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1、关于随机关于随机过程的基本程的基本概念概念(2)第1页，此课件共46页哦2022/9/152第二章随机过程的基本概念第二章随机过程的基本概念 n n2.4 2.4 随机过程的联合分布和互相关函随机过程的联合分布和互相关函数数第2页，此课件共46页哦2022/9/1532.4.1 2.4.1 联合分布函数和联合概率密联合分布函数和联合概率密度度设随机过程设随机过程X(t)的的N维分布函数为维分布函数为Y(t)的的M维分布函数为维分布函数为 定义定义X(t)和和Y(t)的的N+M维联合概率分布函数为维联合概率分布函数为 第3页，此课件共46页哦2022/9/1542.4.1 2.4.1 联合分布函
2、数和联合概率联合分布函数和联合概率密度密度定义定义X(t)和和Y(t)的的N+M维联合概率密度为维联合概率密度为 如果如果 则称则称X(t)和和Y(t)是相互独立的是相互独立的第4页，此课件共46页哦2022/9/1552.4.1 2.4.1 联合分布函数和联合概率密联合分布函数和联合概率密度度如果如果X(t)和和Y(t)的联合统计特性不随时间起的联合统计特性不随时间起点的平移而变化，则称点的平移而变化，则称X(t)和和Y(t)是严格联是严格联合平稳的，也称平稳相依。它们的任意合平稳的，也称平稳相依。它们的任意N+M维联合概率密度与时间起点无关维联合概率密度与时间起点无关第5页，此课件共46页
3、哦2022/9/1562.4.2 2.4.2 互相关函数及其性质互相关函数及其性质互相关函数互相关函数互协方差函数互协方差函数X(t)和和Y(t)相互正交相互正交X(t)和和Y(t)不相关不相关第6页，此课件共46页哦2022/9/1572.4.2 2.4.2 互相关函数及其性质互相关函数及其性质如果如果则称则称X(t)和和Y(t)是广义联合平稳的。是广义联合平稳的。第7页，此课件共46页哦2022/9/1582.4.2 2.4.2 互相关函数及其性质互相关函数及其性质（1）联合平稳随机过程互相关函数性质联合平稳随机过程互相关函数性质（2）第8页，此课件共46页哦2022/9/1592.4.2
4、 2.4.2 互相关函数及其性质互相关函数及其性质（3）若）若X(t)和和Y(t)是联合平稳的，则是联合平稳的，则 Z(t)=X(t)+Y(t)也是平稳的，且也是平稳的，且联合平稳随机过程互相关函数性质联合平稳随机过程互相关函数性质如果如果X(t)和和Y(t)不相关，则不相关，则如果如果X(t)和和Y(t)相互正交，则相互正交，则第9页，此课件共46页哦2022/9/1510第二章随机过程的基本概念第二章随机过程的基本概念 n n2.5 2.5 随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度第10页，此课件共46页哦2022/9/15112.5.1 2.5.1 连续时间随机过程的功率谱连续时间随机过
5、程的功率谱信号信号s(t)的的频谱密度频谱密度（简称（简称频谱频谱）：）：频谱存在的条件频谱存在的条件信号信号s(t)用频谱表示：用频谱表示：第11页，此课件共46页哦2022/9/15122.5.1 2.5.1 连续时间随机过程的功率谱连续时间随机过程的功率谱信号信号s(t)的的能量谱密度能量谱密度（简称（简称能谱密度能谱密度）：）：表示单位频带内信号的能量表示单位频带内信号的能量能谱密度存在的条件能谱密度存在的条件Parseval 定理定理能量型信号能量有限的信号第12页，此课件共46页哦2022/9/15132.5.1 2.5.1 连续时间随机过程的功率谱连续时间随机过程的功率谱功率型信
6、号：平均功率有限、能量无限的信号功率型信号：平均功率有限、能量无限的信号对随机过程而言，一般不满足频谱和能量谱存在的条件，对随机过程而言，一般不满足频谱和能量谱存在的条件，所以其频谱和能谱都不存在。所以其频谱和能谱都不存在。对随机过程引入功率谱的概念对随机过程引入功率谱的概念第13页，此课件共46页哦2022/9/15142.5.1 2.5.1 连续时间随机过程的功率谱连续时间随机过程的功率谱功率谱的定义：功率谱的定义：随机过程的样本函数及其截尾函数随机过程的样本函数及其截尾函数 第14页，此课件共46页哦2022/9/15152.5.1 2.5.1 连续时间随机过程的功率谱连续时间随机过程的
