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1、例 1：已知如图1-1：D、E为ABC内两点,求证:ABACBD DE CE.例如：如图2-1：已知 D为ABC内的任一点，求证：BDC BAC。分析：因为BDC 与BAC 不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使BDC 处于在外角的位置，BAC 处于在内角的位置；例如：如图3-1：已知 AD为 ABC的中线，且 12,3 4,求证：BE CFEF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图4-1：AD为 ABC的中
2、线，且 1 2，3 4，求证：BE CFEF ABCDENM11图ABCDEFG21图ABCDEFG12图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 15 页 -注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图5-1：AD为 ABC的中线，求证：AB AC 2AD。练习：已知 ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2，求证 EF2AD。六、截长补短法作辅助线。例如：已知如图6-1：在 ABC 中，A
3、B AC，1 2，P为 AD上任一点。求证：ABAC PB PC。ABCDE14图ABCDEFM1234ABCDEF25图ABCDNMP16图1 2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 15 页 -七、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1：已知 AC BD，ADAC于 A，BC BD于 B，求证：AD BC 八、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图9-1：在 RtABC中，AB AC，BAC 90，1 2，CE BD的延长于E。求证：BD 2CE 十、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知
4、：如图10-1；AC、BD相交于 O点，且 ABDC，AC BD，求证：A D。19图DCBAEF12DCBA110图OABCDE17图O名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 15 页 -十一、取线段中点构造全等三有形。例如：如图11-1：AB DC，A D 求证：ABC DCB。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。
5、例1如图 1-2，AB/CD，BE平分 BCD，CE平分 BCD，点 E在 AD上，求证：BC=AB+CD。例2已知：如图 1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求证 DC AC 分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。图1-2ADBCEF图1-3ABCDE111图DCBAMN名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 15 页 -例3已知：如图 1-4，在 ABC中，C=2 B,AD平分 BAC，求证：AB-AC=CD 试试看可否把短的延长来证明呢？例1 如图 2-1，已知 ABAD,BAC=FAC,CD=BC。
6、求证：ADC+B=180 分析：可由 C向BAD的两边作垂线。近而证 ADC 与B之和为平角。例2 如图 2-2，在 ABC中，A=90，AB=AC，ABD=CBD。求证：BC=AB+AD 分析：过 D作 DE BC于 E，则 AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例3 已知如图 2-3，ABC的角平分线 BM、CN相交于点 P。求证：BAC的平分线也经过点P。分析：连接 AP，证 AP平分 BAC即可，也就是证 P到 AB、AC的距离相等。例1 已知：如图 3-1，BAD=DAC，ABAC,CD AD于 D，H是 BC中点。
7、求证：DH=21（AB-AC）分析：延长 CD交 AB于点 E，则可得全等三角形。问题可证。图1-4ABCDE图2-2ABCDE图2-3PABCMNDF图示 3-1ABCDHE名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 15 页 -例2 已知：如图 3-2，AB=AC，BAC=90，AD为ABC的平分线，CE BE.求证：BD=2CE。分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。例 3已知：如图 3-3 在ABC中，AD、AE分别 BAC的内、外角平分线，过顶点 B作 BFAD，交 AD的延长线于 F，连结 FC并延
8、长交 AE于 M。求证：AM=ME。分析：由 AD、AE是BAC内外角平分线，可得EAAF，从而有 BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。例4 已知：如图 3-4，在ABC中，AD平分 BAC，AD=AB，CM AD交 AD延长线于 M。求证：AM=21（AB+AC）分析：题设中给出了角平分线AD，自然想到以 AD为轴作对称变换，作 ABD关于 AD的对称 AED，然后只需证DM=21EC，另外由求证的结果AM=21（AB+AC），即 2AM=AB+AC，也可尝试作 ACM 关于 CM 的对称 FCM，然后只需证 DF=CF即可。（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角
9、平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1 和图 4-2 所示。图3-2DABEFC图3-3DBEFNACM图3-4nEBADCMF名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 15 页 -图4-2图4-1CABCBAFIEDHG例 4 如图，ABAC,1=2，求证：AB ACBD CD。例 5 如图，BCBA，BD平分 ABC，且 AD=CD，求证：A+C=180。例 6 如图，AB CD，AE、DE分别平分 BAD 各ADE，求证：AD=AB+CD。练习：1.已知，如图
