2022年延安大学暑假数学建模培训二,停车场车位分配 .pdf

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1、1 停车场车位分配问题摘要本文运用泊松分布、简单的比例知识以及最优化的思路建立了整数线性规划模型，解决了停车场车位分配的问题。停车场停车车位固定不变，主要提供给写字楼人员办年卡和月卡使用，为了减少停车场因空置率增大而造成的浪费，我们必须对停车流量数据进行分析，建立合理的最佳的车位分配管理方法，并使得年收益最大。针对问题（1），我们应该首先分析附表中的数据，将四月份的停车流量数据转化为停车量数据。为此，我们采用了概率模拟方法中的泊松分布。由于车辆离开服从泊松分布，故我们可以求解出进入停车场和离开停车场的车辆数目，进而可以求解出停车量。计算结果如下所示：i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2、 11 12 13 14 15 mi 23 42 132 161 149 161 143 135 138 136 133 115 73 46 35 xi 23 37 112 107 71 80 60 60 66 70 60 35 20 5 5 yi 0 5 20 54 78 81 83 75 72 66 73 80 53 41 30 ti 23 37 147 200 193 192 169 154 148 152 139 94 61 25 0 针对问题（2）先定义冲突概率，再根据自己定义的冲突概率求解出求出在冲突概率低于0.05 时的最大售卡量，由第一问可知停车场的停车概率，根据停车概率和售卡

3、两之间的比例关系可以求出最大售卡量。计算结果如下：最大售卡量为 236 张。针对问题（3），如果你是车位管理员，你如何设计最佳车位分配管理方法，使得收益最大。我们假定扩大售卡量对象之后，卡的种类主要包括年卡、月卡、临时卡。假定依旧在有冲突概率的前提条件之下，且年卡和月卡总共出售212 张，通过控制给定各类卡的价格和售卡数量以及冲突概率约束条件来求最大年收益量 max Z=ax+12by+12*30(21Mccni)在给定一个实例之后，用LINGO 软件计算最大年收益为1570560元。关键词：泊松分布比例整数线性规划LINGO 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 14

4、 页 -2 一、问题重述某写字楼拥有 212 个车位，主要供写字楼工作人员办卡包年或包月使用，车位不固定，只要有空闲车位就可以停。现在的情况是，办卡客户虽然办了卡，但不一定都来停车，且很多车子是流动的，可能早上停进来，中午就走了。这样，停车场空置率很大，造成了资源浪费，现计划扩大售卡数量和对象。假定总车位固定不变，请依据附表中 4 月份每天各时段的停车流量数据，建立数学模型回答下列问题：（1）模拟附表中停车流量，分析停车量统计规律；（2）定义冲突概率，求若冲突概率低于05.0情形下，计算最大售卡量；（3）如果你是车位管理员，你如何设计最佳车位分配管理方法，使得收益最大。二、问题分析按照题目叙述

5、可知，本题涉及到变量之间的转化并根据给出的附表寻找各个数据之间规律方面的问题、概率统计方面的问题以及优化方面的问题。对于第一问，我们必须先理解停车流量的概念，再找出停车流量和停车量之间的数据关系，最后再找出停车数量一个内在各个时间段的变化规律。经查阅资料，我们可以知道停车流量指的是在一段时间内车辆流动的数量，即为在该段时间内进入停车场的车辆数量加上离开停车场的车辆数量之和。所谓停车量即为在统计的该段时间内，原来停车场已停车的数量加上进入停车场的车辆数再减去离开停车场的车辆数量。由概率知识可以知道停车场离开的车辆数服从泊松分布，用泊松分布可以求出泊松分布对应的参数，再根据停车流量和停车量之间的关

6、系可以求出停车量，画出停车量和对应时间段之间的关系图即可。针对第二个问题，我们根据第一问对数据的分析，找出的规律，求在冲突概率低于 0.05 时最大的售卡量，要使得售卡量最大，我们可以找出各个时间段内停车辆量最大的时间段，若是让该时间段的冲突率低于0.05，计算出对应的售卡量最大，则其他各个时段的冲突概率都低于0.05且售卡量最大。对于第三问，为了解决停车场空置率大造成的资源浪费，现计划扩大售卡数量和对象，要求设计出最佳车位分配管理方法，使得收益最大。我们考虑在满足冲突概率低于的条件下，从售卡种类，价格，数量出发，设计方案将利润最大化。我们可以把售卡对象扩大，主要分为包年卡、月卡的和临时卡使用

