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1、高等数学 II练习题_学院 _专业班级姓名 _ _学号 _反常积分、定积分应用（一）1、求无穷限积分0axedx（0a）。01axedxa(过程略)2、求瑕积分211xdxx。2211021023/21/2013/21/20lim111lim1112lim1213828 =lim2333xdxxdxxxxd xxxx3、求由曲线22yx与4xy所围成图形的面积。22232244282244(4)d(4)18226xxyxyyxyyyySyyy解：或是两交点4、求由曲线1xy和直线xy，2x所围成的平面图形的面积。2113ln 22Sxdxx或120111322ln 222Sxdxdxx（请自己
2、画草图，体会两种不同的求法）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 38 页 -5、抛物线342xxy与其在点)3,0(和)0,3(处的切线所围成的图形的面积。解：过点)3,0(的切线方程为34yx，而过)0,3(处的切线方程为23yx故求的两切线交点为)3,23(，则所要求图形的面为：3/23221203/29434326434SSSxxxdxxxxdx6、设椭圆的参数方程为2cos,3 sinxt yt，求椭圆的面积。解：由椭圆的对称性，椭圆的面积可表示为：20020/2/2443sin2cos8 3sin2 3Sydxtdttdt（简单的计算过程略，希望同学们自行补
3、充完成）7、在 1,0上给定函数2xy，问t取何值时，右图中曲边三角形OACO 与 ADBA 的面积之和最小？何时最大？222233112200322()22()d(1)d()3341331()42,()0,0210,()021,1()021112(0),(),(1)32431ttttOACOADBAA tA ty yyyyyyttA tttA ttttA ttA tAAAtQ解：设曲边三角形和的面积之和为令或当时，函数单调减少当时，函数单调增加所以当时，12t面积之和最大，当时，面积之和最小。yxtOABDC名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 38 页 -高等数学
4、II练习题_学院 _专业班级姓名 _ _学号 _定积分应用（二）1、求由曲线xy2和2xy围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积。解：21220310Vxxdx2、分别求由曲线yx,2yx及x轴所围成的图形绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积。解：绕x轴旋转而成的旋转体的体积12222018d(2)d+5315xVxxxx绕y轴旋转而成的旋转体的体积12221005111(2)d(4)236yVyyyyyy3、求由曲线2yx和直线2x、0y所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转的旋转体的体积。解：图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积222032d5xVxx图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积242024d
5、8yVyy4、求曲线sin(0,)yxx x所围成的图形绕y轴旋转的旋转体体积。（参考课本第214 页（4）的（6.37）的做法，注意是按圆环体来分隔）解：图形绕y轴旋转的旋转体体积22000033002d2sin d2cos22 cos d24sin4sin d28Vx fxxxx xxxxx xxxx x名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 38 页 -5、已知一抛物线过x轴上的两点(1,0),(3,0)AB：（1）求证：两坐标轴与该抛物线所围图形1D的面积等于x轴与该抛物线所围图形2D的面积。（2）计算上述两个平面图形绕x轴旋转一周产生的两个旋转体的体积。略。（由
6、于没给出抛物线二次项的系数a，本题大家可以随意选个非零的a 来做）6、求由曲线yx,0y，1x所围成的图形绕直线1x旋转而成的旋转体的体积。解：21122400811215Vydyyydy（注意旋转体界面圆的半径是21y）7、设某产品的边际成本2MCx（万元/台）其中x表示产量，固定成本为022C（万元），边际收益204MRx（万元/台），求：（1）总成本函数和总收益函数；（2）获得最大利润时的产量；（3）从最大利润时的产量又生产了4 台，总利润的变化。解：（1）总成本函数为200012222222xxCMCdxCx dxxx总收益函数为200204220 xxRMRdxx dxxx；（2）由
7、（1），利润函数为2318222RCxx当3180 x可求得驻点为6x，而630 x，因此当产量x=6 台时，获得最利润；（3）106.（略）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 38 页 -高等数学 II练习题_学院 _专业班级姓名 _ _学号 _定积分综合一、选择题1、设函数)(xf在ba,上连续，则曲线)(xfy与直线0,ybxax所围成的平面图形的面积等于（C）（A）badxxf)(（B）badxxf)(（C）dxxfba)(（D）)()(baabf2、设401xdxI，402dxxI，403sinxdxI，则(D)（A）321III（B）213III（C）23
