o_解竞赛题的钥匙.pdf

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1、解竞赛题的钥匙 一 算谜问题 凑凑、估估、揭谜底 算谜问题是一类趣味性较强的数学游戏，它不仅加深对小学数学基本知 识的理解，对于培养学生的观察能力、分析能力、推理判断能力非常有益。 1 9 5 8 年开始，心理学家以算谜为例子，研究人类解决问题的思维过程。由于 算谜问题构思精巧，变化多端，并且具有不同的难度层次，所以经常被智力 竞赛和数学竞赛所选用。 算谜问题，一般指那些含有未知数或待定的运算符号的算式。这种不完 整的算式就像“谜”一样，要我们根据运算法则和逻辑推理方法进行推理、 判断把算谜“猜”出来，使不完整的算式补充完整。 我们通过一些例子来讲述解答算谜问题的思考方法和技巧。 例 1 9

2、1 3 7 = 1 0 0 1 4 2 5 = 把+ 、- 、分别填在适当的圆圈中，并在长方形中填上适当的整数， 可以使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？ （1 9 8 6 年第一届“华罗庚金杯赛”决赛试题） 解法：先考虑第一个等式，等式右边是 1 0 0 比 9 、1 3 、7 大得多，所以等 式的圆圈里首先应考虑“+ ”或“”，但 9 1 3 = 1 1 7 比 1 0 0 大，所以得 9 1 3 7 = 1 0 0 。 第二个等式中，题意要求在长方形中填整数，而且只剩下减号和除号， 所以得 1 4 2 - 5 = 2 。 即长方形中的数是 2 。 例 2 在 1 5 个 8 之

3、间添上+ 、- 、，使得下面的算式成立： 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 = 1 9 8 6 （北京市第二届小学生“迎春杯”数学决赛题） 分析：这个式子数字很大，我们先凑出与 1 9 8 6 较接近的数，如： 8 8 8 8 8 8 8 8 = 1 9 9 9 。这个数比 1 9 8 6 大 1 3 ，这样原问题就转化为：能否用剩下的 七个 8经适当的四则运算得出一个等于 1 3的算式呢？还是用上面的想法： 1 1 与 1 3 较接近，而 8 8 8 = 1 1 这样一来问题就转化为能否用剩下的四个 8 写 出一个等于 2 的算式。而这是不难办到的。如： 8 8 8

4、 8 2 解法： 8 8 8 8 8 8 8 8 - 8 8 8 - 8 8 - 8 8 = 1 9 8 6 用上面类似的方法你能找到另外的解答吗？ 以上二例是填写运算符号，例 1 是根据运算结果进行逆推，是解答算谜 问题的常用方法。例 2 用逆推的方法比较麻烦，因此，我们先经过估算，凑 出一个与结果较接近的数，然后凑凑、算算，使算式成立。 下面我们来讲述填补等式或竖式的算谜问题。 例 3 将 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6这七个数字填在圆圈和方格内，每个数 字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的整数算式。问填在方格内的数 是几？ = = （1 9 8 6 年第一届“华罗庚金杯赛”复

5、赛试题） 解法：要求用七个数字组成五个数，根据算式，应当三个数是一位数， 两个二位数，二位数应是积和被除数。 O 和 1 不宜做一位数，一位数如果是 2 ，则会出现 2 6 1 2 （2 重复出 现）， 2 5 = 1 0 （经试验不行）， 2 4 8 （7 个数中没有 8 ）， 2 3 = 6 （6 不能成为商），因此，2 也不能做一位数。 0 、1 和 2 只能用来组成二位数，它可以组成 1 2 和 2 1 ，经验算，2 1 不能 填在方框内，于是得到 3 4 = 1 2 = 6 0 5 。 即填在方框内的数是 1 2 。 例 4 下面的算式里，每个方框代表一个数字。问：这 6个方框中的数

6、 字的总和是多少？ （1 9 9 1 年第三届“华罗庚金杯赛”初赛试题） + 1 9 9 1 分析：解决这样的问题，我们需要认真审题，抓住式中的某些特点，寻 找突破口。 这个题目的突破口在百位上，由于十位至多向百位进 1 ，且百位上两个 内数字之和加上十位向百位的进位等于 1 9 ，可以推出百位上两个内数字 均填 9 ，且十位向百位进 1 ；同理，由于十位上两个内数字之和加上个位向 十位的进位等于 1 9 ，可以推出十位上两个内数字均填 9 ，且个位向十位进 1 ；由此推出个位上两个内数字之和等于 1 1 。 解法：由于两个加数的十位和百位数字均为 9 ，两个加数的个位数字之 和为 1 1 ，

