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1、概率论与数理统计知识点一、选择题1、设A, 5是随机事件，尸() = 0.7 , P(AB) = 0.2 ,那么 P(A-B)= ( A ) o超越高度整理A、0 1B、02C、03D、042、设随机变量X的概率密度为了，那么/一定满足 (C ) oA、o/(x) 1B、P(X)=f(t)dtJ-00C j+ f(x)dx = 1D、/(+oo) = 13、设随机变量x服从参数为3的泊松分布，丫3(8)，且X, y相互独立，那么。(X-3F-4)= ( C ) OA、0.78B、4.78C、19D、23A、7B、8C、9D、io34、随机变量x的概率密度人，令y = -2X,那么y 的概率密度
2、万(y)为(D ) oA、2/x(-2y)B、A(-y)c、L)D、(-夕 乙乙35、设总体xn(23),%2,为来自总体X的样本，嚏为样本均值，那么以下统计量中服从标准正态分布的是(C ) Ox-2、91536、设%,毛，%为来自总体x的样本,且e（x）= ，记41=；。1+） 2=1区+工3）, 3=：（&+工4） 4=:（玉 +%）, 贝 I的无偏估计是（A ） oA、A、AiB、2c、D、37、4将两封信随机地投入四个邮筒中，那么未向前面两个邮筒投信的概率为（A ）。A、22B、C、2!D、2!4!38、设 X N(l,4), 且 0(0.3) = 0.6179 , 0(0.5) =
3、0.6915 , 那么尸(0X1.6)= ( A ) oA、0 3094B、0 1457C、0 3541D、0 254339、如果函数小）=户晨:称是某连续随机变量X的概 0, 其他率密度，那么区间出泊可以是（C ）。A. 0,1B、 0 2C、o,V2D、1,240、设随机变量X有密度/（%） =，/。葭 那么使概率尸（乂4）=尸（乂4）的常数”（A ） OA J_、?2B、V2C -L蚯D、TV2二、填空题1、假设患者从某种心脏外科手术中康复的概率是08,现有3位患者施行这种手术，其中恰恰有2人康复的概率是（0.384 ） o2、设随机变量X服从参数为2（20）的泊松分布，且P（X=O）
4、= 尸（X=2）,那么参数2= （ 2 ） O3、设二维随机变量(x,y)的概率密度为 那么常数旌(2 )。|o, 其他4、设随机变量XN(2,4),且P(XC),那么常数C 二(2 ) o5、 E(X) = -1, Q(X) = 3,那么石(3X2-2)= ( 10 ) O6、设随机变量X服从参数为2的指数分布，那么E(/x)=(0.5 ) o7、设总体XN(0,4),且再，工为来自总体X的简单随机 样本，假设cal+后+后)/,那么常数。=(0.25 ) o8、由来自正态总体xN(,0.09)、容量为16的简单随机 样本，得样本均值为2 88,贝。的置信度0 95的置信区间 是(2.733
5、, 3.027)。(其中=16, 005 =1.645)9 、 P(A) = 03 P(B) = 0.4, P(AB) = 0.2 , 那么 P(B | A)=10、掷两颗骰子，两颗骰子的点数之和为6,那么其 中有一颗为1点的概率为()。11、 设 D(X) = 4 , D(Y) = 9 , R(X,Y) = 0.5 ,贝 D(X-Y) =(7 ) o x B(io,o.6),yp(o.6), R(x,y)=, 那么 cov(x,y)=(0.3 ) o13、随机变量 X N(20,22),假设 P(X0,Y0= ,571品# P(7800 X ( 0.96 ) o21、设x和y为两个随机变量，
6、PX0) = P(r0 = y ,贝IPmax(X,y)0=(22、x的概率密度函数为了23、设总体X服从N（4，cr2）, X, X2,，X是它的一个简 单随机样本，那么统计量9乎服从（）分布。24、设尸（A） = 0.7 ,尸（3） = 0.5 ,那么 P（AB）的最大值为（0.5） o25、事件A在4次独立实验中至少成功一次的概率为瑞，那么事件A在一次实验中成功的概率为（工）。26、设随机变量x有密度尤）=/，。a） = P（X1 = 1 , 那么 PK1 = (2)。2735、某射手射击的命中率为0.6,在4次射击中有且仅 有3次命中的概率是(0.3456 ) o36、设随机变量x服从
7、参数为1的泊松分布，那么 P(X21)= ( l-e-l ) o37、二维随机变量(x,y)服从区域G ： owl, 0y2上的均匀分布，贝( - )o2438、设二维随机变量(x,y)的分布律为00.3 0.1 0.2100.1 0.3那么尸(x = y)= ( 0.4 ) o39、设随机变量XU(-1,3),那么。(2X-3)= ( ) o40、设xn(o,i), y = 4x + i ,那么随机变量y(N(l,16) ) o三、计算题1、甲、乙两人从装有6个白球4个黑球的盒子中取 球，甲先从中任取一个球，不放回，而后乙再从盒中任取 两个球，求(1)甲取到黑球的概率；(2)乙取到的都是 黑