8、1III（D）312III3、设)(xf连续，10)(2)(dttfxxf，则)(xf(B)（A）x（B）1x（C）2x（D）1x4、下列结果正确的是(B)（A）22(sin)sinbadt dtada（B）22(sin)sinbadt dtbdb（C）22(sin)sinbadt dtxdx（D）22(sin)2 sinbadt dtxxdx5、设20222xtfxdttt，则fx在0,1上(B)（A）单调增加（B）单调减少（C）有增有减（D）无界6、设)(xf是连续函数，则()()bbaaf x dxf abx dx=(A)（A）0（B）1（C）ba（D）badxxf)(7、若)(xf是连
9、续函数且为奇函数，则0()xf t dt是(B)（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）既奇既偶函数8、下列反常积分发散的有(C)（A）201dxx（B）1201dxx（C）lnexdxx（D）0 xe dx9、下列反常积分收敛的有(D)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 38 页 -（A）10dxx（B）120dxx（C）10ln xdxx（D）10dxx10、由曲线()yf x，()yg x（()()f xg x，axb）及直线xa，xb所围图形绕x轴旋转而成立体的体积是(B)（A）2()()bag xfxdx（B）22()()bagxfx dx（C）2(
10、)bagx dx（D）()()bag xf x dx二、填空题1、利用定积分的几何意义，填写下列定积分的结果：(1)2204x dx=(2)02(1)xdx-4 2、利用定积分的性质，填写下列各题：(1)6 421(1)xdx51(2)331arctan xdxx3、设0()sinxf t dtxx，则)(xf=。4、已知)(xf在),(上连续，且2)0(f，且设2sin)()(xxdttfxF，则)0(F-2 。5、设()yy x由23cos200cos0 xxytt dte dt所确定，则y=。6、设)(xf为连续函数且满足310()xf t dtx，则)7(f。7、求下列定积分(1)09
11、912(21)xdx=(2)220cosd12(3)5024xdx13(4)211lnedxxx2 32(5)844sinxxdx0(6)1lnexdxx12(7)sin xdx=0(8)22cosxdx=2 20cosxdx8、若反常积分2)(lnkxxdx收敛，k 1。9、某厂生产的边际成本函数()134Cxx，且固定成本010C，则总成本函数923sincosxxx22(cos)3cos9sinxyxxe1121200名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 38 页 -()C x;当产量由2 个单位增至4 个单位时，总成本的增量是。213210 xx名师资料总结-精
12、品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 38 页 -高等数学 II练习题_学院 _专业班级姓名 _ _学号 _一阶微分方程1、求0sin)1(cosydyeydxx的通解。解：原方程可化为tan1xxeydydxe积分，得ln|cos|ln(1)xyeC（其中 C 为任意常数）令CCe，不难看出C 为任意常数，故，方程的通解为cos(1)xyCe（C 为任意常数）2、求微分方程042dydyxydx，满足24xy的特解。解：原方程可化为24dydxyx积分得12ln|ln|42xyCx(其中 C 为任意常数)即4422Cxyex，令4CCe，不难看出C 为任意常数，故原微分方程通解可表示
13、为：422xyCx，其中 C 为任意常数，当24xy时，163C故满足条件的方程的特解为416(2)3(2)xyx3、求微分方程02)6(2ydxdyxy的通解。解：方程可化为：32dxyxdyy所以名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 38 页 -332()dydyyyyxeedyC332lnln()yyyeedyC3312()yydyCy233122()yyCCyy4、微分方程022xyyyx的通解。解：当 x0 时，原微分方程可等价为齐次微分方程12xyxyy设xyu则有dxxduuuu1112对应的通解为Cxuu12即222Cxxyy（其中 C 为任意常数）当
14、x0,易得原微分方程的通解为同样的形式。综上所述，微分方程022xyyyx的通解为222Cxxyy（其中 C 为任意常数）5、求微分方程xyyxy，满足21xy的特解。解：令xyu，则原微分方程变为dxxduuuu111积分得Cxuln22名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 38 页 -即222yxxC(ln)（其中 C 为任意常数）由初始条件21xy，代入上式，可求得C=2，所以原微分方程在此初始条件下的特解为2222yxx(ln)6、求微分方程3yyx的通解。解：易知原微分方程对应的齐次微分方程可表示成dxxdyy11其通解为xCy（其中 C 为任意常数）由常数变
