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1、六年级思维训练8 计数综合1、若4个两两不同的自然数的倒数之和为1，则这样的自然数组（次序不同认为是同共有 组，2、 如下图所示，在纸上画有A、B、C三点，经过其中任意两点画一条直线，可以画3条直线，如果在纸上画有5个点，其中任意三个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，可以画_条直线3、在右下图中，以最短的路径从点P到点Q，请问共有 种不同的走法 4、科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”，如下图所示，按图中箭头所示方向有 种不同的方法拼出英文单词“Einstein” 5、在下图中，用水平或者竖直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出“APPLE”的路线共有多
2、少条？ 6、甲队和乙队进行的一场足球赛的最终比分是4：2，已知甲队先进一球，而乙队在比赛过程中始终没有领先过，那么两队的入球次序共有 种不同的可能7、如下图所示，27个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有 条 8、国际象棋中“马”的走法如图a所示，位于O位置的“马”只能走到标有的格中，类似于中国象棋中的“马走日”如果“马”在88的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图b）中标有的位置），要走到第八行第五列（图b）中标有的位置），最短路线有 条9、小思从X市开车到y市，她必须遵照下图箭头所指示的方向行驶：请问小思由X市到y市共有多少种不同的路径？ 10、 A，B两人进行象棋
3、比赛，没有和棋，先比对方多胜三局的一方赢得比赛，如果经过11局比赛A才以7胜4负获胜，那么这11局比赛的胜负排列共有 种（例如：“胜负胜负胜负胜负胜胜胜”是一种胜负排列） 11、 一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列现在他们要变成2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有 种不同排法12、 有7个相同的小球放人4个不同的盒子中，每个盒子中至少放一个球，则共有 种不同的放法A. 15 B18 C20 D2413、 以下图的黑点作为顶点，请问可作出多少个三角形？ 14、正整数2009的数码和为11，请问在201
4、0到2999之间有多少个自然数其数码和为11 ？15、学学和思思一起洗已摞好的5个互不相同的碗，思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放人碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有 种不同的摞法。16、将8颗巧克力糖全部分给三位小朋友，可以有人分不到，请问共有多少种不同的分法？17、彼此不等且大于0的偶数a、b、c、d满足“+b+c+d=20，这样的偶数组（a、b、c、d）共有 组18、西洋有个迷信，如果某月的13日正巧是星期五，则是不吉祥的日子，俗称为“黑色星期五”(BLACK FRIDAY)，例如2009年的3月13日就是一个“黑色星期五”请问一年内至多
5、有几个“黑色星期五”？19、有五位学生的作业本忘记写姓名，老师只好将作业本随机发还给五位学生请问有多少种情况学生全都不是拿到自己的作业本？六年级思维训练8 计数综合参考答案1、若4个两两不同的自然数的倒数之和为1，则这样的自然数组（次序不同认为是同共有 组，【答案】6【分析】 1=12+13+17+142=12+13+18+124 =12+13+19+118=12+13+110+115 =12+14+15+120=12+14+16+1122、 如下图所示，在纸上画有A、B、C三点，经过其中任意两点画一条直线，可以画3条直线，如果在纸上画有5个点，其中任意三个点都不在一条直线上，经过每两点画一条
6、直线，可以画_条直线【答案】10【分析】每个点和其余四个点可以组成一条直线，最后每条直线算了两次，再除以2. 542=103、在右下图中，以最短的路径从点P到点Q，请问共有 种不同的走法【答案】60【分析】如下图利用标数法，即可得到答案 4、科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”，如下图所示，按图中箭头所示方向有 种不同的方法拼出英文单词“Einstein” 【答案】 60 【分析】 由E i n s t e i n的拼法如下图所示 根据加法原理可得共有30+30=60（种）不同拼法 5、在下图中，用水平或者竖直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出“APPLE”的
