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1、2018-2019学年四川省内江市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共分）1. 在空间直角坐标系中，点A（1，-1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（）A. (1,1,1)B. (1,1,1)C. (1,1,1)D. (1,1，1)2. 某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（）A. 45B. 54C. 90D. 1263. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，30，样本数据分组为，20），20，），
2、25），25，），30根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于小时的人数是（）A. 56B. 60C. 120D. 1404. 图为某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. 32B. 16+162C. 48D. 16+3225. 如图的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成的角是（）A. 30B. 45C. 60D. 906. 已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题：若ab，bc则ac；若ab，bc则ac；若a，b，则ab；若a与b异面，且a则b与相交；其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 直线x-2y+1=0关于直线x=1对称
3、的直线方程是（）A. x+2y1=0B. 2x+y1=0C. 2x+y3=0D. x+2y3=08. 已知直线l1：x-2y-1=0，直线l2：ax-by+1=0，其中a，b1，2，3，4，5，6，则直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为（）A. 16B. 14C. 13D. 129. 若变量x，y满足x+y63x5y14x2，则x2+y2的最大值是（）A. 18B. 20C. 612D. 1642510. 与圆O1；x2+y2+4x-4y+7=0，圆O2：x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直线条数是（）A. 3B. 1C. 2D. 411. 如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、
4、F分别是AB、BC的中点，将ADE，EBF，FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A，若四面体AEFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. 8B. 6C. 11D. 512. 已知圆O：x2+y2=1，直线l：y=ax+2，在直线l上存在点M，过点M作圆O的两条切线，切点为A、B，且四边形OAMB为正方形，则实数a的取值范围是（）A. 1,1B. (,11,+)C. 12,12D. (,1212,+)二、填空题（本大题共4小题，共分）13. 如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为
5、，则x，y的值分别为_，_14. 执行如图所示的程序框图若输人x的值为3，则输出y的值为_15. 在平面直角坐标系xOy中，以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（aR）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_16. 正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）S-ABCD的底面边长为4，高为4，点E、F、G分别为SD，CD，BC的中点，动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG平面AEF，则动点P的轨迹的周长为_三、解答题（本大题共6小题，共分）17. （1）求经过直线3x+4y-2=0与直线x-y+4=0的交点P，且垂直于直线x-2y-1=0的直线方程；（2）求
6、过点P（-1，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程18. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知ACBC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1CBC1=E求证：（1）DE平面AA1C1C；（2）BC1平面AB1C19. 已知一圆经过点A（3，1），B（-1，3），且它的圆心在直线3x-y-2=0上（1）求此圆的方程；（2）若点D为所求圆上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程20. 某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2012201320142015201620172018年份代号t1234567人均纯收入（1）求y
7、关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入附：参考公式：b=i=1n(tit)(yiy)i=1n(tit)2，a=ybty=bx+a21. 如图：高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=1，AB=3，现将AMD沿MD折起，使平面AMD平面MBCD，连接AB、AC（1）在AB边上是否存在点P，使AD平面MPC？（2）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离22. 已知圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx-2（1）若直线l与圆O相切，求k的值；（2）若直线l与圆O交于不同
8、的两点A，B，当AOB为锐角时，求k的取值范围；（3）若k=12，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点答案和解析1.【答案】B【解析】解：空间坐标关于原点对称，则所有坐标都为原坐标的相反数， 即点A（1，-1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（-1，-1，-1）， 故选：B根据空间坐标的对称性进行求解即可本题主要考查空间坐标对称的计算，结合空间坐标的对称性是解决本题的关键比较基础2.【答案】C【解析】解：A种型号产品所占的比例为=，18，故样本容量n=90故选：C由分层抽样的特点，用A种型号产品的样本数除以A种型号产品所占的比例，即得样本的
9、容量n本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题3.【答案】D【解析】解：自习时间不少于小时的频率为：（）， 故自习时间不少于小时的频数为：0.7200=140， 故选：D根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于小时的频率，进而可得自习时间不少于小时的频数本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目4.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为4，高为2的正四棱锥，所以该四棱锥的斜高为=2；所以该四棱锥的侧面积为442=16，底面积为44=16，所以几何体的表面积为16+16故选：B根据几何体的三视图，得出该