15、易法，令原微分方程的通解形式为xxCy，则2xxCxxCy，代入原微分方程，得3xC，积分得CxxC3(其中 C 为任意常数)。于是，所求微分方程的通解为3xCy（其中 C 为任意常数）7、设)(xf为连续函数，由xxfxdtttf02)()(所确定，求)(xf。解：对积分方程两边求导数得2()()xfxxfx，即2()()fxxf xx且00()f2()()xdxxdxf xexedxC22222()xxexedxC22222()xxeeC222xCe当0 x时，0()f x代入上方程得2C故2222()xf xe名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 38 页 -8
16、、巳知生产某产品的固定成本是0a，生产Q单位的边际成本与平均单位成本之差为：QaaQ，且当产量的数值等于a时，相应的总成本为2a，求总成本C与产量Q的函数关系。1dd22111d1,20()ln()()()()()()()QP QQQQC QQaC QQaQeeeQQaC QAQQQAQQa AaQ QaQaC QaAC QQaaQ解：由题意得为常数当时名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 38 页 -高等数学 II练习题二阶微分方程1、求方程yy的通解。解：特征方程为2rr，得特征根为120,1rr所以方程的通解12xyCC e2、求微分方程0)9(62yayy的通
17、解，其中常数0a。解：特征方程为：22690rra，求得特征根1,23rai所以方程的通解312(cossin)xyeCaxCax3、求方程044yyy，20 xy，00 xy的特解。解：特征方程为24410rr，解得特征根为1212rr所以方程的通解为1212()xyCC x e1221211()22xyCCC x e把20 xy，00 xy代入上二式，得122,1CC故 所求方程满足条件的解为12(2)xyx e4、求微分方程25sinyyyx的一个特解。212:20,1,2cossin,(cossin)(sincos)2(cossin)5sinAxBxAxBxAxBxAxBxx解特征方程
18、为故设微分方程的特解为代入微分方程得1202253213cossin.22AABABABBxx微分方程的一个特解为5、求微分方程3652xyyy的通解。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 38 页 -212612201222221210022112102:560,1,6,25(2)6()323108615106018256316xxyC eC eAA xA xAA xAA xA xAxAAAAAAAAAyC解特征方程为齐次微分方程的通解为设非齐次微分方程的特解为代入微分方程得非齐次微分方程的通解为62121523618108xxeC exx6、设函数求微分方程xxe
19、xeyyy2满足初始条件001,1xxyy的特解。2121220110012123122112:210,1()(),62111,2611()()261()()60,1,111xxxxxxyCC x exAA x eAxAxAAyCC x exx eyCCC x exx exyyCCCQ解 特征方程为齐次微分方程的通解为设非齐次微分方程的特解为代入微分方程得非齐次微分方程的通解为当时122111()026xxCyex exC特解为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 38 页 -高等数学 II练习题_学院 _专业班级姓名 _ _学号 _微分方程综合一、选择题1、下列各微
20、分方程中为一阶线性微分方程的是（B ）（A）xyyx2（B）xyxysin4（C）xyy（D）0)(2xyy2、满足方程20()2()xf xf t dtx的解是()f x（B）（A）21122xex（B）21122xex（C）212xCex（D）212xCex3、已知1cosyx，23cosyx是方程20yy的解，则1122yC yC y(12,C C为任意常数)（B）（A）是方程的通解（B）是方程的解，但不是通解（C）是方程的一个特解（D）不一定是方程的解4、具 有 特 解xey31，xxey322的 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 方 程 是（B）（A）09yy（B）096yyy（C
21、）09yy（D）096yyy5、微 分方 程0294yyy，0|0 xy，15|0 xy的 特 解 是y（C）（A）xex5cos)1(32（B）xex3cos)1(52（C）xex5sin32（D）xex3sin526、微 分 方 程1xeyy的 一 个 特 解 应 具 有 形 式（式 中ba,为 常 数）（D）（A）baex（B）baxex（C）bxaex（D）bxaxex7、微分方程xxeyyyxsin442的特解应设为（D）（A）xCeBxAxyxsin)(223（B）xCxBeAxyxcossin23（C）xDxCeBAxyxcossin)(2（D）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名