7、因此所有内数字之和为 9 4 + 1 1 = 4 7 。 7 ，8 ，9 ”中的某一个数字，使得该除式成立。 （上海市 1 9 8 8 年小学数学竞赛试题） 分析：根据除式条件，首先可知除数的十位数字是 1 ，第一次相除后， 余数是 3 2 ，由此推出商数的个位数字只能是 2 ，除数的个位数字也只能是 6 。 解法： 例 6 在中填上适当的数字，使算式成立。 分析：因为除数是三位数，并且百位数为 6 ，它和商的首位的乘积也是 三位数，所以商的首位是 1 ； 因为第一行的个位数是 7 ，所以除数的个位数也是 7 ； 因为第二行的个位为 1 ，所以商的个位为 3 。因为 3 7 = 2 1 ，必须

8、向十 位进 2 ，所以根据十位上的 6 ，推知除数的十位是 8 。商与除数确定后，其他 数字都易于确定。 解法： 例表示一个四位数，表示一个三位数， 、 、 、 、7 ABCDEFGABCD EFG19ABCD + EFG =1993、 、 、代表 中的不同的数字。已知，问：乘积 ABCDEFG的最大值与最小值差多少？ （1 9 9 3 年第三届“华罗庚金杯赛”决赛第一试试题） 分析：这是一道数字谜的最值问题，要选择好“突破口”通常从首位或 未位数字入手。 解法：由已知条件 A B C D E F G+ 1993 首先确定 A 1 ，然后再看被加数与加数的个位数字之和：D + G = 3或 1

9、 3 ， 由题意 A 、D 、G 代表不同的数字，于是 D C 2 3 = 5 ，因此有 D G = 1 3 。同 理，被加数与加数的十位数字之和：C + F 8 9 = 1 7 。这样可以断定 C F = 8 ， 最后可以推知，被加数与加数的百位数字之和 B E = 9 ，下面考虑乘法算式 1BCDEFG。 为了使乘积最大，显然乘数的首位数字 E 应该尽可能大，而 B E = 9 。于 是 B应该尽可能小，这样可以断定取 B = 2 ，E = 9 ，根据同样理由，可以确定 乘数的十位数字 F 应该取 5 ，因为这时 C 的最小值可取 3 ；最后确定 C = 9 ， D = 4ABCDEFG，

10、所以乘积的最大值是 1 2 3 4 7 5 9 = 9 3 6 6 0 6 。 类似地，为了使乘积最小，可以依次确定 B = 7 ，E = 2 ，C = 5 ，F = 3 ，D = 9 ， C = 4ABCDEFG，所以乘积的最小值是 1 7 5 9 2 3 4 = 4 1 1 6 0 6 。 9 3 6 6 0 6 - 4 1 1 6 0 6 = 5 2 5 0 0 0 。 所以，乘积 A B C D E F G 的最大值与最小值差 5 2 5 0 0 0 。 例 8 在右边的算式中 A 、B 代表不同的数字，若算式成立，求出 A 、B 。 AB BA 1 14 30 4 3 1 54 （1

11、 9 8 0 美国长岛小学数学奥林匹克竞赛试题） 解法：算式中， A B A = 1 1 4将 1 1 4分解因式， 1 1 4 = 2 3 1 9 ，然后 将 1 1 4 写成一个二位数与一个一位数的积。 1 1 4 = 5 2 2 = 3 8 3 = 1 9 6 ，显然 3 8 3 符合要求，所以 A = 3 ，B 8 。 例 9 右边乘法算式中的来参加数学邀请赛“来参加数学邀请赛”八个 字各代赛表一个不同的数字，其中赛代表来来来来来来来来来 9 ，来代表 ，参代表，加代表，数代表 ，学代表，邀 代表，请代表。 （1 9 8 6 年“小学生数学报”数学邀请赛试题） 解法：已知赛代表 9 ，

12、赛赛9 9 = 8 1 ，所以来代表 1 ，即乘积为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 。根据积一个因数另一个因数，可以求得被乘数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 。从而得出：参代表 2 ，加代表 3 ，数代表 4 ，学代表 5 ，邀代表 6 ，请代表 7 。 例 1 0 下面乘式中的“趣味数学”四个字各代表一个互不相同的数字， 每个方框中可以填 0至 9任何一个数字，但最高位不能填 0 ，试确定算式中 的每一个数字。 解法：为叙述方便，把每行中的数字从上到下称为第一行，第二行， 从第二行看，“数”代表 0 。 从第三行看，“趣”代表的数自乘后