10、几何体是正四棱锥，结合图中数据，即可求出它的表面积本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目5.【答案】C【解析】解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1DB1C， 则BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角， 连接BD，易得： BD=A1D=A1B 故BA1D=60 故选：C连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出BA1D即为异面直线A1B与B1C
11、所成的角，是解答本题的关键6.【答案】A【解析】解：利用正方体的棱的位置关系可得：a与c可以平行、相交或为异面直线，故不正确； 若ab，bc，利用“等角定理”可得ac，故正确； 若a，b，则a与平面内的直线可以平行或为异面直线，不正确； a与b异面，且a，则b与相交，平行或b，故不正确 综上可知：只有正确 故选：A利用正方体的棱的位置关系即可得出； 若ab，bc，利用“等角定理”可得ac； 若a，b，利用线面平行的性质可得：a与平面内的直线可以平行或为异面直线； 由a与b异面，且a，则b与相交，平行或b，即可判断出熟练掌握空间空间中线线、线面的位置关系是解题的关键7.【答案】D【解析】解：解法
12、一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x=1对称点为（2-x，y） 在直线x-2y+1=0上，2-x-2y+1=0化简得x+2y-3=0故选答案D 解法二：根据直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D， 再根据两直线交点在直线x=1选答案D 故选：D设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法本题还有点斜式、两点式等方法8.【答案】A【解析】解：设事件A为“直线l1与l2的交点位于第一象限”，由于直线l1与l2有交点，则b2a联立方
13、程组解得x=，y=，直线l1与l2的交点位于第一象限，则x=0，y=0，解得b2aa，b1，2，3，4，5，6的总事件数为36种满足条件的实数对（a，b）有（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）共六种P（A）=即直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为故选：A本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，满足条件的事件是两条直线的交点在第一象限，写出两条直线的交点坐标，根据在第一象限写出不等式组，解出结果，根据a，b之间的关系写出满足条件的事件数，得到结果本题考查等可能事件的概率，考查两条直线的交点在第一象限的特点，本题是一个综合题，在解题时注意解析几
14、何知识点的应用9.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图象知，C点到原点的距离最大，由得，即C（，），此时x2+y2=，故选：C作出不等式组对应的平面区域，利用z=x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，利用数形结合进行求解即可本题主要考查线性规划的应用，利用两点间距离的几何意义，以及数形结合是解决本题的关键10.【答案】A【解析】解：圆的圆心坐标为（-2，2），半径为1，圆的圆心坐标为（2，5），半径为4，两个圆心之间的距离d=5，等于半径和，故两圆外切，故公切线共有3条，故选：A根据已知中圆的方
15、程，求出圆心坐标和半径，判断出两圆外切，可得答案本题考查的知识点是圆的位置关系，圆的一般方程，难度中档11.【答案】B【解析】解：由题意可知AEF是等腰直角三角形，且AD平面AEF三棱锥的底面AEF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：=球的半径为，球的表面积为=6故选：B把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力12.【答案】B【解析】解：根据题意，圆O：x2+
16、y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，若过点M作圆O的两条切线，切点为A、B，且四边形OAMB为正方形，则|OM|=，则M的轨迹为以O为圆心，为半径为圆，其方程为x2+y2=2，若在直线l上存在点M，则直线l与圆x2+y2=2有交点，则有d=，解可得：a-1或a1，即a的取值范围为（-，-11，+）；故选：B根据题意，由正方形的性质可得|OM|=，分析可得M的轨迹为以O为圆心，为半径为圆，其方程为x2+y2=2，进而可得若在直线l上存在点M，则直线l与圆x2+y2=2有交点，则有d=，解可得a的取值范围，即可得答案本题考查直线与圆的位置关系，涉及与圆有关的轨迹问题，关键是分析M的轨迹，属于
17、基础题13.【答案】5 8【解析】解：根据茎叶图中的数据，得：甲组数据的中位数为15，x=5；又乙组数据的平均数为，解得：y=8；综上，x、y的值分别为5、8故答案为：58根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题14.【答案】63【解析】解：模拟程序的运行，可得 x=3 y=7 不满足条件|x-y|31，执行循环体，x=7，y=15 不满足条件|x-y|31，执行循环体，x=15，y=31 不满足条件|x-y|31，执行循环体，x=31，y=63 此时，满足条件|x-y|31，退出循环，输出y的值为63 故答案为：6
18、3由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题15.【答案】（x-2）2+y2=8【解析】解：根据题意，直线ax-y-4a-2=0，即y+2=a（x-4），恒过定点（4，-2），设P为（4，-2） 设要求圆的半径为r，其圆心C的坐标为（2，0）， 分析可得：以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（aR）相切的所有圆中，半径最大为CP， 此时r2=|CP|2=（4-2）2+（-2-0）2=8， 则要求圆的方程
19、为（x-2）2+y2=8， 故答案为：（x-2）2+y2=8根据题意，将直线的方程变形，分析可得其恒过点（4，-2），结合直线与圆的位置关系可得以点（2，0）为圆心，且与直线ax-y-4a-2=0（aR）相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为CP，求出圆的半径，结合圆的标准方程分析可得答案本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线过定点问题，注意分析直线所过的定点，属于基础题16.【答案】25+6【解析】解：取SB，AB中点H，P，连接HG，PC，取PB中点Q，连接HQ，GQ，因为E、F分别为SD，CD中点，所以EFSC，SCHG，所以HGEF，HG不在面AEF内，所以HG面AEF因为QG是中位线所以
20、QGPC，PCAF，所以QGAF，因为QG不在面AEF 内，所以QG面AEF，因为HGQG=G，所以面HQG面AEF动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG平面AEF，则动点P的轨迹的周长为HQG的周长正四棱锥S-ABCD的底面边长为4，高为4，所以QG=，HG=，SP=2，HQ=，所以动点P的轨迹的周长为2+过G做一个平面与面AEF平行，且与正四棱锥的表面相交，交线之和即为动点P的轨迹的周长本题考查面面平行的位置关系，属于中档题17.【答案】解：（1）联立xy+4=03x+4y2=0，解得y=2x=2，两直线的焦点坐标为（-2，2），直线x-2y-1=0斜率为12，则所求直线的斜率为-2