22、师精心整理-第 14 页，共 38 页 -xDxCeBxAxyxcossin)(2238、设微分方程23()yyyfx有特解*y，则它的通解是（A）（A）3*12xxyC eC ey（B）312xxyC eC e（C）3*12xxyC xeC xey（D）3*12xxyC eC ey二、填空题1、微分方程022xyyyx的通解是2、微分方程xyyxy，满足21xy的特解为3、微分方程xxyycostan的通解为4、微分方程032yyy的通解是31212,xxyC eC eCC其中，为任意常数5、微分方程690yyy的通解是6、具有特解xey1和xey2的二阶常系数齐次线性方程为7、设)2sin
23、2cos(21xCxCeyx为某方程的通解，其方程为8、方程3224129(32)xyyyex的特解可设为.9、方程12xyy的特解可设为.10、方程xeyyyx2sin52的特解可设为.11、方程xexyyy3)1(96的特解可设为.注意:特解的表达式里面出现的常数，可说成“其中。为常数”或者“其中。为待定常数”两者都可以。222yyxCxC,其中为任意常数2222yxx(ln)yxCxC()cos,其中为任意常数31212xyCC x eCC()(,)为任意常数20yyy250yyy3222012012xx eAA xA xAAA(),其中，为待定常数2012012AA xA xAAA()
24、，为待定常数22xxeAxBxAB(cossin),其中，为待定常数23 xx eAxBAB(),其中，为常数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 38 页 -高等数学 II练习题_学院 _专业班级姓名 _ _学号 _空间解析几何、多元函数概念和性质一选择题1、方程22480 xyz表示（D）（A）平面（B）柱面（C）球（D）抛物面2、函数)ln(1yxz的定义域（C）（A）0yx（B）0)ln(yx（C）1yx（D）1yx3、设)1(xfyz，且当1yxz时，则)(yf=（D）（A）1y（B）y（C）2y（D）)2(yy4、若)0()ln(),(22yxyxxyxf
25、，则),(yxyxf=（B）（A）)ln(yx（B）)ln(2yx（C）)ln(ln21yx（D）)ln(2yx二填空题1、方程22=8xy表示表示空间的准线是xOy 平面上的半径为8，原点为圆心的圆，母线平行于Oz 轴的圆柱面2、若一球面以点(1,3,2)为球心且过原点，则其方程为3、球 面：07442222zyxzyx的 球 心 是 点 _，半 径R_4_；4、22ln()1xzyxxy的定义域5、设函数32(,)3f x yxy，则(,)xfxyy6、已知vuwwuwvuf),(，则),(xyyxyxf=222(1)(3)(2)14xyz(1,2,2)22(,)|1,0 x yxyyx2
26、()()xyxxyxy3()3xxyy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 38 页 -7、已知22),(yxxyyxf，则),(yxf三计算题1、yxyyx)sin(lim)0,2(),(解：sin()xyxyQ当(,)(2,0)x y时，sin()2xyy则原式 2 2、24lim)0,0(),(xyxyyx解：(42)4242(42)(42)xyxyxyxyxyxyxyQ原式(,)(0,0)lim(42)4x yxy3、2222222)0,0(),()(cos1limyxyxeyxyx解：222211 cos()2xyxyQ:原式2222222(,)(0,0)1
27、()2lim()xyx yxyxye222(,)(0,0)11lim22xyx ye(注意：如何应用变量替换法，把二元函数的极限转化为一元函数的情形，利用一元函数的常见的等价无穷小来计算！考虑下什么情形下是安全的！)2222(1)1(1)xxyxyyy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 38 页 -高等数学 II练习题_学院 _专业班级姓名 _ _学号 _多元函数导数及微分1、设函数2sin()(1)arctanyzyxyyxe，求(1,0)|zx。解：2211cos()(1)21zyxyyxxx(1,0)111|01 124zx2、求函数yxxyz22arctan
28、的全微分dz。解：由全微分公式zzdzdxdyxy则3、设yxzarctan，而vux，vuy，求vzuz。解：由链式法则，22111()zxzyxzuxxuy uyyy22111()zzxzyxxvxvyvyyy22222zzyuvuvxyuv（注意，最后的答案应写成u,v 的形式，因要求的表达式默认是 u，v 的函数！）4、设zyxzyx32)32sin(2，求yzxz及dz。解：由已知z=z(x,y),原方程两边对x 求偏导数22(4)(1)1()1()yxdzx dxdyxyxy22114;111zzyxxxyxyxy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 38
