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1、（专科起点升本科）数学备考试题库一、填空题。本题共60 小题，把答案填在题中横线上。1.函数)1lg(2xxy的定义域为 _。2.设xxxf4)1(2，则)(xf_。3.设cosarcsinyxx，则)0(y=_。4.设,sin xey则dy_。5.曲线xxy1在点)0,1(处的切线斜率为 _。9.设yxz,则xz_。6.函数xxxf2ln)(的极小值为 _，极大值为 _。7._5cosxdx。8.20sindxx_。10.交换二次积分次序1220010(,)(,)yydyfx y dxdyfx y dx=_。11函数1142xxy的定义域为 _。12设()1fxx，则()ffx=。13设23
2、sinxy，则dxdy。14ddxexx323。15曲线3xy在21x处的斜率是 _。16函数362)(3xxxf的极小值为 _，极大值为 _。17dxex2。18.dxxxe12ln_。19设xyz，则yz=。20 交换二次积分的次序ydxyxfdy010),(。21.函数242xxy的定义域为 _。22设6)(2xxxf，则xf1_。23设)1arctan(sinxxy，则dy_。24设xey3，则dy。25曲线1yx在点（1，-1）处的切线斜率是 _。26函数xxxf3)(3的拐点坐标为 _。27dxeexx)(33_。2820cos 3 xdx=_。29设yxxyzln，则xz。30交
3、换二次积分次序10203130),(),(yydxyxfdydxyxfdy。31函数21)(2xxf的间断点是 _。32.设()1fxx，则)sin(2xf=_。33.设2ln(4)xyxe，则(3)y_。34.设xy3sin，则dy_。35.32111limxxx_。36.函数xxxf3)(3的极小值为 _，极大值为 _。37.dxxex2 =。38.0sin xdx_。39.设xyzln，则xz_.40.交换二次积分次序2010),(xdyyxfdx。41.函数21lg(2)yxx的定义域为 _。42 设1)(xxxf，则)(1xfxf_。43设xxyarctan，则)2(y_。44设xe
4、ycos，则y。45)1ln(sinlim0 xxx _。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 15 页 -46函数xexxf2)(的极小值为，极大值为。47xdxx2cossin。48dxx203。49设)ln(32yxz，则yz_。50交换二次积分的次序xxdyyxfdx3220),(=_。51设)(xf的定义域为1,0，则)12(xf的定义域为 52设1)(xxf,则)1(xf_。53设 y=xxx12 ,则)1(y 54设2arctanyx，则dy_。55.函数123)(23xxxf的拐点坐标为 _。56.xeexxx20sin2lim=。57sin(1)xdx
5、=_。58dxeexx101。59设,sincosyezx则xz=。60 交换二次积分次序dyyxfdxdyyxfdxxx),(),(1002120。二、计算题。本大题共60 小题。1 若函数0,0,cos12)(xkexxxxf在点0 x处连续，求k的值。2 求xxx51lim。3求133lim22451xxxxx。3 设),ln(22axxy (a0),求y。4 求由方程0 xyeyx所确定的函数)(xfy的导数。5 求dxx2ln。求4011dxx。6 设,ln22yxz求22)()(yzxz。7 求xydxdyD，其中D为 x 轴、y 轴和直线1yx围成的闭区域。10.设由zeyzxy
6、x2222确定(,)zz x y,求yzxz,。11.若函数1,1,3)(xexxaxxf在点1x处连续，求a的值。12.求2120limxxex。13求极限limf()d,xaxaxttxa其中f()x连续。14求曲线332xy在点(1,32)处的切线方程。15求由方程0sin21yyx所确定的函数)(xfy的导数。16求xdxarctan。17求211lnexxdx18设),sin(yxxz求yzxz,。19求22()Dxydxdy，:11,11Dxy。20.求xxxdttttdtt0020)sin(lim。21.判断函数0,1cos0,12)(xxxxxf在0 x处是否连续。22.求xx
7、xx)1212(lim。23.求)111(lim0 xxex。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 15 页 -24.设xeyx2sin3，求y。25求由方程0322axyyx所确定的函数)(xfy的导数。26求dxxx)1ln(2。27求dxexx112121。28设),ln(22yxz求yzxz,。29计算dxdyxyD2，其中11,1:xyxD。30求曲线3213yx在点11,3处的切线方程。31.若函数0,2sin0,)(xxxxxaxf在点0 x处连续，求a的值。32.求221limsinxxx。33.求11lim31xxx。34.求函数)1ln(xxy的极值