21、直线方程为y-2=-2（x+2），即2x+y+2=0；（2）当直线过原点时，直线方程为y=-3x；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，则-1+3=a，即a=2是求直线方程为x+y=2所求直线方程为3x+y=0或x+y-2=0【解析】（1）联立直线方程求出点的坐标，再求出所求直线的斜率，代入直线方程点斜式得答案； （2）当直线过原点时，直线方程为y=-3x；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，把点的坐标代入求得a，则直线方程可求本题考查直线方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题18.【答案】证明：（1）因为四边形BB1C1C为正方形，B1CBC1=E，所以E为B1C的中点
22、，又D为AB1的中点，因此DEAC又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C（2）因为棱柱ABC-A1B1C1是三棱柱，AA1底面ABC所以CC1平面ABC因为AC平面ABC，所以ACCC1又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1=C，所以AC平面BCC1B1又因为BC1平面BCC1B1，所以B1CAC因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C因为AC，B1C平面B1AC，ACB1C=C，所以BC1平面AB1C【解析】（1）由正方形性质得E为B1C的中点，从而DEAC，由此能证明DE平面AA1C1C （2）由
23、线面垂直得ACCC1，由ACBC，得AC平面BCC1B1，由此能证明BC1平面AB1C本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19.【答案】解：（1）由已知可设圆心N（a，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|，从而有(a3)2+(3a21)2=(a+1)2+(3a23)2，解得：a=2于是圆N的圆心N（2，4），半径r=10所以，圆N的方程为（x-2）2+（y-4）2=10（2）设M（x，y），又点D是圆N：（x-2）2+（y-4）2=10上任意一点，可设D（2+10cos，4+10sin）C（3，0），点M是线段CD的中点，有x=3+
24、2+10cos2，y=0+4+10sin2，消去参数得：（x-52）2+（y-2）2=52故所求的轨迹方程为：（x-52）2+（y-2）2=52【解析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程； （2）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程本题考查圆的方程，考查参数法，圆的方程一般采用待定系数法，属于中档题20.【答案】解：（1）t=1+2+3+4+5+6+77=4，y=2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.97，b=3(1.4)+(2)(1)+(1)(0.7)+0+0.5+20.9
25、+31.69+4+1+0+1+4+9=1424，a=y-bt，y关于t的线性回归方程为：yx（2）2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐步提高，翻了一番当t=8时，y千元预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为千元【解析】（1）根据公式计算可得：（2）t=8代入计算可得本题考查了线性回归方程，属中档题21.【答案】解：（1）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD平面MPC连接BD，交MC于O，连接OP，则由题意，DC=1，MB=2，又DCMB，MOBCOD，OB：OD=MB：DC，OB=2OD，PB=2PA，OPAD，AD平面MPC，OP平面MPC，AD平面MPC；（2
26、）由题意，AMMD，平面AMD平面MBCD，AM平面MBCD，P到平面MBC的距离为12，MBC中，MC=BC=2，MB=2，MCBC，SMBC=1222=1，MPC中，MP=52=CP，MC=2，SMPC=1225424=64设点B到平面MPC的距离为h，则由等体积可得13112=1364h，h=63【解析】（1）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD平面MPC，证明ADOP，即可证明AD平面MPC？ （2）当点P为AB边中点时，利用等体积方法，即可求点B到平面MPC的距离本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的计算，考查体积的计算，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，
27、考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题22.【答案】解：（1）圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx-2直线l与圆O相切，圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=2，即d=|2|k2+1=2，解得k=1（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），将直线l：y=kx-2代入x2+y2=2，整理，得（1+k2）x2-4kx+2=0，x1+x2=4k1+k2，x1x2=21+k2，=（-4k）2-8（1+k2）0，即k21，当AOB为锐角时，OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1-2）（kx2-2）=(1+k2)x1x22k(x1+x2)+4=62k21+k20，解得
28、k23，又k21，-3k1或1k3故k的取值范围为（-3，1）（1，3）（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，12t2），其方程为x（x-t）+y（y-12t+2）=0，x2tx+y2(12t2)y=0，又C，D在圆O：x2+y2=2上，lCD：tx+(12t2)y2=0，即（x-y2）t-2y-2=0，由x+y2=02y+2=0，得x=12y=1，直线CD过定点（12，1）【解析】（1）由直线l与圆O相切，得圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=，由此能求出k（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），将直线l：y=kx-2代入x2+y2=2，得（1+k2）x2-4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k的取值范围（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，），其方程为，C，D在圆O：x2+y2=2上，求出直线CD：（x-）t-2y-2=0，联立方程组能求出直线CD过定点（）本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题