29、 页 -2cos(23)(1 3)1 3zzxyzxx对 y 求偏导数2cos(23)(23)23zzxyzyy整理可求得2cos(23)116cos(23)33zxyzxxyz4cos(23)226cos(23)33zxyzyxyz因此1zzxy故 z 的全微分可表示为：zzdzdxdyxy1233dxdy5、设yxez2，而txsin，3ty，求dtdz。解：3222sin22cos23cos6xyxyttdzz dxz dyetetettdtx dty dt(要特别注意上面式子z 在不同地方表示不同自变量的函数，如t 的函数，x,y 的函数；这是把原来 z 是 t 的一元函数表示成z 是
30、二元函数的复合函数的情形)6、设sin()(,)xzxyxy，求2zx y，其中(,)u v有二阶偏导数。解：121cos()(,)(,)zxxyxyxxxyyy2122222321cos()sin()(,)(,)(,)zxxxxxxyxyxyxxxx yyyyyyy（注：下标1,2 的表示对应的偏导数，参见课本p251 例 7.25）7、设333zxyza，求22zx。解法一：方程两边对x 求偏导数23330zzzyzxyxx整理得名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 38 页 -2zyzxzxy上式两边对x 求偏导数222223223222222zzzyzxyyz
31、zyxyyzy zzxy zxxxxzxyzxyzxy8、设),(yxzz由06333xyzzyx所确定的函数，求)1,2,1(xz。解：方程两边对x 求偏导22330zzxzyzxyxx整理得2233zyzxxzxy因此(1,2,1)231325zx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 38 页 -高等数学 II练习题_学院 _专业班级姓名 _ _学号 _多元函数极值和最值1、求函数22(1)(1)zxy的驻点。解：解方程210210zxxzyy得驻点1,12、求函数(1)zxyxy的极值点。解：由222020zyyxyxzxxxyy得驻点1 1,3 3，0,0,0
32、,1,1,0求二阶偏导数2,1 22,2xxxyyyA zy Bzxy Czx对点1 1,3 3:21 1,3 3120,033BACA故(1/3,1/3)为极大值点。对点0,0:20,010BAC，不是极值点.对点(0,1)和点(1,0)，220,11,010BACBAC，故(0,1)和(1,0)都不是极值点；3、求223333yxyxz的极值。解法 1）：由0,0,0,2,2,0,2,222360360zxxxzyyy得驻点0,0,0,2,2,0,2,2计算二阶偏导数66,0,66xxxyyyA zxB zCzy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 38 页 -对
33、应地，20,0360,60BACA，20,2360BAC22,0360BAC，22,2360,60BACA故(0,0)是极大值点，极大值为(0,0)0z(2,2)是极小值点，极小值为(2,2)8z.解法 2）：解：22360360 xyzxxzyy驻点为(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)66xxzx0 xyz66yyzy在(0,0)处，6,0,6ABC，2360BAC(0,0)为极大值点，(0,0)0z在(0,2)处，26,0,6,0ABCBAC(0,2)不是极值点在(2,0)处，26,0,6,0ABCBAC(2,0)不是极值点在(2,2)处，26,0,6,0ABCBAC，(2,2
34、)为极小点，(2,2)8z4、设生产某种产品需要甲、乙两种原料，已知甲种原料的价格为2，乙种原料的价格为1，而 用x单 位 的 甲 种 原 料 和y单 位 的 乙 种 原 料 可 生 产 产 品 数 量 为22201025zxxyy，若该产品的单位价格为5，试求最大利润解：收入5Rz成本2Cxy利润225(201025)2Lxxyyxy225104824100 xyxy1048xLx2024yLy24 6(,)5510 xxL，0 xyL，20yyL，20BAC，故最大利润为24 6(,)5 5229.6L5、工厂的同一种产品分销两个独立市场两个市场的需求情况不同，设价格函数分别为11603P
35、Q，22202PQ，厂商的总成本函数为124CQ，12QQQ,工厂以最大利润为目标，求投放每个市场的产量，并确定此时每个市场的价格名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 38 页 -解：总收入：22112211221212(603)(202)602032RPQP QQ QQQQQQQ总利润：2212121260203212()4LRCQQQQQQ221212488324QQQQ11226480480LQQLQQ128,2QQ，不难验证(8,2)为最大利润对应的极值点1236,16PP6、某厂为促销产品需作两种手段的广告宣传当广告费分别为x，y时，销售量200100510
36、 xyQxy，若销售产品所得利润1()5LQxy，两种手段的广告费共25(千元)，问如何分配两种手段的广告费才能使利润最大？解：作函数1(,)()(25)5F x yQxyxy求偏导2220010(5)20010(10)250 xyFxFyFxy得15,10 xy两种广告分别为15（千元）和10（千元）的时候使得利润最大名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 38 页 -高等数学 II练习题二重积分1、设区域 D 由22,yxyx所围成，求2()Dxy d。解：-10123-10123xyy=x2x=y2x=y2原式(X 型累次积分)241122200()()22xxx