8、球的概率。解：(1)设A表示甲取到黑球，那么p(a)= 2(2)设3表示乙取到的都是黑球,那么3 = AB + M 2 C2 3 C2P(B) = P(A)P(B | A) + P(A)P(B+D Czq J2152、设x的密度函数为人(%)=?求y=x?+i 0 其他的密度函数。解：Fy(y) = P(X2y-l)01= J,Ixdxy2所以，/y() =y2其他3、设连续型随机变量x的分布函数为0,0,F(x)= Ar2,Ax.x0, 0%19 1 K x 2.试求(1)系数a； (2) x的密度函数；(3) p(0x|)解：(1)由于F(x)在 = 2处连续，得：A =；x, 0%19X
9、的概率密度函数为/(x) = F(x) = J,0,其他.(2) P0x0其它（1）求X的概率密度/；（2）求P（|X|1）；（3）求E(e-x) o解：, (xe-x x0=o其它 V.(2) P(X 1) = P(X1) =1-/=21(3) Ee-x)=/xe-2xdx =-6、设随机变量xN（o,i）,求y=2x?+i的概率密度。 解：随机变量x的概率密度为-f(x = -7= e 2(- oo x +ooy-12设随机变量y的分布函数为4（力，那么有Fy = PY y = PX2 + 1 P X2 当 y时，4(y) = 0-x-xl 时，FY(y) = P) = ) = 10,7、
10、将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次 数，丫表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对 值，求：（1）（x, y）的联合概率分布；（2）pyxo解：由题意知，X的可能取值为：0, 1, 2, 3 Y的可 能取值为：1, 3 E、3且 px=o,y = 3=-=-px = i,y = i=c；- L4、设随机变量x的方差D(X)存在，且。(x)o,令Y = -2X ,贝九 夕xy = ( A ) oA、-iB、oC、iD、-25、设x，%2,%”是来自总体XN(/z,cr2)的一个简单随机样 本，是样本均值，/是样本方差，那么有(D )。A、Ex -52) = /LT (7B、Ex
11、+52) = JLT + (J2C、E(x-s2) = n +(y2D、E(x+s2) =6、设和%2,%3是来自总体xN3 b2)的一个样本，要使ju = x+ax2+x3是未知参数的无偏估计，那么常数” 36CA,B.C)z 1-6 1-3 1-2D、18、事件A与3互不相容，且p(a)o,p(8)o,那么以下关 系成立的是(B )。A、A5相互独立(丫门、3px = = i=g - j(1的联合分布为pX=3,y = 3=-于是，(1) (X, Y)YX130081380238030j_8(2)py x=px=q,y = i+ px = 0,y = 3+ px = tY = 3+ px
12、= 2,y = 3 =o+-+o+o=-888、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球和两个黑球。由甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。假设发现从乙袋中取出的是白球，请问从甲袋中取出放入乙袋的球，黑白哪种颜色可能性大?解：（1）设2 = 从乙袋中取出的球为白球, 4=从甲 袋中放入乙袋的是白球, 4 = 从甲袋中放入乙袋的是黑 球,尸（8）= p（A）p（即 4）+p（4）p（b|4）2 1115=xF X=3 2 3 4 12(2)(2)P(4 | B)=p(aP(B)p（A）p（3|4）P(& IB)二P(B)P) P(4).P(8I4)
13、、应用题1、设二维随机变量（x,y）的概率分布为YX101-1 0a0.10b0.20.2100.1C其中a,b,c为常数，且X的数学期望EX = -0.2 , Py0|X0 = 0.5 ,记2 = * + 丫，求（I ） a,6,C 的值；（H） Z 的 概率分布；（HI） PiX=Zo解： （I ）由概率分布的性质知a + 0.2 + 0.1 + /? + 0.2 + 0.1 + c = l ,SP a + b + c-0A EX = -a + 0.2) + (c + 0.1) = -0.2 , a-c = QA 又因o.5 = proixo =px vo,yo/+b+o.iPX00 x
14、00 y 01I(2) P(X + K + 10-8 + 20 + 久 2x 1=% =。=0+2-x(2)乙(6)=立(6 + 1)4=3 + 1)力wz=l/=1两边取对数：In /=几 ln(9 +1) +ln(N)Z=1din LQ) do -n0 + + ln(xz)=Oi=Elnx/Z=14、设二维连续型随机变量(x,y)的联合概率密度为:x 1, y 1其他+ xy/(x,y) = 40(1)求随机变量x和y的边缘概率密度，并讨论x和y是否独立；(2)求ex,ey； (3)求p(x + yi)。解：(1)当国1时，一(%)=%，丫)力=宁力=-那么以(%)=3 W1 0,其他X.