10、，C=2 A，AC=2BC。求证：ABC 是直角三角形。1 2 A C D B B D C A A B E C D 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 15 页 -2已知：如图，AB=2AC，1=2，DA=DB，求证：DC AC 3已知 CE、AD是ABC 的角平分线，B=60，求证：AC=AE+CD 4已知：如图在 ABC 中，A=90，AB=AC，BD是ABC的平分线，求证：BC=AB+AD 例 1如图，AC平分 BAD，CE AB，且 B+D=180，求证：AE=AD+BE。C A B A B C D A E B D C A B D C 1 2 D A E C
11、B 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 15 页 -例 2 如图，在四边形 ABCD 中，AC平分 BAD，CE AB于 E，AD+AB=2AE，求证：ADC+B=180 o例 3 已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108，BD平分ABC。求证：BC=AB+DC。例 4 如图，已知 RtABC中，ACB=90，AD是CAB的平分线，DM AB于 M，且 AM=MB。求证：CD=21DB。1如图，AB CD，AE、DE分别平分 BAD各ADE，求证：AD=AB+CD。2.如图，ABC中，BAC=90，AB=AC，AE 是过 A 的一条直线，且B，C在 AE
12、的异侧，BD AE于 D，CE AE于 E。求证：BD=DE+CE AEBCDD C B A M B D C A E D C B A 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 15 页 -例 1如图 2，ABC中，AD是中线，延长 AD到 E，使 DE=AD，DF是 DCE的中线。已知 ABC的面积为 2，求：CDF的面积。（二）、由中点应想到利用三角形的中位线例 2如图 3，在四边形 ABCD 中，AB=CD，E、F分别是 BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交 EF的延长线 G、H。求证：BGE=CHE。（三）、由中线应想到延长中线例 3图 4，已知 ABC中，AB
13、=5，AC=3，连 BC上的中线 AD=2，求 BC的长。例 4如图 5，已知 AB C中，AD是BAC的平分线，AD又是 BC边上的中线。求证：ABC 是等腰三角形。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 15 页 -。（四）、直角三角形斜边中线的性质例 5如图 6，已知梯形 ABCD 中，AB/DC，AC BC，AD BD，求证：AC=BD。（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线例 6如图 7，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BD平分 ABC交 AC于点 D，CE垂直于 BD，交 BD的延长线于点 E。求证：BD=2CE。例一：如图 4-1：AD
14、为ABC的中线，且 1=2，3=4，求证：BE+CFEF。14图ABCDEFM1234名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 15 页 -例二：如图 5-1：AD为ABC的中线，求证：AB+AC2AD。练习：1 如图，AB=6，AC=8，D为 BC 的中点，求 AD的取值范围。2 如图，AB=CD，E为 BC的中点，BAC=BCA，求证：AD=2AE。3 如图，AB=AC，AD=AE，M为 BE中点，BAC=DAE=90。求证：AM DC。4，已知 ABC，AD是 BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证 EF=2AD。ABC
15、DE15图D M CD ED ABD B A D C 8 6 B E C D A 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 15 页 -DCBAEDFCBA5已知：如图 AD为ABC 的中线，AE=EF，求证：BF=AC 1：（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线 AD的取值范围是 _.2：如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC上，DE DF，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小.3：如图，ABC 中，BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE.EDCBA（二）、截长补短1.如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，
16、且 AD=BD，求证：CD AC ABCDEF25图A B D C E F 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 15 页 -DCBAP21DCBAEDCBAPQCBA2：如图，AC BD，EA,EB分别平分 CAB,DBA，CD过点 E，求证;ABAC+BD 3：如图，已知在ABCV内，060BAC，040C，P，Q 分别在 BC，CA上，并且 AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4：如图，在四边形ABCD中，BC BA,ADCD，BD 平分ABC，求证：0180CA5:如图在 ABC中，AB AC，12，P 为 AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC CDBA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 15 页 -名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 15 页 -