7、的，对于包卡的我们规定：包月卡的收费以一个月为一个阶段，每月收费为 a 元并且在该阶段内可以无限次刷卡，超出一个月卡就视为无效卡，必须重新办卡才可以使用；对于包年卡的，年收费为 b 元并且在该阶段内可以无限次刷卡，超出一年卡就视为无效卡，必须重新办卡才可以使用；对于临时卡，我们采用按小时计费来收取费用，6：0020:00 临时卡收费为 c1 元，20:00 以后到次日 6:00 之间一张临时卡收费为 c2 元，不足一小时的也按一小时计算。并且临时卡有效期为一小时。再根据解优化问题建立模型，求出年最大收益。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 14 页 -3 三、问题假设

8、1）假设该写字楼内总得车位固定不变，在统计表中的数据时出售的卡数是212张；2）假设在最后一个阶段时该停车场的车全部离开；3）假设除了最后一个时间段之外，在第i 个时间段进入的车辆在本时间段不离开，而在之后的其他时间段离开；4）假设在各个阶段时离开停车场的车辆数服从泊松分布；5）在进行统计时不考虑任何突发情况的出现；6）假设进行第二问时，只有年卡和月卡，不考虑临时卡的影响；7）假设不考虑车的大小，均按统一大小看待；四、符号说明ix表示第 i 个时间段进入停车场的车辆数（i=1,2，15）；iy表示在第 i 个时间段离开停车场的车辆数（i=1,2，15）；it表示在第 i 个时间段停车场的停车量

9、（i=1,2，15）；im表示第 i 个时间段停车场的停车流量（i=1,2，15）；ip表示第 i 个时间段离开停车场的概率（i=1,2，15）；iq表示第 i 个时间段进入停车场的概率（i=1,2，15）；iN表示在冲突概率低于0.05 时，最大售卡量；Qi 表示各个时间段的停车率；四、模型建立与求解问题一：查阅资料可以知道：1）停车流量指的是在一段时间内车辆流动的数量，即为在该段时间内进入停车场的车辆数量加上离开停车场的车辆数量之和。停车数量即为在统计的该段时间内，原来停车场已停车的数量加上进入停车场的车辆数再减去离开停车场的车辆数量。2）普阿松分布是一种重要的分布，它不仅具有很多良好的性

10、质与应用，而且它是许多随机事件流的概率模型，所谓随机事件流就是随机时刻源源不断出现的事件（或质点）所形成的序列。例如，在任意给定时间间隔内，鱼贯到达某公共设施要求给予服务的客户流；到达某城市的旅客流等。如果随机事件流满足平稳性，无后效性，普通性，非平凡性，则该事件流为普阿松分布流，也成为泊松分布。对于该问题，我们可以知道车离开停车场这个随机事件满足平稳性，无后效性，普通性，非平凡性，符合泊松分布，且在各个时间段都服从参数为i的泊名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 14 页 -4 松分布。故有离开停车场的车辆概率可以用如下公式求解：()(0,1,2,.14)!ikiPX

11、kekk，其中参数i为泊松流的强度，在本题中可以理解为停车量。由数理统计的知识我们可以知道，参数i还是泊松分布的期望或者方差。由 1）我们可以知道各个时间段内停车流量，停车量，离开的车辆数，进入的车辆数之间存在如下关系式：在第一个时段内：1111111112 ymttyxmyx在第二时段内：22)1(222222)1(122yxepymtymxpxyXX在第三时间段内：33333333)1(2)2(132yxymtymxpxpxyXX由此可以得到这样的规律：在第 i 个时间段内：)152,1(2)1()2(2)1(1iyxymtymxpxpxpxyiiiiiiiiXiiXiXi由上面的公式计算

12、出各个时间段的进入停车场的车辆数，离开停车场的车辆数以及停车量。如下表所示：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 14 页 -5 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 mi 23 42 132 161 149 161 143 135 138 136 133 115 73 46 35 xi 23 37 112 107 71 80 60 60 66 70 60 35 20 5 5 yi 0 5 20 54 78 81 83 75 72 66 73 80 53 41 30 ti 23 37 147 200 193 192 169 154

13、148 152 139 94 61 25 0 停车量与各个时间段之间对应的关系图如下所示：各个时间段进入停车场车辆数与离开停车场车辆数以及停车量之间的关系图如下所示：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 14 页 -6 进而可以算出各个阶段进车量与出车量的概率分布列，如下所示：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 14 页 -7 问题二：第 i个时间段1 2 3 4 5 6 7 8 进 车 量占 停 车流 量 的百 分 比qi 1 0.881 0.848 0.665 0.477 0.497 0.420 0.444 出 车 辆占 停 车流 量 的百