8、。35.设),(yxfz由方程01xyzexz确定，求yz。36.求ln(1)xdx。37.求xdxx203cossin。38.设yezxsin，求yzxz,。39.求dxdyyeDxy D：11x，10y。40.求曲线xxyln的平行于直线0322yx的切线方程。41.若函数1,1,)(2xxbxaxxf在点1x处连续，求常数ba,应满足的关系式。42.求xxx11lim20。43.求)1211(lim21xxx。44.求曲线3xy在(1,1)处的切线方程。45 设),(yxfz由方程01xyzexyz确定，求xzyz。46求dxxexx)(2。47求dxxex102。48设,ln xyz求
9、yzxz,。49求dxdyeDx2，其中 D由1,0 xxyy所围成的区域。50设11xxeey，求y.51确定函数31292)(23xxxxf的单调区间。52求430sinsinlimxxx.53求xxxx3)2(lim。54在曲线xy上求一点0M，使过0M的切线平行于直线052 yx，并求过点0M的曲线的切线方程。55求由方程20 xyxxye所确定的函数)(xfy的导数。56求dxx)1ln(2。57求10sinxxee dx。58设2yxezy，求yzxz,。59求dxdyxeDy2，其中 D：10,10yx。60求函数0 xtytedt的极值。三、应用题。本题共12 题，请写出推理、
10、演算步骤。1求抛物线xy22与直线4xy所围平面图形的面积。2已知某产品的需求函数为510QP（P为价格，Q为产量），成本函数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 15 页 -,250QC求（1）产量为多少时，总利润最大？并写出最大利润；（2）求利润最大时的产品销售单价。3求抛物线2yx与直线2yx所围平面图形的面积。4某厂的总收益函数与总成本函数分别为：10339)(,18)(23QQQQCQQR（Q为产量），当Q为多少时利润最大？最大利润为多少？此时产品销售单价为多少？5.求抛物线2yx与2yx所围平面图形的面积。6.某商店购进一批每条100 元的牛仔裤，已知该商品
11、的需求函数为PQ2400（其中Q为需求量，单位为条；P为销售价格，单位为元）。问售价定为多少时可获得最大利润？并求出最大利润7.由抛物线2xy与直线axy)0(a围成的平面图形面积34S,求a的值.8.一房地产公司有50 套公寓待出租，当月租金定为1000 元时能全部租出去，当月租金每增加50 元就会多一套公寓租不出去。另外租出去的公寓每月需花费100元的维修费，问房租定为多少时可获得最大收入？9.求由曲线142xy与63xy所围成图形的面积。10设生产某种商品x个单位的利润是2()50000.00001Lxxx（元），问生产多少个单位的商品时，获利润最大。11.若抛物线xxy2与直线)1(a
12、axy所围成的平面图形的面积为34，求a的值。12.设某商品的需求函数为PQ1001000，已知总成本函数为QC31000，求使利润最大的P值。四、证明题1.试证方程01323xx在（0,1）之间至少有一个实根。2.设()fx在(,)内可导，且22()(1)(1)Fxfxfx，证明：(1)(1)FF。3.证明恒等式：)11(,2arccosarcsinxxx。4.证明：21cossinxxxx，)0(x.5.试证方程210 xx至少有一个小于1 的正根。6.当21x时，试证：xex212。（专科起点升本科）数学备考试题库参考答案一、填空题11,02322xx3-1 4dxxexsincos52
13、 624,0e7cx5sin5184 91yyx10102),(xxdyyxfdx 112,1122x1323cos6xx143xe15343167,117cex218311920110),(xdyyxfdx212x及.2x22162xx23dxxx)1(11(cos224dxex33251 26)0,0(27ceexx)(3133283129xy1302032),(xxdyyxfdx312x 32x2cos.33356e34xdx3cos3.353236.-2，2 37cex221382.39x1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 15 页 -40101),(.yd
14、xyxfdy412x421 435444xxecossin451 460，24e47cx3cos31484 493223yxy5031301020),(),(yydxyxfdydxyxfdy511,21522x530 54dxxx41255243227,92 56 1 57cx)1cos(582ln)1ln(e 59yxexsinsincos 60102),(yydxyxfdy二、计算题1.解 因为（2分），（4分）根据函数在一点连续的定义，当2k时，)(xf在0 x处连.(5分)2 解:原式=5551limxxx (1分)令xu5，(3分)原 式=55101limeuuu.(5分)3 解：1
