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1、高一数学函数的定义域与值域一、知识归纳：（一）函数的定义域与值域的定义：函数 y=f(x中自变量 x 的取值范围A叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值。函数值的集合 f(x xA叫做函数的值域。（二）求函数的定义域一般有3 类问题：1、已知解析式求使解析式有意义的x 的集合常用依据如下：分式的分母不等于0；偶次根式被开方式大于等于0；对数式的真数大于0，底数大于0 且不等于 1；指数为0 时，底数不等于0 2、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义，其包含两类：已知 fg(x的定义域为x（a,b）求 f(x的定义域，方法是：利用a 求得 g(x 的值域，则 g(x 的值域
2、即是 f(x 的定义域。已知 f(x的定义域为x（a,b）求 fg(x的定义域,方法是：由a 求得x 的范围，即为 fg(x 的定义域。3、实际意义的函数的定义域，其定义域除函数有意义外，还要符合实际问题的要求。（三）确定函数的值域的原则1、当数 y=f(x用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。2、当函数 y=f(x图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合。3、当函数 y=f(x用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。常见函数的值域：函数y=kx+b y=ax2+bx+c y=ax y=logax 值域R a0 a0 R 名师资料总
3、结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 7 页 -4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。（四）求函数值域的方法：1、观察法，2、配方法，3、判别式法，4、反函数法，5、换元法，6、图象法等二、例题讲解：【例 1】求下列函数的定义域（1）（2）(3y=lg(ax-kb x(a,b0且 a,b 1，kR 解析（1）依题有函数的定义域为(2 依题意有函数的定义域为（3）要使函数有意义，则ax-kb x0，即当 k0时，定义域为R 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 7 页 -当 k0 时，（）若ab0,则定义域为 x|(若 0，则，定义域为
4、 x|(若 a=b0，则当 0 时定义域为 R；当k 1 时，定义域为空集评析 把求定义域的问题等价转化为关于x 的不等式（组）的求解问题，其关键是列全限制条件(组。【例 2】设 y=f(x的定义域为 0，2，求（1）f(x 2+x；(2f(|2x-1|；(3f(x+a-f(x-a(a0的定义域分析：根据若 f(x的定义域为 a,b,则 fg(x的定义域为ag(x b的解集，来解相应的不等式（或不等式组）解：（1）由 0 x 2+x2 得定义域为-2,-1 0,1(2 由2x-12，得 -22x-12 所以定义域为（3）由得又因 a 0，若 2-aa，即 0a1 时，定义域为 x|a x2-a
5、 若 2-a a，即 a 1时，x，此时函数不存在变式:已知函数f(x+1的定义域是 0，1，求函数 f(x的定义域。1，2【例 3】求下列函数的值域（1）（2）（3）（分析）（1）可分离常数后再根据定义域求值域，也可反解x 求值域（2）常数后再利用配方法求解，也可采用判别式法（3）可以用换元法或者单调性法解：（1）方法一：分离常数法名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 7 页 -由，得函数的值域为（-，2）（2，+）方法二：反函数法由得，整理得：（y-2）x=3y+1，若 y-2=0，有 3y+1=0，与 y-2=0 矛盾若 y-2 0，有，y 2 函数的值域为y|y
6、 2(2 方法一：配方法而 函数的值域为方法二：判别式法变形得（y-1）x2-(y-1x+y-3=0 当 y=1 时，此方程无解当 y 1 时，x R =（y-1）24(y-1(y-3 0，解得 1 y又y 1，函数的值域为（3）方法一：换元法令，则 t 0 且函数的值域为方法二：单调性法名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 7 页 -函数的定义域在上均是增函数故在上是增函数函数的值域为变式 1：已知函数f(x的的值域是，求的值域。解：,令,则，,函数 y=F(t 在区间上递增函数的值域为变式 2：已知，求的值域【例 4】（1）求的值域。（2）求函数的值域。（分析）（1
7、）分段函数的值域的求法从局部研究，把握局部和整体的关系名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 7 页 -（2）属复合函数y=fg(x的值域问题，先由函数定义域求出u=g(x 的值域，再在此值域上求出y=f(u的值域解：（1）若 x 1，则 x-1 0,03x-11，有-21，则 1-x0,031-x1，有-231-x-21,求 b 的值解：（1）只要 u=ax2+(2a+1x+3 能取到（0，+）上的所有实数，则f(x的值域为R，当 a=0 时 u=x+3 能取到（0，+）上的所有实数。当 a0 时应有解得(2 由题意得，当x(-，2 时，1+2x+a4x0,x(-，2 时，。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 7 页 -在（-，2）上是增函数。最大值是（3）在1，b 上是增函数，f(x 在1，b 上的值域是 1,f(b,由题意知 f(x在1，b 上的值域是 1，b，f(b=b，即解得 b=1(舍去或 b=3 点评：在熟练掌握求函数值域的几种常规方法的基础上要对具体题目做具体分析，应选择最优的方法求函数的值域不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。变式：设的值域为-1，4，求 a,b 的值（a=4，b=3）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 7 页 -