15、同理瓜W1 o,其他由于/（x,y）w/x（x）/y（y），所以x和y不独立。(2) EX dx = O-2同理：EY = yfY(y)dy = 0J8(3 ) P(X + K 1)= jj fx. y)dxdyx+ye/（羽。）=60,o ,x 6,i = l,2n ,取对数得 In Lg） S （xz - 0）,i=求导得鬻=2心0, 所以L（e）单调递增，而8)%0, y 00x0或y 0, y 0,2x + 3yQ,yQ|o其它(3) P(X, K) g 7?) = JJ f(x, y)dxdyR= djcX6e-(2x+3y)dy = 7/6 +1 = 0.983 7、设二维随机变量
16、（x,y）的联合密度函数为f(x, y)= f(x, y)= x2y x2 y 140 其它求：（1） （x）,E（y）及e（xy）；（2） x与y的边缘密度函数；（3） x与y是否相互独立？解： （X）=门/（覆 y）dxdy = f 小3 ydy = 0（y）=n（y）=n+8-oow(%, y)dxdy = ?+8(2)/(x,y)dy =J00p+8 p+8e(xy)= IJ - 8 J-00H 21 2 j 21 2 zi 4、1| , x ydy x (1 x ) 1 x 1ix 480其它r77 21 27 -、 严 、/厂一x ydx = -y2 0 y 1fy(y)= I f
17、(x,y)dx = j- 42.J-000其它(3)由于/(距历乜。)人(y)，那么x与y不相互独立。8、设总体X服从泊松分布。(私40为未知参数，如果 取得样本观测值为22,3，求参数4的矩估计值和4的最 大似然估计值。解：(1)矩估计法，.EX=/l,令4 =H /=1参数2的矩估计值为=五(2)最大似然估计，由于p(x = x)=夕 X!似然函数为40=立二/=! Xfn立)i=/. lnL(2)= 工七 In 2 -ln(xz!)- nA/=i7/=i7人 dlnL(2)i=k-n 0那么最大似然估计为：2 =9、 服从柯西分布的随机变量X的分布函数是 F(x)=A+B arctanx
18、 ,求(1 )系数 A, B; (2) X 落在区间(-1,1) 内的概率；(3) X的概率密度。解：由 F(-oo)=0,得 A+Barctg(-8)= a-b = o 再由 F(+oo)=l?得 A + Barctg(+oo) = A + B = 1综和(1),(2)两式解得4 = 3 =, 271F(x) =arctg= 71arctg= 71P(| X 1) = P(-l 4 1) = F(l)- F(-l) = -arctg7171714- = 0.5 2/*3=J占10、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为/(羽 y)=白肛，0x2,0 y ,+8 r+8EX = xfx (x)d
19、x = xf(x,y)dxdy J-00J-00 J-00Jo Jo 16,7(2 ) EX2 = x2 怖 xydxdy = 33:.DX = EX2-(EX)2= 49(3 ) EXY = xy xydxdy =11、二维随机变量(X, Y)的概率密度为于(X, y)=Ae-a+2y),0,x 0, y 0其他求：(1)系数A； (2) X, Y的边缘密度函数；(3)问X, Y是否独立？解：(1)由 1 =y)dxdy =Aex+2y) dxdy所以A = 2 (2) X的边缘密度函数：p +00/x(x)= J /(x,y)dyJ -coex x0=o,其他Y的边缘密度函数：p +oof
20、Y(y)= /(y)dx =J -002e-2y yQ0, 其他(3)因/(%,y)= (劝加y)，所以X, Y是独立的 12、设总体x的密度函数为：“、(a + l)xa 0 x 1/10 其他设K，士是X的样本，求。的矩估计量和极大似然估计。解：矩估计为：1E(X) = x-(a + l)xadx = o样本的一阶原点矩为：又n i=所以有：1 =又=4 =在口 4 + 21 X极大似然估计:八七,马,）=n （。+1）元 =（。+1）”/=i/=i两边取对数:In /（X1,x） = ln（ +1） +i=l两边对求偏导数：誓=2+皿巧产0da a + 1 T7所以有：八T - J方g）