13、仍是一位数，所以这个数必须小于 等于 3 。而且当“趣”代表 3 时，“味”必须小于等于 2 。 从第四行看，第三行的第一个数字必须是 9 ，因此“趣”代表 3 。 又因“数”代表 0 ，如果“味”代表 1 ，那么第二行的第一个数“3 ”与 第三行的第二个数“3 ”相加就没法进行。所以， “味”必须是 2 。于是 “趣”、 “味”、“数”分别为“3 ”、“2 ”、“0 ”。 最后看第一行“学”不能大于 3 ，否则第一行将是五位数，又因为四个 数字表示互不相同的数，所以学只能是“1 ”。 通过上面例题分析，解答算谜问题要注意： 1 . 首先要注意算式中的各个文字、字母、符号都只能取 0 至 9

14、中的某一 个数字。 2 . 要认真分析已知算式中给出的各种数量关系，根据这些数量关系，选 择“突破口”。 3 . 突破口的选择往往从确定一个数（乘数，被乘数，除数或商）的个位、 首位或其他数位上的数字入手。 4 . 必要时要采用枚举和筛选相结合的方法，淘汰那些不合题意的解，寻 找正确答案。 5 . 运用估算的方法，缩小枚举和试验范围以减少试验次数。 习题一 1 . 在 1 1 9 9 之间填上适合的运算符号，使等式成立。 1 1 9 9 1 0 （天津市第一届小学生“我爱数学”邀请赛试题） 2 . 填上合适的符号，使等式成立。 4 4 4 4 = 1 4 4 4 4 = 2 4 4 4 4 =

15、 3 4 4 4 4 = 4 4 4 4 4 = 5 （天津市第二届小学生“我爱数学”预赛试题） 3 . 在下面式中填上算术运算符号、括号，使式子成立： （1 ）1 2 3 = 1 ； （2 ）1 2 3 4 = 1 ； （3 ）1 2 3 4 5 = 1 ； （4 ）1 2 3 4 5 6 = 1 ； （5 ）1 2 3 4 5 6 7 = 1 。 （1 9 8 4 年重庆市小学数学竞赛试题） 4 . 填上适当的运算符号，使下式成立： 1 2 3 4 5 1 0 0 （1 9 8 3 年小学生报数学邀请赛） 5 . 在下面十五个 9 之间添上+ 、- 、（ ）使下面算式成立： 9 9 9 9

16、 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 2 0 0 0 6 . 在被除数小于 1 0 0 的情 况下，在右图内填上适当的数： = = = 44 55 66 （1 9 8 3 年小学生报数学邀请赛试题） 7 . 在下面的中，分别填上 1 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 中的一个数字 （每个只许填一次）使得带分数算式（每式只要一个填法）： （上海第一届“从小爱数学”邀请赛试题） 8 . 在下面乘法竖式的内各填上适合的数字，使算式成立： 9 . 在下面的方框中填上适当的数字，使算式成立： 1 0 . 关于下面的算式，只知道一个数字 8 ，你能确定其他数字吗？ 1 1 . 把下面

17、除法算式中的* 号填出来，成为一完整的算式。 1 2 . 下式中不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，求 出这些字母各代表什么数字，算式才能成立： ( ) ( ) 1 2 0 HE HE HE HE AH ABCD DCBA ABCD + + 1 3 . 将下面式中的字母用数字代替，使算式成立。 赛 竞 学 数 年 少 匙 钥 金 金 钥 匙 少 年 数 学 竞 赛 +864197532 （1 9 8 4 年上海“金钥匙”数学竞赛题） 1 4 . 下面算式中每一个字代表一个数字，不同的字代表不同的数字，当算 式成立时，求每个字所代表的数字。 努力学习 向上 我 们天天向上 （1

18、9 8 6 年北京奥林匹克学校入学试题） 1 5 . 在下面的算式中“三”、“好”、“学”、“生”四个汉字各代表一 个阿拉伯数字，其中“三”代表，“好”代表，“学”代表， “生”代表。 学生 好学生 三好学生 1989 （1 9 8 8 年小学生数学报小学生数学邀请赛初赛试题） 1 6 . 在象棋算式里，不同的棋子代表不同的数字，请你想一想棋子各代表 哪些数字。 兵砲马卒 兵砲车卒 车 卒马兵卒 + 1 7 . 下列各题的每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字， 试求出下列各算式。 ( ) 1 4 从小爱数学 学数学小从 ( 2 ) 1 3 1 红花映绿叶 红 花 映绿叶 ( 3 )