7、功率谱的傅里叶变换的傅里叶变换的平均功率的平均功率第15页，此课件共46页哦2022/9/15162.5.1 2.5.1 连续时间随机过程的功率谱连续时间随机过程的功率谱令令则则的功率谱密度的功率谱密度的平均功率的平均功率第16页，此课件共46页哦2022/9/15172.5.1 2.5.1 连续时间随机过程的功率谱连续时间随机过程的功率谱定义随机过程的功率谱密度为：定义随机过程的功率谱密度为：功率谱密度是从频域描述随机过程很重要的数字特征，功率谱密度是从频域描述随机过程很重要的数字特征，随机过程的功率谱密度表示单位频带内信号的频谱分量随机过程的功率谱密度表示单位频带内信号的频谱分量消耗在单位
8、电阻上的平均功率的统计平均值。消耗在单位电阻上的平均功率的统计平均值。能谱密度：信号的能量按频率分布的情况能谱密度：信号的能量按频率分布的情况功率谱密度：信号的平均功率按频率分布的情况功率谱密度：信号的平均功率按频率分布的情况第17页，此课件共46页哦2022/9/15182.5.1 2.5.1 连续时间随机过程的功率谱连续时间随机过程的功率谱功率谱密度与相关函数关系功率谱密度与相关函数关系维纳维纳-辛钦定理辛钦定理条件条件:功率谱密度、自相关函数有意义功率谱密度、自相关函数有意义适用于任意随机过程（定义本身不要求必须是平稳过程）适用于任意随机过程（定义本身不要求必须是平稳过程）第18页，此课
9、件共46页哦2022/9/15192.5.1 2.5.1 连续时间随机过程的功率谱连续时间随机过程的功率谱性质：性质：n对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数；对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数；第19页，此课件共46页哦2022/9/15202.5.1 2.5.1 连续时间随机过程的功率谱连续时间随机过程的功率谱性质：性质：n相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率谱越宽平；相关相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率谱越宽平；相关性越强，功率谱越陡窄。性越强，功率谱越陡窄。总的平均功率总的平均功率第20页，此课件共46页哦2022/9/15212.5.12.5.1第21
10、页，此课件共46页哦2022/9/15222.5.1 2.5.1 连续时间随机过程的功率谱连续时间随机过程的功率谱物理功率谱（物理谱）定义：物理功率谱（物理谱）定义：第22页，此课件共46页哦2022/9/15232.5.1 2.5.1 连续时间随机过程的功率谱连续时间随机过程的功率谱例例2.182.18：已知谱密度为：已知谱密度为 求相关函数。求相关函数。解：解：由因式分解由因式分解由公式：由公式：第23页，此课件共46页哦2022/9/15242.5.2 2.5.2 随机序列的功率谱随机序列的功率谱对于平稳随机序列对于平稳随机序列X(n)，如果其自相关函数满足，如果其自相关函数满足其功率谱
11、密度其功率谱密度功率有限周期为2第24页，此课件共46页哦2022/9/15252.5.2 2.5.2 随机序列的功率谱随机序列的功率谱Z变换形式：变换形式：自相关函数是偶函数自相关函数是偶函数自相关函数自相关函数z变换的收敛域是一个包含单位圆的环变换的收敛域是一个包含单位圆的环形区域，即形区域，即所以所以第25页，此课件共46页哦2022/9/15262.5.2 2.5.2 随机序列的功率谱随机序列的功率谱自相关函数用功率谱的自相关函数用功率谱的z反变换表示反变换表示其中其中C是收敛域内包含是收敛域内包含z 平面原点逆时针的闭合围线平面原点逆时针的闭合围线第26页，此课件共46页哦2022/
