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1、导数题型一：证明不等式不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点,传统证明不等式的方法技巧性强,多数学生不易想到,并且各类不等式的证明没有通性通法.随着新教材中引入导数,这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径,并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出现,但现行教材对这一问题没有展开研究,使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰,方法简捷,操作性强,易被学生掌握。下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思路，并通过构造辅助函数，证明一些不等式。一构造形似函数型例 1求证下列不等式（1）)1(2)1ln(222xxxxxx),0(x（相减）（2）xx2sin)2
2、,0(x（相除两边同除以x 得2sin xx）（3）xxxxtansin)2,0(x（4）已知：)0(x，求证xxxx11ln11；（换元：设xxt1）（5）已知函数()ln(1)f xxx，1x，证明：11ln(1)1xxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 7 页 -巩固练习：1.证明1x时，不等式xx1322.0 x，证明：xex13.0 x时，求证：)1ln(22xxx4.证明:).11(,32)1ln(32xxxxx5.证明:331anxxxt，)2,0(x.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 7 页 -二、需要多次求导例 2.当)
3、1,0(x时,证明:22)1(ln)1(xxx例 3.求证:x0 时,211x2xex例 4.设函数 f(x)ln x2ax2(a1)x(a0，a 为常数)若 a1，证明：当 x1时，f(x)12x221xxx.三、作辅助函数型例 5.已知：a、b 为实数，且 bae,其中 e为自然对数的底，求证：abba.例 6.已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函数 f(x)的最大值；(ii)设 0ab,证明 0g(a)+g(b)-2g(2ba)(b-a)ln2.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 7 页 -巩固练习6、证明(1)0(lnbaaa
4、babbab(2)0,0 ba,证明babababa)2(（3）若2021xx,证明:1212tantanxxxx四、同增与不同增例 7.证明：对任意21ln0,1eexxxxx.例 8.已知函数1()1,()lnxxf xg xxxe证明：21(ln)()1xx f xe.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 7 页 -五、极值点偏移（理科）例 9.已知函数如果且证明例 10.已知函数()(1)exf xxxR，其中e是自然对数的底数.若12xx，且12()()f xf x，求证：124.xx六、放缩法例 11.已知：2nNn且，求证：11211ln13121nnn。
5、例 12.当2n且*Nn时，证明：nnlnln13ln12ln1.例 13.求证：（）()()xf xxexR12,xx12()(),f xf x122xx121715131)1ln(nnn*N名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 7 页 -巩固练习7.证明:对任意的正整数n,不等式3424921ln(1)nnn都成立.8.已知nN且3n，求证:n+11111ln+3345nL L.9.求证：ln 2ln 3ln 4234ln nn1n(n 2，nN*)10.证明：对任意的Nn，有)1(2ln1)1ln(22ln11ln2nnnnnn.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 7 页 -七、综合题型例 13.已知函数()(1)ln1fxxxx.（）证明：(1)()0 xf x.例 14.a为实数，函数()22,xf xexa xR（1）求()f x的单调区间（2）求证：当12lna且0 x时，有221xexax例 15.已知函数21()(2)ln2xfxaxxa（0a且1a）.（1）当ae时，求证:()f x在(0,)上单调递增；（2）当21,1)ae eeU且1,)t时,求证:2(21)2()3ftf te.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 7 页 -