19、 蜜蜜蜜 蜜蜜蜜 蜜 蜂酿蜂蜜 （4 ）优优优优优优学= 学习 再学习 二 填数问题 从“九宫算”谈起 在填数问题中，小学生常常采用“凑”的方法，通过几次试验来寻找解 答。如果我们深挖其中的道理，就会找到一些解题规律，使认识进一步深化。 在这个意义上讲，填数问题是一种很好的“锻炼思维的体操”。 我国古代人民对数学的发展作出过许多杰出贡献，著名的“九宫算”就 是其中之一，最早提出的问题是： 将 1 至 9 这九个数字填在右图中九个方格里使每一横行、每一纵列和两 个对角线上的数之和相等。 这种图形填数，我国古代称为“九宫算”、“纵横图”，国外叫做幻方。 “九宫图”就是将 1 至 9 的九个数填在

20、3 3 的小格内，它是一个三阶幻方。 传说大禹治水的时候，洛水中浮出一只神龟，龟背上驮了一个“洛书”图。 将它译释成今日数字即为一个三阶幻方。 e w c M V I M A G E , M V I M A G E , ! 1 6 0 0 0 1 0 0 _ 0 0 1 4 _ 1 . b m p 一般地，在 n n的方格内，既不重复又不遗漏地填上 n 2个自然数，每 个数占一格，并使每行、每列及两条对角线上 n 个自然数的和都相等，这样 排成的数表称为 n 阶幻方。都相等的和叫幻和。 幻方曾使不少数学爱好者入迷。大数学家欧拉、著名物理学家富兰克林 就曾经对幻方很感兴趣。目前，最大的幻方是 1

21、 0 5阶，它是由美国一位 1 3 岁少年作成的。 下面我们来谈谈如何填好“九宫图”。 例 1 填九宫图所表示的幻方。 解：首先应解决二个问题： （1 ）每行、每列的和是多少？ （这个和叫幻和） （2 ）中间位置的数应当填几？ （求幻和时几次用到了它） 为了叙述方便，我们把每个方格内要填的数字用字母表示（图 1 ）。 e w c M V I M A G E , M V I M A G E , ! 1 6 0 0 0 1 0 0 _ 0 0 1 5 _ 1 . b m p 首先求出幻和。因为 a 1 + a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 + c 1 + c 2 + c 3 1 + 2 +

22、3 + 4 + + 9 = 4 5 ，a 1 + a 2 + a 3 = b 1 + b 2 + b 3 = c 1 + c 2 c 3 = 幻和，所以，幻和3 = 4 5 ，幻和= 4 5 3 = 1 5 。 其次，确定中心数 b 2 。 因为（a l + b 2 + c 3 ）+ （a 3 + b 2 + c 1 ）+ （a 2 + b 2 + c 2 ）+ （b 1 + b 2 + b 3 ）= 1 5 4 a l + a 2 + a 3 + b 1 + b 2 + b 3 + c 1 + c 2 + c 3 + 3 b 2 = 6 0 ， 所以 b 2 = 5 ，即中间数应当是 5 。

23、 最后，考虑四个角上应填什么数 假设 a 1为奇数，那么 （1 ）如果 a 2也是奇数，那么 a1 a 2 a 3 = a 1 + 5 c 3 = a 2 + 5 c 2 = 1 5 。于是 a 3 、c 3 、c 2也都是奇数，连同 b 2 = 5 共有六个奇数，矛盾（如图 2 ）。 （2 ）如果 a 2为偶数，那么 a3 、c 2为偶数。又因为 c3为奇数，a3 b 3 c 3 = c 1 + c 2 c 3 = 1 5 ，所以 b 3 、c 1为偶数。这样就有 5 个偶数，矛盾（如图 3 ）。 所以 a 1不能为奇数。 同理可证 c 1 、 c 3 、 a 3都不能为奇数。弄清了这一点就

24、可填写三阶幻方 （如 图 4 、图 5 ）。 例 2 把 4 至 1 2 填在 3 3 的方格内，制成三阶幻方。 解：（1 ）求幻和：（4 5 1 2 ）3 7 2 3 = 2 4 。 （2 ）求中心数：7 2 3 b 2 = 2 4 4 ，3 b 2 = 2 4 ，b 2 = 8 。（3 ）确定四角 数：由上题九个数中有五个为奇数，中心数为奇数，四角数为偶。现在九个 数中五个为偶数，中心数为偶数，猜想四角数应为奇数，经验证这个猜想是 正确的，所以在四个角上填 7 、5 、9 、1 1 。填其余数字就容易了（如图 6 ）。 数阵是一种由幻方演变而来的数字图。数阵可以分为辐射型、封闭型、 既辐射