37、xdxxy dyxxxdx54142033()22140 xxxxdx原式(Y 型累次积分)21123/23/263001133()33140yydyxy dxyyyy dy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 24 页，共 38 页 -2、设D是由直线2x，yx及1xy所围成的平面区域，求22Dxdxdyy。解：012300.511.522.533.5xyxy=1y=x原式（X 型）222312119()4xxxdxdyxxdxy3、设 区 域D由y轴 与 曲 线cosxy（22y）所 围 成，求223sinDxydxdy。解：00.20.40.60.811.2-2-1012xy
38、名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 25 页，共 38 页 -原式（Y 型）cos22232202235223sinsincos4(coscos)15ydyxydxyydyyy dy4、设1,1(,)0,1xyxyf x yxy，D为正方形：01,01xy，计算(,)Df x y dxdy。解：原式(矩形区域)11111110000001,xxfx y dxdydxfx y dydxfx y dyfx y dy=1112000111(1)()266xdxxy dyxxdx5、求积分dxxxdyy660cos。解：00.511.5-0.500.51xyy=0y=xx=/6名师资料总
39、结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 26 页，共 38 页 -把原式 Y 型的累次积分转化为X 型即原式6660000cos1cossin2xxdxdyxdxxx6、设积分区域 D 由 xy，2xy及0y所围成，求22()Dxyd。解：原式12220()yydyxydx23120()3yyxy xdy1311057、设积分区域D为122yx，求Ddxdyxyyx)(22。解：令cos,sinxryr原式21200(sincos)dr rrdr2011(sincos)34d23名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 27 页，共 38 页 -8、计算22arctanDyxdxy，其
40、中D由2219xy，0yx所围成。解：令cos,sinxryr原式2344010arctan(tan)216drdrdr名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 28 页，共 38 页 -高等数学 II练习题多元函数微积分综合一、选择题1、设),(yxfz，则),(00yxxz=（B）（A）xyxfyyxxfx),(),(lim00000（B）xyxfyxxfx),(),(lim00000（C）xyxfyxxfx),(),(lim0000（D）xyxfyyxfx),(),(lim000002、若xyzln，则dz等于（B）（A）yxyxyyxxlnlnlnln（B）dyyxydxxyy
41、xxlnlnlnln（C）lnlnlnlnxxyxyydxdyx（D）xyyxlnln3、设)(),(,ln2yvyxuvuz均为可微函数，则yz（C）（A）vuvu2ln2（B）vuvy2ln2（C）vuvuy2ln2（D）vuy24、设积分区域D是1yx，则Ddxdy=（B）（A）1（B）2（C）4（D）8 5、设平面区域D由1,21yxyx与两坐标轴所围成，若DdxdyyxI91)ln(，DdxdyyxI92)(，DdxdyyxI93)sin(，则 它 们 之 间 的 大 小 顺 序 为（C）（A）321III（B）123III（）231III（）213III6、设D是以(0,0),(1
42、,0),(1,2),(0,1)OABC为顶点的梯形所围成的有界闭区域，(,)f x y是区域D上的连续函数，则二重积分(,)Df x y dxdy（B）（A）1101(,)xdxf x y dy（B）1100(,)xdxf x y dy（C）11210001(,)(,)ydxf x y dydxf x y dy（D）11210011(,)(,)ydxf x y dydxf x y dy7、二次积分2002),(xdyyxfdx的另一种积分次序是（A）(A)402),(ydxyxfdy(B）400),(ydxyxfdy(C)4022),(xdxyxfdy(D)402),(ydxyxfdy名师资料
43、总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 29 页，共 38 页 -8、222231xyxy dxdy的值等于（A）（A）34（B）67（C）65（D）329、积分2110 xydyedx（C）（A）1122e（B）11e（C）1122e（D）积不出二、填空题1、设)cos(2yxz，则yz=2、设)sin(),(223yxeyxyxfxy，则(1,1)xf3、设432),(zyxzyxf，则(,)zfx y z=4、设2232),(yxyxyxf，则),(yxfxy=5、设yxez2，而txsin，3ty，则dtdz=6、设yzzxln，则dz7、设D是由22yaxx与0y围成的平面区域，若