21、i=13、设随机变量X, Y相互独立，且概率密度分别为/x(x) = 00, y 0（1）求（X, Y）的联合概率密度；（2）求概率P（X y）o 解：（1） /（x,y） = /x（x）/r（y）= /x(x)/(y)= 2 o= /x(x)/(y)= 2 oQxQ其他(2) P(XY) = dxe-ydyr2 J+00p 2 1= 一(一一) dx- exdxJ。2 xJ。214、假设二维随机变量(x,y)在矩形G = (%,y) 10 x 2,0 W y W1上服从均匀分布,记0X Y0X 2/U - 9 V = Y1X2y求（1） u和v的联合分布；（2）。和v的相关系数。B、 A,
22、g不相互独立C、AB互为对立事件D、AB不互为对立事件9、设耳(%)是x,的分布函数，i = i,2 ,为使尸(%)=叫(%)-此(%) 是分布函数，那么以下给定的各组值中应取(A )。10、某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标 的概率为p(0pD,那么此人第4次射击恰好第2次命中目标 的概率为(C )。A、3P(IB、6p(l-p)2C、3P2(1- p)2D、6/(1)211、将一枚硬币重复掷次，以X和丫分别表示正面向 上和反面向上的次数，那么x与丫的相关系数等于(A ) oA、-1B、0C、1/2解：（1） U和V的联合分布uV0101/4011/4V2(2) (/) = -co
23、v(U,V)=,8cov(U,V)=,89391石俨:D(U) =316r(u,v)T15、设总体X的密度函数为/（%/）= a0, x1), y =，贝I ( C ) o XA、丫/B、x - Z2(n)-1C、Y F(,l)D、y-F(i,n)15、设A、B为两随机事件，且5uA,那么以下式子正确 的是(B )。A、尸(A3) =尸(A)B、P(AUB) = P(A)C、P(B | A) = P(B)D、P(B - A) = P(B) - P(A)16、设A, 3为任意的两事件，那么以下各选项中错误的选 项是(D )oA、假设ab = m那么印了可能不相容B、假设A31,那么瓦豆也可能相容
24、C、假设AB = ,那么一5也可能相容D、假设布那么及B一定不相容17、设 X p(/l),且a(X1)(X2) = 1 , 那么 4= ( A ) oA、1B、2C、3D、018、在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从 中任取2件，那么以07为概率的事件是(D )0A、都不是一等品B、恰有1件一等品C、至少有1件一等品D、至多有1件一等品19、设随机变量x服从正态分布n3 b2),那么随的增大，概率p(|x-是(C ) oA、单调增大B、单调减少C、保持不变D、增减不定20、设随机变量x和丫服从二维正态分布，且x与丫不 相关，fx(x),人分别表示X、y的概率密度，那么在y = y的 条
25、件下，X的条件概率密度人“3月=(A ) oA、A(x)B、fY(y)C、/x(X)/y(y)n /%(%)、人(y)21、一盒产品中有4只正品，力只次品，有放回地任取 两次，第二次取到正品的概率为(C )CI 1a + b 1a(a 1)(a + b)(a + /7 1) a a + baa + b y设X的分布函数为网x),那么y = 3X+l的分布函数G(y) )OnF yA、B、C、D、22、为(AA、3)B、F(3y +1)C、3/(y) + lD、23、设A、B均为概率非零的事件，且AuB,那么成立P(Au3) = P(A) + P(3)P(AB) = P(A)P(B)D、P(A-
26、B) = P(A)-P(B)24、设两个相互独立的随机变量x与y分别服从正态分布 N(O,1)和 N(l,l),那么(B ) oB、p(x + ri)=-C、p(x-yo)=-D、p(x-y N(ajj + b, 6Z2(t2)D、N(a/a-b, a2cr2).31、事件a, b, AU3的概率分别为05, 04, 06,那么 p(a7)=(B ) oA、0 1B、02C、03D、05A、32、以下各函数是随机变量x的分布函数的是F(x)=二，-oo x +oo 1 + XB、F(x) = ex , -oo x +ooC、F(x) = + -L arctan x, -oox+oo4 20, x 0,D、33、设随机变量x与y相互独立，且x3(36)， 6y8(92)，贝1Jo(x-y+i)= ( A ) o