7、路线共有多少条？ 【答案】31种【分析】标数法，如下图所示6、甲队和乙队进行的一场足球赛的最终比分是4：2，已知甲队先进一球，而乙队在比赛过程中始终没有领先过，那么两队的入球次序共有 种不同的可能【答案】9【分析】由于出现乙队在比赛过程中始终没有领先过，所以可以采用阶梯标数法，如下图所示共有9种 7、如下图所示，27个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有 条 【答案】384【分析】如下图所示，利用标数法可得：最短路线有条384条 8、国际象棋中“马”的走法如图a所示，位于O位置的“马”只能走到标有的格中，类似于中国象棋中的“马走日”如果“马”在88的国际象棋棋盘中位于
8、第一行第二列（图b）中标有的位置），要走到第八行第五列（图b）中标有的位置），最短路线有 条【答案】12 【分析】如下图所示，采用标数法，可知共有12条最短路线 9、小思从X市开车到y市，她必须遵照下图箭头所指示的方向行驶：请问小思由X市到y市共有多少种不同的路径？ 【答案】10【分析】方法一：使用标数法如下图所示，到X、L、M、N只有一种可能都标1，之后P可以从L到达标1，Q可以从L、M、N到达标3，O可以从X、N到达标1+1=2，以此类推：R标1+2=3，S标1+3+2=6，y标1+6+3 =10，所以从X市到y市共有10种不同的路径 方法二：共10种不同路径，如下图所示 10、 A，B两
9、人进行象棋比赛，没有和棋，先比对方多胜三局的一方赢得比赛，如果经过11局比赛A才以7胜4负获胜，那么这11局比赛的胜负排列共有 种（例如：“胜负胜负胜负胜负胜胜胜”是一种胜负排列）【答案】81【分析】 如下图所示，利用标数法，横向走一格表示A多胜了一局，纵向走一格表示A多负了一局，数字表示排列种数到达右上角A就以7胜4负获胜如图中a点表示A胜3场负0场，比赛就结束了，所以a点无法到达，而图中6点，由于A负了l场，表示A是3胜l负，就可以到达图中c点表示A是0胜3负，无法到达，而d点是1胜3负，就可以到达最后共有81种排法 11、 一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列现
10、在他们要变成2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有 种不同排法【答案】14【分析】如图8人排队相当于把8个人填入上边2列方格中，当A的位置确定时，第二列最多可以确定一个位置D，当确定A、B两个位置时，第二列最多可以确定C、D两个位置，因此第二列确定的位置个数永远不会多于第一列确定的位置个数，因此我们用横线代表第一列确定的位置，用竖线代表第二列确定的位置， 画图如下： 因此2列纵队有共有14种排法12、有7个相同的小球放人4个不同的盒子中，每个盒子中至少放一个球，则共有 种不同的放法A. 15 B18 C20 D24【答案】C【分
11、析】插板法，C63=20.13、 以下图的黑点作为顶点，请问可作出多少个三角形？ 【答案】81【分析】 排除法，图中共有10个点，我们先随意选三个点，共有C103=120，然后排除三点在一条直线的：C73C43 =39，因此共有120 - 39 =81（个） 14、正整数2009的数码和为11，请问在2010到2999之间有多少个自然数其数码和为11 ？【答案】54【分析】方法一：可知千位数必为2，故考虑百位数、十位数与个位数之和为9的数 (1)当百位数为9时，仅2900满足； (2)当百位数为8时，2810、2801满足； (3)当百位数为7时，2720、2702、2711满足； (4)当百
12、位数为6时，2630、2603、2621、2612满足； (5)当百位数为5时，2540、2504、2531、2513、2522满足 (6)当百位数为4时，2450、2405、2441、2414、2432、2423满足； (7)当百位数为3时2360、2306、2351、2315、2342、2324、2333满足； (8)当百位数为2时，2270、2207、2261、2216. 2252、2225、2243、2234满足； (9)当百位数为1时，2180、2108、2171、2117、2162、2126、2153、2135、2144满足； (10)当百位数为O时，2090、2081、2018、
13、2072、2027、2063、2036、2054、2045满足 因此共有1+2+3+4+5+6+7+8+9+9=54（个） 方法二：可知千位数必为2，故考虑百位数、十位数与个位数之和为9的数，即将九个1分为大于等于O的三部分，此亦即将十二个1分为大于0的三部分，即从十二个l中间的11个间隔中取二个切开，故有C21,一11102-55（种）分法，但是2009要排除在外，因此共有54个15、学学和思思一起洗已摞好的5个互不相同的碗，思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放人碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有 种不同的摞法。【答案】42【分析】 方法一：用