25、又封闭的复合型数阵。 例 3 将 1至 7七个数字填入图中的圈内，使每条线上的三个数的和相 等。 e w c M V I M A G E , M V I M A G E , ! 1 6 0 0 0 1 0 0 _ 0 0 1 7 _ 1 . b m p 解：首先确定中心数。不妨设中心数为 a ，则 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 2 a 能被 3 整除。 所以， （2 8 2 a ）3 = 2 8 3 2 a 3 。其中，2 8 3 商 9 余 1 。因此， 2 a 3 的余数必须是 2 ，那么当 a 是什么数时 2 a 3 的余数才是 2 呢？为此， 我们在 1 7

26、六个数中试验选择如下： 当 a 1 时， 2 a 3 = 2 3 商 0 余 2 ；（符合要求） 当 a 2 时， 2 a 3 = 4 3 商 1 余 1 ； 当 a 3 时， 2 a 3 = 6 3 商 2 余 0 ； 当 a = 4 或 7 时，余数也是 2 。（符合要求） 所以，当 a = 1 、4 、7 时，2 a 3 的余数是 2 ，即中心数为 1 ，4 ，7 。 当 a l时，（2 8 2 ）3 1 0 ，所以除中心数外，其他两个数的和是 1 0 - 1 9 ，只要把 2 、3 、4 、5 、6 、7 按和为 9 分成三组填入内即可。 当 a = 4 时，（2 8 8 ）3 = 1

27、 2 ，除中心数外其他两个数的和为 8 。 当 a 7 时， （2 8 1 4 ）3 = 1 4 ，除中心数外其他两个数的和为 7 。 因此，可得三个解： e w c M V I M A G E , M V I M A G E , ! 1 6 0 0 0 1 0 0 _ 0 0 1 8 _ 1 . b m p 例 4 将 1 至 6 分别填入圈内，使各边上三个内数字和相等。 解：首先应确定三个顶点上内的数字。 用 k 表示每边上三个内的数字和，用 a 、b 、c 分别表示三个顶点内 的数字， 因为三个顶点上的数在求和时多用了一次， 所以 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + a +

28、b + c 3 k ，2 1 + a + b + c 3 k ，即 k = （2 1 + a + b + c ）3 。 又因为 a 、b 、c 可以分成七组数：1 ，2 ，3 ；2 ，3 ，4 ；3 ，4 ，5 ；4 ，5 ， 6 ；1 ，2 ，6 ；1 ，3 ，5 ；2 ，4 ，6 。 我们把这四组 a b c 的和与 k 的值列表如下： 从表中看出，当 a b c 的最小值是 1 2 3 = 6 时，k 的最小值是 9 。 当 a b c 的值最大是 4 5 6 1 5 时，k 的最大值是 1 2 。 1 . 当 a b c = 6 ，k = 9时，a 、b 、C分别是（1 ，2 ，3 ）

29、、（1 ，3 ，2 ）、 （2 ，1 ，3 ）、（2 ，3 ，1 ）、（3 ，1 ，2 ）、（3 ，2 ，1 ），那么，其余三个 内分别填 4 、5 、6 。我们可以填出六种解法： e w c M V I M A G E , M V I M A G E , ! 1 6 0 0 0 1 0 0 _ 0 0 1 9 _ 1 . b m p 从上面答案可发现，只要把一个解中的数左右旋转或适当调换就可以得 到其余的五个解。我们把第一个解叫做基本解，其余的五个解看作与基本解 是同一个解。 2 . 当 a b c = 9 ，k = 1 0 时，试验如下： （1 ）如果 a = 1 ，b = 2 ，c =

30、6 （如右图），那么在三角形底边上只有填 2 ， 才能使底边上内数的和是 1 0 ，但这样重复，因此无解。 e w c M V I M A G E , M V I M A G E , ! 1 6 0 0 0 1 0 0 _ 0 0 2 0 _ 1 . b m p （2 ）如果 a = 1 ，b = 3 ，c = 5 ，那么其余三个内分别填 2 、4 、6 ，得本题 的第二个基本解。 （3 ）a = 2 ，b 3 ，c = 4 时，无解。 3 . 当 a b c = 1 2 ，k = 1 1 或 a b c = 1 5 ，k = 1 2 时，用上面同样的方法得 到下面的两个基本解： e w c