44、Ddxdy8，则a；若积分区域D是2214xy，则Ddxdy=.8、若区域D由21yx，21yx围成，则二重积分(,)Df x y dxdy化成先对x，后对y的二次积分为.9、100 xxydxedy=.10、设区域D由11x，11y所确定，则()Dxy yx dxdy=0.11、改换积分的次序21222),(xxxdyyxfdx=12、化二次积分为极坐标的二次积分10112),(xxdyyxfdx=1210cossin(cos,sin)dr f rrdr22sin()xx y1e2334x y z332sin2(cos6)tttte1()ln1zdxdyzyy432211010111(,)(
45、,)yyyydyf x y dxdyf x y dx2122ee211102(,)yydyf x y dx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 30 页，共 38 页 -高等数学 II练习题_学院 _专业班级姓名 _ _学号 _常数项级数1、求级数1)12)(12(1nnn的和。解：级数1)12)(12(1nnn的部分和111(21)(21)1112(21)(21)11(1)221nnknkSkkkkn，此级数的和即1lim2nnSS.2、判断级数1(1)nnnnn的敛散性。3、判断级数211nnnnn的敛散性。4、判断级数112 tan3nnnn的敛散性。11limlim01(1
46、)nnnnuenQ解：(1)nnnnn=1级数发散。221111111111()()()1122311lim11nnnnnnSnnnnnnnnSnnQL解：级数收敛，其和为。12111(1)2tan2(1)23limlim332tan32 tan3nnnnnnnnnnnnnnQ解：级数收敛。(比值判别法)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 31 页，共 38 页 -5、判断级数1)0,0(nsnsana的敛散性。6、判断级数15!(2)nnnnn的敛散性，并求nnnnn)2(!5lim.7、判断级数11)1(12)1(nnnnn的敛散性。（若收敛是绝对收敛还是条件收敛）解：由11
47、12121(1)(1)(1)nnnnn nn nn n8、判断级数123sin)1(nnnn的敛散性。（若收敛是绝对收敛还是条件收敛）11111limlim()(1)10121131011nsssnnnnnssnnsnannaananaaaannassnQ解：（）当时，级数收敛。（）当时，级数发散。（）当时，级数为，此时当时发散，当时收敛。332232sin1|1nnnnnQ=1解：由级数收敛知，1115(1)!(2)5(1)2515limlim()lim()11(22)5!22222215!5!lim0(2)(2)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnennnnnQ解：级数收敛,名师
48、资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 32 页，共 38 页 -高等数学 II练习题_学院 _专业班级姓名 _ _学号 _幂级数和函数的幂级数展开1、求级数21(1)(23)nnnxn的收敛域。212lim|lim1(1)|23|112nnnnananxRx解：212111(1)21,2nnnxnxn当时，级数为，收敛当时，级数为，收敛收敛域为3、求级数129)1(nnnnx的收敛域。解：1191limlim99nnnnnnaa故级数21(1)9nnnnx收敛半径为9R即29,33xx当3x时，级数为1(1)nn，发散故级数129)1(nnnnx收敛域为3,33、求级数2112nnnx
49、的收敛域和和函数。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 33 页，共 38 页 -解：由比值判别法可知当22121limlim12nnnnnuxxun，即11x时，级数2112nnnx收敛，当1x或1x时，limnnu易知级数2112nnnx的收敛域为1,1；又222111111nnnnxxxx，逐项求导到2122211221111nnxnxxxx4、求级数13nnnxn的收敛域和和函数。解：113limlim313nnnnnnanan故级数13nnnxn收敛半径为13R即1133x当13x，级数为113113nnnnnn，发散；当13x，级数为111nnn，收敛；故级数13nnn
50、xn的收敛域为1 1,3 3而由111011nnmnnmxxxnx得1103311ln 13133nxnnnnxxdtxnnt5、将函数22()xf xx e展开为麦克劳林级数。=02(2),!nnnxxRn名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 34 页，共 38 页 -6、将xxfln)(在点3x处展开为幂级数。13,3,(1)(1)()(3)ln(3)ln3ln(1)ln 3()ln 3(3)333nnnnnnnxtxtttf xf ttxnn=1=1解：令则所以代入得(06)x7、将函数1()21f xx展开为x的幂级数。解：=0=011()222112nnnnnf xxxx