14、枚举法如下所示，共有42种不同的摞法： 5-4-3-2-1,4 -5 -3 -2 -1,3-5 -4 -2 -1,5 -3 -4 -2 -1,3-4 - 5- 2-1,5-4-2-3-1,4 -5 -2 -3 -1,2 -5 -4 -3 -1,5 -2 -4 -3 -1,2-4 -5 - 3-1,5-2-3-4-1,2 -5 -3 -4 -1,2-3 -5 -4 -1,2 -3 -4 -5 -1,5-4 -3 -1-2, 4-5-3-1-2,5 -3 -4 -1-2,3-5 -4 -1-2,3 -4 - 5-1-2,5-4 -1-3-2. 4-5-1-3 - 2,1-5 -4 -3 - 2,5
15、 -1- 4-3 -2,1-4-5-3-2,5 -1- 3-4 -2, 1- 5-3-4-2,1-3 -5 -4 - 2,1-3-4 -5-2,5 -4 -1-2 -3,4 -5 -1-2-3, 1- 5-4-2-3,5 -1-4-2-3,1-4 - 5-2 -3,1- 2-5 -4 - 3,5 -1-2 -4 -3, 1- 5-2-4-3,1- 2-4 -5 -3,1-2 -3-5- 4,1-2 -5 -3- 4,1- 5-2-3-4,5-1-2-3-4,1-2-3-4-5. 方法二：用标数法我们把学学洗5个碗的过程看成从起点向右走5步（即洗几个碗就代表向右走几步），思思摞5个碗的过程看成是
16、向上走5步（即摞几个碗就代表向上走几步），摞好碗的摞法，就代表向右、向上走5步到达终点最短路线的方法由于洗的碗不能少于摞的碗，所以向右走的路线不能少于向上走的路线，所以我们用右边的阶梯标数法进行标数，共有42种走法，即代表42种摞法16、将8颗巧克力糖全部分给三位小朋友，可以有人分不到，请问共有多少种不同的分法？【答案】45【分析】插板法进阶，补上3颗巧克力，即转化为每人至少分一颗的分法，C8312=4517、彼此不等且大于0的偶数a、b、c、d满足“+b+c+d=20，这样的偶数组（a、b、c、d）共有 组【答案】24【分析】20= 2+4+6+8，即20只能拆为2，4，6，8这四个符合条件
17、的偶数，顺序不同是不同偶数组，故有A44=24.18、西洋有个迷信，如果某月的13日正巧是星期五，则是不吉祥的日子，俗称为“黑色星期五”(BLACK FRIDAY)，例如2009年的3月13日就是一个“黑色星期五”请问一年内至多有几个“黑色星期五”？【答案】3个【分析】若该年不是闰年，则1到12月每月的天数依序为31、28、3l、30、31、30、31、31、30、31、30、31天，因一星期有七天，所以1到12月每月的天数除以7后所得余数依序为3、O、3、2、3、2、3、3、2、3、2、3，因此若1月13日是星期K（星期日视为星期O，K为06的正整数），则该年1月到12月的13日依序为垦期K
18、、K+3、K+3、K+6、K+l、K+4、K+6、K+2、K+5、K、K+3、K+5（以上之值若超过7，则化简为除以7后之余数），其中K+3 m现三次是最多的，故这一年黑色星期五最多有三天，发生在K=2时；若该年是闰年，则1到12月每月的天数依序为31、29、31、30、31、30、31、31、30、31、30、31天，因一星期有七天，所以1到12月每月的天数除以7后所得余数依序为3、1、3、2、3、2、3、3、2、3、2、3，因此若1月13日是星期K（星期日视为星期O，K为06的正整数），则该年1月到12月的13日依序为星期K、K+3、K+4、K、K+2、K+5、K、K+3、K+6、K+l、
19、K+4、K+6（以上之值若超过7，则化简为除以7后之余数），其中K出现三次是最多的，故这一年黑色星期五最多有三天，发生在K=5时，因此无论是否闰年一年内最多有3个黑色星期五19、有五位学生的作业本忘记写姓名，老师只好将作业本随机发还给五位学生请问有多少种情况学生全都不是拿到自己的作业本？【答案】44【分析】令这五位学生为A、B、C、D、E，作业本为a、6、c、d、e 可知将作业本分给五位学生的全部情况共有54321=120（种） (1)五位学生中全取到自己的作业本恰有1种情况； (2)五位学生中恰四位取到自己的作业本不可能发生； (3)五位学生中恰三位取到自己的作业本书时，即另二位学生取错作业
20、本时，因二位学生取错必是互相拿错这一种情况，故有C52=542=10（种）情况； (4)五位学生中恰两位取到自己的作业时，即另三位学生都取错作业时假设A、B 取到自己的作业本、而C、D、E三人都取错，则有以下2种情况： 因两位学生取到自己的作业本有C52=542=10（种）情况，而由上面的例子可知另三位学生都取错时有2种情况，故共有102=20（种）情况； (5)五位学生中仅一位取到自己的作业本时，即另四位学生都取错作业本时假设A取到自己的作业本，而B、C、D、E四人都取错，则有以下9种情况： 因仅一位取到自己的作业本有5种可能，而由上面的例子可知另四位学生都取错时有9种情况，故共有59=45（种）情况；所以五位学生全取错作业本的情况有120-1-10-20-45=44（种） 17