15、33lim22451xxxxxxxxxx2645lim341（3 分）27（5 分）4.解：2222()xxayxxa（2 分）22221xxaxxa（4 分）221xa（5 分）5.解：对方程两边同时求导得（2分）有（4分）得（5分）6.解：（3分）（4分）（5分）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 15 页 -7.解令tx原式dttt2012 (2分)dtt)111(220 (3分)20)1ln(2tt (4分)3ln24 (5分)8解：由,ln22yxz可得到2222,yxyyzyxxxz（4 分）于是22)()(yzxz.122yx（5 分）9解：先对y积分，
16、后对x积分，则1100 xDxydxdydxxydy（2 分）1120012xxydx（3 分）1201(1)2xxdx12301(2)2xxxdx213401211()223424xxx（5 分）10解：设zeyzxyxzyxF22),(22（1 分）zzyxeyFzyFxF2,22,22（3 分）zeyxxz222（4 分）zeyzyyz222（5 分）11.解：因为(2 分)，（4分）根据函数在一点连续的定义，当13ea时，)(xf在1x处连续。（5 分）12 解：原式33102102)2(lim1lim22xxexexxxx（3分）（5 分）13（解法 1）解：f()dlimf()dl
17、imxxaaxaxattxttaxaxa（2 分）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 15 页 -f()lim1xaxa（4 分）f()aa（5 分）（解法 2）解：设F()f()dxaxtt则F()f()d0aaatt（2 分）导数的定义知F()F()limf()dlimxaxaxaxxattaxaxa（4 分）F()f()aaaa（5 分）（解法 3）解：根据积分中值定理limf()dlimf()()xaxaxaxxttxaxaxa（2 分）limf()xax（3 分）f()aa（5 分）14解:因为2|2|121xxxy,(3 分)曲线332xy在点(1,32)
18、处的切线方程为)1(232xy.(5分)15解：对方程两端求导得（3分）故由yycos22（5分）16解：（2分）（4分）（5分）17解：原式21(ln1)ln1edxx（2 分）21(2ln1)ex（4 分）232（5 分）18解 （3 分）（5分）19 解：原式=22DDx dxdyy dxdy（1 分）=1111221111dyx dxdxy dy（3 分）=3311112233xy（4 分）=4433=83（5 分）20 解：原式=)sin(lim20 xxxxx（2 分）=xxxxsinlim0（3 分）=xxcos11lim0（4 分）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-
19、第 7 页，共 15 页 -=21（5 分）21.解：2001coslim)(limxxxfxxxxx2sinlim0（1 分）=21（2 分）1)0(f（3 分）)0()(lim0fxfx（4 分）)(xf在0 x处不连续。（5 分）22解：原式=21212)1221(limxxx（3 分）21212)1221(lim)1221(limxxxxx（4 分）e（5 分）23解：（1分）（3分）（4分）（5分）24解：（2分）(4分)(5分)25解：在方程两边同时关于x求导得0)(322/xyyayyx（4 分）所以axyxayy3223/.（5 分）26解：首先用凑微分法得原积分dxxxI)1
20、ln(2=uduxdxln21)1()1ln(2122（2 分）再使用分部积分法，可求得CuuuI)ln(21（4 分）将21xu代回即得2221(1)ln(1)12IxxxC221ln(1)12xxC（5 分）27解（3分）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 15 页 -（5 分）28解：;222yxxxz（3 分）222yxyyz.（5 分）29.解：原式=dyxydxx1211（3分）dxxyx)31(1311（4分）（5分）30.解:因为2|2|121xxxy,所以(3 分)曲线3213yx在点11,3处的切线方程为12(1)3yx.(5 分)31.解：000