14、 分 比pi 0 0.119 0.152 0.335 0.553 0.503 0.580 0.556 平 均 进车 量 在该 阶 段占 总 车位 的 百分比0.108 0.176 0.528 0.505 0.335 0.377 0.283 0.283 停 车 率Qi 0.108 0.175 0.693 0.943 0.916 0.906 0.797 0.726 第 i个时间段9 10 11 12 13 14 15 进 车 量占 停 车流 量 的百 分 比qi 0.478 0.515 0.451 0.304 0.274 0.109 0.143 出 车 辆占 停 车流 量 的百 分 比pi 0.5

15、22 0.485 0.549 0.696 0.726 0.891 0.857 平 均 进车 量 在该 阶 段占 总 车位 的 百分比0.311 0.336 0.283 0.165 0.094 0.024 0.024 停 车 率Qi 0.698 0.717 0.656 0.443 0.288 0.118 0 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 14 页 -8 我们定义的冲突概率为在某个时间段内，持卡进入停车场停车没地停车的 车 辆 占 进 入 停 车 场 想 要 停 车 的 车 辆 总 和 的 百 分 比，由 题 可 知：iiQN/)1(*212由第一问计算的结果和冲突

16、概率的定义，我们可以求出各个阶段内的最大售卡量iN从中找出最小的，即为我们要求出的最大售卡量。各个时间段的最大售卡量如下表所示：由上表可知，在冲突概率低于 0.05 的情形下，最大售卡量为：236 问题三：该问可以认为是一道整数规划问题，用解最优化问题的思路来解。（1）符号定义：Z 表示年收益；Z1 表示出售年卡获得的收益；Z2 表示出售月卡获得的收益；Z3 表示临时卡获得的收益；a表示办一张年卡的费用；x 表示出售年卡的数量；b 表示办一张月卡的费用；y 表示出售月卡的数量；1c表示临时停车从早上6:00-20:00卖一张临时卡的收费；2c表示临时停车从晚上八点到次日早上六点之间卖一张临时卡

17、的收费；in表示白天临时来停车的在第i 时间段的停车数量；M表示晚上临时来停车人停车的数量；表示考虑临时卡和年卡月卡时的冲突率;（2）问题假设：1.持临时卡来停车的，白天一辆车在一个时间段停车且只能停一个小时，晚上 20:00以后无论停多久收费都一样且在次日早上6:00 之前必须离开；2.假设每月都按 30 天计算；3.假设每月售月卡量相同，每天售出的临时卡量也相同；（3）问题分析：i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Ni 2064 1274 321 236 243 246 279 307 319 311 339 503 774 1889 名师资料总结-精品资

18、料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 14 页 -9 假设要达到在冲突概率低于的条件下，使得年收益最大，而年收益又包含办年卡的收益，办月卡的收益，以及一年内持临时卡来停车的收益。其中办年卡的收益为：Z1=ax(1)办月卡的收益为：Z2=by(2)临时卡的收益为：Z3=2211cncn（3）由（1）（2）（3）式可得目标函数为：max Z=ax+12by+12*30(21Mccni)存在的约束条件有1)冲突概率低于的限制：212/)212(yxnQii其中 i=1,214 2）212in-it3)M=212 4)12ccba5)x+y=212 6)0 x212 7)0y212，且除了 a,b

19、,c1,c2之外其余都为正整数（4）模型建立目标函数为：max Z=ax+12by+12*30(21Mccni)s.t.1)212/)212(yxnQii其中 i=1,214 2）212in-it3）M=212 4）12ccba5）x+y=212 6）0 x212 7）0y212，且除了 a,b,c1,c2之外其余都为正整数例如，假设办一张年卡的费用为800 元，办一张月卡的费用为100 元，白天办一张临时卡的费用为2 元，晚上办一张临时卡的价格为10 元，在冲突率低于0.05时，求最大年收益量。代入模型，用求解，计算结果如下所示：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共

20、14 页 -10 x y n1 n2 n3 n4 n5 n6 0 212 98 60 20 12 19 20 n7 n8 n9 n10 n11 n12 n13 n14 M 37 37 34 31 37 64 112 187 212 最大年收益 Z=1570560 由上表可知，当卖出年卡为 0 张，月卡为 212 张，一天中 6:007:00 卖出临时卡98 张，7:008:00 卖出临时卡 60 张，8：009:00卖出临时卡 20 张，9:0010:00卖出临时卡 12 张，10:0011:00卖出临时卡 19张，11:0012:00 卖出临时卡 20张，12:0013:00 卖出临时卡 3