31、M V I M A G E , M V I M A G E , ! 1 6 0 0 0 1 0 0 _ 0 0 2 0 _ 2 . b m p 从上面分析，我们可以看到，每一个基本解可得六个解，本题共有 2 4 个解，但是今后解答这类问题时，只要求基本解就可以了。 例 5 把 1至 8八个数分别填入图中的八个内，使每个圆周上五个数 的和都等于 2 1 。 解：设两个圆的交叉点上的两个内各是 a 、b 。那么，在计算两个大圆 周上 1 0个数的和时，a 、b 两数都多加了一次，所以 1 2 + 8 a b 除以 2 应该是 2 1 ，即 3 6 a b = 2 1 2 ，从而得 a b = 6

32、。 在 1 至 8 八个数中，只有 1 和 5 ，2 和 4 这两组数的和是 6 。 （1 ）如果中间两个内分别填 1 和 5 ，另外三个内三个数的和都应 当是 2 1 - 6 = 1 5 ，在 2 ，3 ，4 ，6 ，7 ，8 这六个数中，和相等的数只有 2 ，6 ，7 和 3 ，4 ，8 。 （2 ）如果中间两个内填 2 和 4 ，其他的数可分成两组 1 ，6 ，8 和 3 ， 5 ， 7 ，分别填入中。 例 6 把 1 至 7 七个数填在右图的内，使每条线上三个数的和都相等。 e w c M V I M A G E , M V I M A G E , ! 1 6 0 0 0 1 0 0

33、_ 0 0 2 1 _ 1 . b m p （1 9 8 8 年无锡市小学生数学竞赛试题） 解：本题是例 3 的发展，设中心数为 x ，其余各数分别为 a 、b 、c 、d 、e 、 f 。根据例 3 的分析，x 可取 1 、4 、 7 。 （1 ）当= 1 时，则得每条线上三个数的和为 1 0 。 a + b + c + d + e + f = 2 8 - x = - 2 7 。 但 a + c + e = 1 0 ，b + d f 1 0 ， 于是 a + b + c + d + e + f = 2 0 。 两种结果产生矛盾，因此，x 不能为 1 。 （2 ）当 x 4 时，则得每条线上三

34、个数的和为 1 2 。 a + b + c + d + e + f = 2 8 - x = 2 4 。 但 a + c + e 1 2 ，b + d + f = 1 2 ， 于是 a + b + c + d + e + f 2 4 。 两种结果一致，因此，x 可为 4 。 因为 1 + 7 + 4 = 1 2 ，6 + 2 + 4 1 2 ，5 + 3 + 4 = 1 2 ，而且 7 + 2 + 3 = 1 2 ，1 6 5 = 1 2 ， 所以可得解（见右图）。 e w c M V I M A G E , M V I M A G E , ! 1 6 0 0 0 1 0 0 _ 0 0 2 2

35、 _ 1 . b m p 图中当 1 的位置确定后，5 与 6 可以对换，（3 与 2 也相应的对换），因 此有两种不同的形式。而 1 在外圈上有三个位置可选择，有三种不同形式， 这样就有 2 3 = 6 种不同形式。外圈上三个数与内圈上三个数可同时交换，因 此，本题有 6 2 = 1 2 种不同形式。 （3 ）当 x = 7 时，无解。 习题二 1 . 在下面的方格内，每边加起来的数都是 5 ，总数是 1 2 ，现在请你用任 何数字重新排列，每边加起来仍是 5 ，但总数是 1 3 、l 4 。 2 . 把 5 、7 、9 、1 1 、1 3 、1 5 、1 7 、1 9 、 2 1 分别填入

36、下面正方形的方格里， 使每行、每列、对角线上三个数的和都相等。 3 . 右图中的 A = ，B = ，C = ，D = ，E = 时，它可能构成一个三阶幻方？ 19A14 10BC D18E 4 . 将 1 至 8 八个数填入右图的八个方格内，使上面四格，下面四格，右 边四格，中间四格，对角线上四格和四角四格内的四个数的和都是 1 8 。 5 . 用 1 至 5 这五个数填入右图中使每行和每列的 3 个数的和相等。 6 . 将 1 至 9 这九个数分别填入右图的内，使每条辐射支上的三个数的 和都相等。 7 . 将 1 至 1 1 这 1 1 个数，分别填入右图中，使每条线段上三个内数的 和都相

37、等。 8 . 在右图的每个圆圈里填上适当的质数（不得重复），使每条直线上三 个数的和都相等，且均为偶数。 e w c M V I M A G E , M V I M A G E , ! 1 6 0 0 0 1 0 0 _ 0 0 2 4 _ 1 . b m p （安庆市首届小学数学竞赛试题） 9 . 请将 1 至 8 这八个数字填入右图的空方框内，使每条直线上三个数的 和都为质数。 e w c M V I M A G E , M V I M A G E , ! 1 6 0 0 0 1 0 0 _ 0 0 2 4 _ 2 . b m p （张家口市 1 9 9 0 年小学五年级数学竞赛（复赛试题