21、sin 2sin 2lim()lim2 lim22xxxxxfxxx (2分)(0)fa（3 分）因为()fx在点0 x连续，所以0(0)lim()xffx，从而2a（5 分）32.解：原式221sinlim1xxx（3 分）1（5 分）33.解：32211313121lim11limxxxxxx（3分）=23（5 分）34.解：.令，得,（2分）当0 x时，0y，当01x时，0y，所以0 x为极小点，极小值为.01ln0)0(y（5 分）35 解:令1),(xyzezyxFxz.(2分)因为xzzyxFy),(，(3分)xyxezyxFxzz),(，(4分)所以yezyzxz.(5分)36解
22、：原式=)1ln()1ln(xxdxx（2 分）dxxxxx1)1ln(（3 分）dxxxx)111()1ln(（4 分）cxxxx)1ln()1ln(（5 分）37解:203203coscoscossinxxdxdxx（2 分）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 15 页 -=41x4cos20（4 分）=41（5 分）38解：yexzxsin（2分）yeyzxcos（5 分）39解：（1分）（3分）（5分）40解：设切点坐标为),(000yxM0ln10 xyxx（2 分）直线0322yx的斜率1k（3 分）0,11ln1000yxx（4 分）所求的切线方程为1x
23、y（5 分）41.解：因为函数在点1x连续，所以函数在该点的左右极限必相等。（1 分）由1)(lim)(lim,1)(lim)(lim201010101bxbxfaaxxfxxxx（4 分）便可得到,11ba即.2ab（5 分）42解：原式=)11()11)(11(lim2220 xxxxx（2 分）=11lim20 xxx（3 分）=0.（5 分）43 解：原式121lim21xxx（3 分）11lim1xx（4 分）(5分)44.解：先求切线斜率得,3131132xxk（3 分）于是所求切线方程为),1(311xy（4 分）即).2(31xy（5 分）45.解：令),(zyxf,1xyze
24、xyz则有xyxyefxzxzefyzyzefxyzzxyzyxyzx,（2 分）于是yzyzxzxyyzxyxyeyzyzexzxyzxyz,（4 分）21名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 15 页 -从而有xzyz.)(xyyxz（5 分）46解：原式dxxdxex232221（3 分）cxex2552212（5 分）47解：原式10221xxde（1 分）)(21102102dxexexx（3 分）)21(211022xee（4 分）4142e（5 分）48解：yxyxzxln.1.ln（3 分）1ln)(lnxyxyz（5 分）49 解：原式1002xxd
25、yedx（2 分）1010022dxxedxyexxx（3 分）)(212102xdex（4 分）212121102eex（5 分）50解:y=211111xxxxxeeeee (3分)2)1()1()1(xxxxeeee (4分)2)1(2xxee (5分)51.解：首先，函数的定义域是整个数轴。（1 分）其次令,012186)(2/xxxf得到驻点为.2,121xx（3 分）当1x时，0)(xf；当21x时，0)(xf；当2x时，0)(xf。从而得其单调性如下：单调增区间为),2(),1,(单调减区间为)2,1(.（5 分）52解：原式=430limxxx（3 分）xx1lim0.（5 分
26、）53解：原式)6(2)21(limxxx（3 分）6e（5 分）54解：设切点0M坐标为),(00yx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 15 页 -0210 xyxx（2 分）直线052 yx的斜率21k（3 分）21210 x1,100yx（4 分）过0M的切线方程为)1(211xy即012 yx（5 分）55 解：在方程两边同时关于x求导得2()0 xyxyxyeyxy（4 分）所以2xyxyyeyxyxxe（5 分）56解：原式dxxxxxx2212)1ln(（2 分）dxxxx)111(2)1ln(22（3 分）cxxxxarctan22)1ln(2（5
27、 分）57解：原式xxdee10sin（2 分）10)cos(xe（4 分）ecos1cos（5 分）58解2yexzy（3 分）34)2(22yyxeyyxexeyyzyyy（5 分）59解：10102dyexdxy（2 分）102102122yex（4 分）)1(412e（5 分）60解：xyxe.（1 分）令0y，得驻点0 x,（2 分）,(0)10 xxyexey（3 分）所以0 x为极小值点，极小值为(0)0y（5 分）三、应用题 1 解：曲线交点为)2,2(和)4,8(（1分）所围区域为42,4212yyxy（2分）故面积（4分）（6分）（7分）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师
