NFCD,交 PD于 F,则 F为 PD的中点.连结 AF,则 AF为 PAD的角平线,FAD 45,而 AF MN,异面直线PA与 MN所成的 45角.407.如图,在三棱柱 ABC ABC中,四边形 A ABB 是菱形,四边形 BCC B是矩形,CB AB.求证：平面CA B平面 AAB；若 CB 2,AB4,ABB 60,求 AC 与平面 BCC B所成角的大小.解析：在三棱柱ABC ABC中,CB CB,CB AB.CB BB,ABBB B,CB平面 AAB.CB平面 CA B,平面 CA B平面 AAB 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17
45、 页，共 33 页 -18/33 由四边形 AABB 是菱形,ABB 60,连 AB,可知 ABB 是正三角形.取 BB 中点 H,连结 AH,则 AH BB.又由 CB平面 AAB,得平面 AABB 平面 CBBC,而 AH垂直于两平面交线BB ,AH平面 CB BC.连结 CH,则AC H为 AC 与平面BCC B所成的角,AB 4,AH23,于是直角三角形CBA中,AC5,在 RtAHC 中,sin AC H532 AC Harcsin523,直线 AC与平面 BCC B所成的角是arcsin523.408.已知四棱锥PABCD,它的底面是边长为a 的菱形,且 ABC 120,PC平面
46、ABCD,又 PCa,E 为 PA的中点.求证：平面EBD 平面 ABCD；求点 E到平面 PBC的距离；求二面角 ABE D的大小.证明:在四棱锥 PABCD 中,底面是菱形,连结 AC、BD,交于 F,则F 为 AC的中点.又 E为 AD的中点,EFPC 又 PC 平面 ABCD,EF平面 ABCD.EF平面 EBD.平面 EBD 平面 ABCD.EF PC,EF平面 PBC E到平面 PBC的距离即是EF到平面 PBC的距离过 F 作 FHBC交 BC于 H,PC平面 ABCD,FH平面 ABCD PCFH.又 BC FH,FH 平面 PBC,则 FH是 F 到平面 PBC的距离,也是
47、E到平面 PBC的距离.FCH 30,CF23a.FH21CF43a.取 BE的中点 G,连接 FG、AG由的结论,平面 BDE 平面 ABCD,AF BD,AF平面 BDC.BFEF2a,FG BE,由三垂线定理得,AGBE,FGA为二面角 DBE A的平面角.FG 2a2242a,AF23a.tg FGA FGAF6,FAG arctg6即二面角ABE D的大小为 arctg6409.若 ABC所在的平面和A1B1C1所在平面相交,并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O,求证：AB和 A1B1、BC和 B1C1、AC和 A1C1分别在同一平面内；如果 AB和 A1B1、BC和 B1C1
48、、AC和 A1C1分别相交,则交点在同一直线上.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 33 页 -19/33 证明：AA1BB1O,AA1、BB1确定平面 BAO,A、A1、B、B1都在平面 ABO内,AB平面 ABO；A1B1平面 ABO.同理可证,BC 和 B1C1、AC和 A1C1分别在同一平面内.分析：欲证两直线的交点在一条直线上,可根据公理2,证明这两条直线分别在两个相交平面内,则,它们的交点就在这两个平面的交线上.证明：如图,设 AB A1B1P；AC A1C1R；面 ABC 面 A1B1C1PR.BC面 ABC；B1C1面 A1B1C1,且 BC B1C
49、1Q Q PR,即 P、R、Q在同一直线上.410.点 P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上,且 PQ BC X,QRCD Z,PRBD Y.求证：X、Y、Z 三点共线.解析：证明点共线的基本方法是利用公理2,证明这些点是两个平面的公共点.证明 P、Q、R三点不共线,P、Q、R三点可以确定一个平面.X PQ,PQ,X,又 XBC,BC面 BCD,X平面 BCD.点 X是平面和平面BCD的公共点.同理可证,点 Y、Z 都是这两个平面的公共点,即点 X、Y、Z 都在平面和平面BCD的交线上.411.直线 m、n 分别和平行直线a、b、c 都相交,交点为 A、B、C、D、E、F,如图,求证：
50、直线a、b、c、m、n 共面.解析：证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面,证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面,然后证明这些平面重合.证明 ab,过 a、b 可以确定一个平面.Aa,a,A,同理 Ba.又 A m,Bm,m.同理可证 n.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 33 页 -20/33 bc,过 b,c 可以确定平面,同理可证 m.平面、都经过相交直线b、m,平面和平面重合,即直线 a、b、c、m、n 共面.412.证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.已知：如图,直线 l1,l2,l3,l4两两相交,且不共点.求证：直线l