38、） 1 0 . 把 1 至 7 七个自然数分别填入右图中的圆圈里， 使每条线上三个数的 和相等。 e w c M V I M A G E , M V I M A G E , ! 1 6 0 0 0 1 0 0 _ 0 0 2 4 _ 3 . b m p （1 9 9 0 年济南历下区小学五年级数学竞赛试题） 1 1 . 把 2 0 、2 1 、2 2 、2 3 、2 4 、2 5 这六个数分别放在图中的一个圆圈中， 使这个三角形各边上的三个数之和是相等的。 e w c M V I M A G E , M V I M A G E , ! 1 6 0 0 0 1 0 0 _ 0 0 2 4 _ 4

39、 . b m p （天津市第二届“我爱数学”竞赛题） 1 2 . 将 1 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 这九个数分别填在右图的三角形的圆 圈里，使每条边上的四个数字和等于 1 7 。 e w c M V I M A G E , M V I M A G E , ! 1 6 0 0 0 1 0 0 _ 0 0 2 4 _ 5 . b m p （1 9 8 3 年洛阳市小学生数学竞赛试题） 1 3 . 如图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填 上六个质数，它们的和是 2 0 ，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等。 问这六个质数的积是多少？ e w c M V

40、 I M A G E , M V I M A G E , ! 1 6 0 0 0 1 0 0 _ 0 0 2 5 _ 1 . b m p （1 9 8 6 年“华罗庚金杯”决赛试题） 1 4 . 把 1 至 1 0 这十个数填入右图的十个内，使每个正方形四个顶点上 各数的和都等于 2 4 。 e w c M V I M A G E , M V I M A G E , ! 1 6 0 0 0 1 0 0 _ 0 0 2 5 _ 2 . b m p 1 5 . 把 5 、6 、7 、8 、9 、1 0 、1 1 、1 2 、1 3 、1 4 填入右图中的小圆中，使每 个大圆圈中六个数的和是 5 5

41、 。 e w c M V I M A G E , M V I M A G E , ! 1 6 0 0 0 1 0 0 _ 0 0 2 5 _ 3 . b m p （长春市 1 9 8 8 年四年级数学竞赛题） 1 6 . 将 1 9 5 、1 9 6 、1 9 7 、1 9 8 、1 9 9 、2 0 0 、2 0 1 七个数分别填入右图的小圆 圈内，使每条直线上和每个圆上的三个数的和都是 5 9 4 。 e w c M V I M A G E , M V I M A G E , ! 1 6 0 0 0 1 0 0 _ 0 0 2 5 _ 4 . b m p （石家庄市长安区 1 9 8 9

42、年五年级数学复赛试题） 1 7 . 将 1 至 1 0 这十个数分别填入图中内，使每条线段上四个内数的 和相等。每个三角形三个项点上内数的和也相等。 e w c M V I M A G E , M V I M A G E , ! 1 6 0 0 0 1 0 0 _ 0 0 2 6 _ 1 . b m p 三 数列问题 从高斯的故事谈起 高斯是 1 9 世纪德国的著名数学家。他从小喜欢学数学，善于思考，聪明 过人。据说他在读小学三年级的时候，一次老师布置一道题目：“把从 1 到 1 0 0 的自然数加起来，和是多少？”正当同学们埋头一个数一个数加的时候， 小高斯很快报出答数为 5 0 5 0 ，

43、这使得老师非常吃惊。 小高斯是采取什么办法巧妙地进行计算的呢？ 先来观察一下题目，发现数字的排列是有规律的。 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + + 1 0 0 。 这是按自然数排列的，后面一个数都比前面一个数大 1 ，好比上体育课 同学们排成一队，叫做队列，这就叫做数列。请观察下面的数列： 1 ，3 ，5 ，7 ，9 ，1 1 ； 2 ，6 ， 1 0 ， 1 4 ， 1 8 ，2 2 ； 5 ， 1 0 ， 1 5 ， 2 0 ， 2 5 ， 3 0 。 这些数列的两个数之间的差都是相等的，所以叫做等差数列。既然这些 数列排列都有规律可找，因此可以发现许

44、多数学问题，这些就是数列问题。 小高斯做的题目是最简单的数列问题。1 0 0个数相加大多了。我们先用 九个数来研究一下： 这样凑成 4 个 1 0 再加上 5 ，和为 4 5 。 还有一个办法： 1+2 +3+4 +5+6+7+8+9 = 9 +8+7 +6+5+4+3+2+1= 10+10+10+10+10+10+10+10+10 = 90 和 和 倍和 2 把数列颠倒过来相加，所得结果是和的 2 倍，只要除以 2 就得到答案： 和9 0 2 4 5 。 按照这个道理，可以得到求等差数列的和的一般公式： （首项+ 末项）个数2 把小高斯做的题目： 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + +

45、1 0 0 代入公式： （1 + 1 0 0 ）1 0 0 2 = 1 0 1 1 0 0 2 = 1 0 1 0 0 2 = 5 0 5 0 例 1 1 + 2 + 3 + + 2 5 0 3 1 3 7 5 （1 + 2 5 0 ）2 5 0 2 = 2 5 1 2 5 0 2 = 6 2 7 5 0 2 = 3 1 3 7 5 例 2 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + 1 9 9 1 0 0 0 0 这是一列奇数数列，也可代入公式 （首项十末项）个数2 （1 + 1 9 9 ）1 0 0 2 = 2 0 0 0 0 2 = 1 0 0 0 0 怎样算出连续奇数的个数，不必一个一

46、个地数出来。只要（首项+ 末项） 2 ，就能求出个数。 例 3 1 0 1 + 1 0 3 + 1 0 5 + + 1 9 9 = ？ 这道题和上面讲的有所不同。它虽然也是求连续奇数的和，但却不是从 1 开始的。其实也不难，只要先算出从 1 到 1 9 9 的连续奇数的和，再减去从 1 到 9 9 的连续奇数的和，问题就解决了。 1 + 3 + 5 + + 9 9 = 2 5 0 0 ， 1 + 3 + 5 + + 1 9 9 = 1 0 0 0 0 ， 1 0 1 + 1 0 3 + 1 0 5 + + 1 9 9 = 1 0 0 0 0 - 2 5 0 0 7 5 0 0 。 例 4 2

47、+ 4 + 6 + + 1 0 0 = ？ 这道题一看就知道，是求从 2 开始连续偶数的和。同样可用上面的公式 代入 （2 + 1 0 0 ）5 0 2 = 5 1 0 0 2 = 2 5 5 0 。 要知道从 2 开始连续偶数的个数，也不用一个一个地去数，只要把最后 那个偶数除以 2 就可以了。 例 5 五个连续偶数的和是 1 5 0 ，这五个偶数是哪几个数？ 粗看这道题目觉得很难，感到无从下手。可以先枚举几组五个连续偶数 观察一下： 请你仔细观察分析，就会发现规律，五个连续偶数的和，凑巧是中间数 的 5 倍。中间数找到了，前后四个数就能写出来了。解例 5 ： 先求出五个连续偶数的中间数：1

48、 5 0 5 = 3 0 。 所以这五个连续偶数是：2 6 ，2 8 ，3 0 ，3 2 ，3 4 。 例 6 已知四个连续偶数的和是 8 4 ，这四个偶数是哪几个数？ 这道题是四个连续偶数，没有中间数，上面的办法不适用了，要根据上 题的思路重新想办法。先枚举几组题目观察一下： 从上面两组题发现，四个连续偶数分成两个数对，每个数对的和是相等 的。根据这个特点，可以从这个和中先求出一个数对，然后再推算出四个连 续偶数来。 8 4 2 = 4 2 然后推算出这个四个偶数：1 8 ，2 0 ，2 2 ，2 4 。 例 7 1 0 到 8 0 之间能被 7 整除的各数之和是多少？ 1 0 到 8 0之

49、间，7 的最小倍数是 1 4 ，7 的最大倍数是 7 7 ，这是一列 7的 倍数的数列： 1 4 + 2 1 + 2 8 + + 7 7 4 5 5 。 代入求等差数列之和的公式得： （1 4 + 7 7 ）1 0 2 = 9 1 0 2 = 4 5 5 。 例 8 1 12 += 1 23 1 34 1 99100 ? 求这一数列各数之和，如果按照普通方法计算实在太麻烦了。你愿意试 一下的话，恐怕半天还算不出来呢。 从何下手呢？首先要仔细分析题目，看看这些分数有什么特点。不难看 出，这 9 9 个分数的分子都是 1 ，分母都是两个连续的自然数的乘积。这一数 列的编列是有规律可找的。 根据分数乘法的法则，它们都可以分成两个分数相乘，如： 1 12 = 1 1 1 2 1 23 = 1 2 1 3 . 1 2 。 1 2 1 3 1 6 1 3 32 6 1 6 1 2 1 3 1 2 1 3 = = = = . 根据上面分析，两个分数的积与这两个数的差可能相等。但这两个分数 不是任意的，它们必须符合一定的条件。具