21、7张，13:0014:00卖出临时卡 37张，14:0015:00卖出临时卡 34 张，15;0016:00卖出临时卡 31张，16:0017:00 卖出临时卡 37张，17:0018:00 点卖出临时卡 64 张，18:0019:00 卖出临时卡 112 张，19:0020:00卖出临时卡 187，晚上 20:00后到次日早上 6:00 之前卖临时卡 212 张。结果分析：由于建立的目标是求年收益最大，在限定的约束条件下，通过计算机求解的把结果与实际情况稍有不符，实际情况下卖出的年卡数量应该大于卖出的月卡数量，但是我们建立的模型仅仅考虑到收益最大且月卡累计到年算出的费用大于卖出年卡的费用，所

22、以在求解的结果中，卖出年卡量为0 张，是合理的。五、模型评价优点：1)我们在求解第一问时运用了泊松分布求出各个时间段的停车辆，2)在解答第二问时运用了简单的比例关系，求解出最大的售卡量，简单易懂，条例清晰。3)在解答第三问时，我们建立了整数优化模型，根据实际情况而定，具有可操作性。缺点：）在分析停车辆统计规律时，我们运用了各个时段的平均值，有一定的误差，但不影响总体的规律。）建立整数规划模型求年收益最大，在限定的约束条件下，通过计算机求解的把结果与实际情况稍有不符，但得出的结果仍是合理的。六、参考文献【1】姜启源.谢金星.叶俊 数学模型（第三版）高等教育出版社 2003【2】刘新平概率论与数理

23、统计第一版)陕西师范大学出版总社有限公司2010【3】赵瑛.关于泊松分布及其应用.辽宁省高等专科学校学报 J,2009 年 4 月 第十一卷第二期:77-78 页附录LINGO 求解的代码输入：model:max=800*x+1200*y+360*(n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7+n8+n9+n10+n11+n12+n13+n14名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 14 页 -11)*2+M*10);0.108*(n1+x+y-212)/2120.05;0.176*(n2+x+y-212)/2120.05;0.528*(n3+x+y-212)/2120.0

24、5;0.505*(n4+x+y-212)/2120.05;0.335*(n5+x+y-212)/2120.05;0.377*(n6+x+y-212)/2120.05;0.283*(n7+x+y-212)/2120.05;0.283*(n8+x+y-212)/2120.05;0.311*(n9+x+y-212)/2120.05;0.336*(n10+x+y-212)/2120.05;0.283*(n11+x+y-212)/2120.05;0.165*(n12+x+y-212)/2120.05;0.094*(n13+x+y-212)/2120.05;x+y=212;n1=190;n2=175;n3

25、=65;n4=12;n5=19;n6=20;n7=43;n8=58;n9=64;n10=60;n11=73;n12=118;n13=151;n14=187;M0;x0;y=212;gin(n1);gin(n2);gin(n3);gin(n4);gin(n5);gin(n6);gin(n7);gin(n8);gin(n9);gin(n10);gin(n11);gin(n12);gin(n13);gin(n14);gin(x);gin(y);gin(M);End 计算结果：Global optimal solution found.Objective value:1570560.名师资料总结-精品

26、资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 14 页 -12 Extended solver steps:0 Total solver iterations:0 Variable Value Reduced Cost X 0.000000 -800.0000 Y 212.0000 -1200.000 N1 98.00000 -720.0000 N2 60.00000 -720.0000 N3 20.00000 -720.0000 N4 12.00000 -720.0000 N5 19.00000 -720.0000 N6 20.00000 -720.0000 N7 37.00000 -720

27、.0000 N8 37.00000 -720.0000 N9 34.00000 -720.0000 N10 31.00000 -720.0000 N11 37.00000 -720.0000 N12 64.00000 -720.0000 N13 112.0000 -720.0000 N14 187.0000 -720.0000 M 212.0000 -3600.000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 1570560.1.000000 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 14 页 -13 2 0.7547170E-04 0.0000

28、00 3 0.1886792E-03 0.000000 4 0.1886792E-03 0.000000 5 0.2141509E-01 0.000000 6 0.1997642E-01 0.000000 7 0.1443396E-01 0.000000 8 0.6084906E-03 0.000000 9 0.6084906E-03 0.000000 10 0.1226415E-03 0.000000 11 0.8679245E-03 0.000000 12 0.6084906E-03 0.000000 13 0.1886792E-03 0.000000 14 0.3396226E-03 0

29、.000000 15 0.000000 0.000000 16 92.00000 0.000000 17 115.0000 0.000000 18 45.00000 0.000000 19 0.000000 0.000000 20 0.000000 0.000000 21 0.000000 0.000000 22 6.000000 0.000000 23 21.00000 0.000000 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 14 页 -14 24 30.00000 0.000000 25 29.00000 0.000000 26 36.00000 0.000000 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 14 页 -