28、精心整理-第 12 页，共 15 页 -2解：（1）510)(2QQPQQR（1 分）5058)()()(2QQQCQRQL（3 分）QQL528)(（4 分）令0)(QL得20Q（5 分）052)(QL当20Q时总利润最大30)20(L（6 分）（2）此时销售单价为652010P（7 分）3解：曲线交点为（-1，1）和（2，4）（1 分）所围区域为212,2xxyx（2 分）故面积221(2)Sxxdx（4 分）2321(2)23xxx（6 分）92（7 分）4解：10159)()()(23QQQQCQRQL（2 分）)5)(1(315183)(2QQQQQL令0)(QL得5,121QQ（4
29、 分）012)5(,012)1(186)(LLQQL当5Q时利润最大（5 分）最大利润为15)5(L（6 分）此时销售单价18)(QQRP（7 分）5解：曲线交点为(0,0)和(1,1)（1 分）所围区域为2,01xyxx（2 分）所以面积dxxxS)(210（4 分）13/2302133xx（6 分）13（7 分）6解：2200)2200()(,100)(2QQQQPQQRQQC（2 分）2100)()()(2QQQCQRQL（3 分）QQL100)(（4 分）令0)(QL得100Q（5分）01)(QL当100Q时 即(150P元）时L最大（6 分）(5000)100(L元）（7 分）7解：
30、由联立方程组axyxy2，求得交点坐标(0,0),(a,2a).(2分)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 15 页 -那么dxxaxdxdxxaxaaa00022)(632323330302aaaxaxaa（6 分）因为3463a，所以2a.(7分)8 解：设公寓的租金为x 元/月，则租不出去的套数为100050 x，租出去的套数为10005050 x（2分）于是租金收入为10005010050 xLx（3 分）d100013600250100d505050Lxxxx（5 分）令()0Lx得1800 x而251)(xL0所以当租金为1800 元/月时，收入最大。（
31、7 分）9解：解方程解得47,1yy（2分）故（4分）4712)734(dyyy47123)72334(yyy（6 分）968313（7 分）10解：()10.00002Lxx（1 分）令()0Lx，得驻点50000 x（2 分）()0.000020Lx，所以50000 x是唯一的极大值点，（5 分）也是最大值点，（6 分）从而当生产50000 个单位时，获利润最大.（7 分）11 解：曲线交点为（0，0）和)1(,1aaa（1 分）dxxxadxxxaxSaa1021021（3 分）1032)321(axxa6)1(3a（4 分）8)1(346)1(33aa3a（5 分）12解：销量为 Q
32、时的总收入为（1 分）所以总利润为（2分）其中)(QC为生产 Q 个单位产品所需总成本由题意知（3分）于是总利润函数为40001001300)3004000()1001000()(2PPPPPPL（4分）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 15 页 -令（5分）驻点为5.60P又因为0200)(PL（6分）故0P是极大值点，同时也是最大值点，故当价格为6.5 时，利润最大。（7 分）四、证明题1证明：设13)(23xxxf显然)(xf在0,1 上连续（2分）又（4分）故由零点定理知01323xx在（0,1）内至少有一个实根。（6 分）2证明：22()(1)2(1)(
33、2)Fxfxxfxx（4 分）则(1)2(0)2(0)0Fff(1)2(0)2(0)0Fff（5 分）所以(1)(1)FF（6 分）3证明：设f()arcsinarccosxxx（1 分）则2211f()011xxx（3 分）所以f()x为常数。.（4 分）取021,12x，则有0f()2x所以arcsinarccos,(-11)2xxx（6 分）4证明令21cossin)(xxxxxf，那么0)0(f.(1分)要证21cossinxxxx)0(x，只需要证0)(xf)0(x.根据计算知道xxxxf21sincos)(，(2分)0)0(f (3分)和2cossin)(xxxf.(4分)因为xsin和xcos不同时等于1，得到0)(xf，从而0)(xf，(5分)结果有0)(xf)0(x.(6分)5证明：设()21xfxx，则()fx在0，1 上连续（2 分）又(0)10,(1)10ff（4 分）故由零点存在定理方程012xx在)1,0(内至少有一个实根（6 分）6证明：令xexfx2)(12（1 分）22)(12 xexf（2 分）当21x时，112xe0)(xf（3 分）当21x时，)(xf是单调上升函数。（4 分）又0)(21f当21x时0)(xf（5 分）即xex212.（6 分）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 15 页 -