12、9/15272.5.2 2.5.2 随机序列的功率谱随机序列的功率谱平稳随机序列功率谱性质平稳随机序列功率谱性质（1）实的偶函数）实的偶函数自相关函数是偶函数，所以自相关函数是偶函数，所以（2）非负）非负第27页，此课件共46页哦2022/9/15282.5.3 2.5.3 互功率谱互功率谱两个随机过程两个随机过程X(t)，Y(t)的互功率谱的互功率谱其中：其中：若若X(t)及及Y(t)联合平稳，联合平稳，绝对可积，有绝对可积，有互功率谱从频域上描述了两个随机过程的互相关特性。互功率谱从频域上描述了两个随机过程的互相关特性。第28页，此课件共46页哦2022/9/15292.5.3 2.5.3
13、 互功率谱互功率谱性质：性质：（1）互功率谱并非是非负的实偶函数互功率谱并非是非负的实偶函数与与是是 的奇函数；的奇函数；是是 的偶函数；的偶函数；与与（2）（3）第29页，此课件共46页哦2022/9/15302.5.4 2.5.4 非平稳随机过程的功率谱非平稳随机过程的功率谱对平稳和非平稳都适用其它定义其它定义:1)广义功率谱广义功率谱缺乏明确的物理意义第30页，此课件共46页哦2022/9/15312.5.4 2.5.4 非平稳随机过程的功率谱非平稳随机过程的功率谱2)时变功率谱时变功率谱如果采用对称相关函数，即如果采用对称相关函数，即则上式定义的功率谱称为韦格纳则上式定义的功率谱称为韦
14、格纳-威利威利(Wigner-Ville)谱，这种功率谱是实偶函数（因为相关函数是谱，这种功率谱是实偶函数（因为相关函数是 的偶函数）。的偶函数）。第31页，此课件共46页哦2022/9/15322.5.4 2.5.4 非平稳随机过程的功率谱非平稳随机过程的功率谱3)对时变谱求时间平均对时变谱求时间平均等价于等价于第32页，此课件共46页哦2022/9/15332.5.4 2.5.4 非平稳随机过程的功率谱非平稳随机过程的功率谱例例2.21：噪声调制的振荡信号噪声调制的振荡信号 其中其中N(t)是平稳噪声，求是平稳噪声，求X(t)的功率谱的功率谱第33页，此课件共46页哦2022/9/1534
15、第二章随机过程的基本概念第二章随机过程的基本概念 n n2.6 2.6 典型的随机过程典型的随机过程第34页，此课件共46页哦2022/9/15352.6.1 2.6.1 白噪声白噪声n加性噪声独立于有用信号加性噪声独立于有用信号n噪声来源：人为噪声、自然噪声、内部噪声噪声来源：人为噪声、自然噪声、内部噪声n噪声分类：确知噪声、随机噪声噪声分类：确知噪声、随机噪声n随机噪声分类随机噪声分类n单频噪声（外台，窄带）：并不总是存在单频噪声（外台，窄带）：并不总是存在n脉脉冲冲噪噪声声（点点火火、闪闪电电，幅幅度度大大、时时间间短短，频频带带宽宽）：安安静静期期长长，对对模模拟拟话话音音影影响响不不
16、大大，但但对对数数字字通通信信易易造造成误码，可使用纠错编码成误码，可使用纠错编码 n起起伏伏噪噪声声（热热、散散弹弹、宇宇宙宙）：普普遍遍存存在在不不可可避避免免，可可认认为为是是一一种种高高斯斯噪噪声声，并并且且在在相相当当宽宽的的频频率率范范围围内内具有平坦的功率谱密度具有平坦的功率谱密度 第35页，此课件共46页哦2022/9/15362.6.1 2.6.1 白噪声白噪声平稳白噪声：随机过程平稳白噪声：随机过程X(t)均值为均值为0，自相关函数为，自相关函数为平稳白噪声功率谱密度：平稳白噪声功率谱密度：白噪声的功率谱密度和自相关函数白噪声的功率谱密度和自相关函数 第36页，此课件共46
17、页哦2022/9/15372.6.1 2.6.1 白噪声白噪声白噪声相关系数：白噪声相关系数：第37页，此课件共46页哦2022/9/15382.6.1 2.6.1 白噪声白噪声n带限白噪声带限白噪声只有以频率只有以频率 2f0 对带限白噪声进行抽对带限白噪声进行抽样时，各样值才互不相关样时，各样值才互不相关第38页，此课件共46页哦2022/9/15392.6.2 2.6.2 正态随机过程正态随机过程如果一个随机过程如果一个随机过程X(t)的任意的任意n 维分布都服从正态分布，维分布都服从正态分布，则称该随机过程为正态随机过程。则称该随机过程为正态随机过程。一维分布一维分布N维分布第39页，
18、此课件共46页哦2022/9/15402.6.2 2.6.2 正态随机过程正态随机过程平稳正态过程平稳正态过程 设设X(t)是正态随机过程，若有是正态随机过程，若有 则则X(t)称为称为广义平稳正态过程广义平稳正态过程。第40页，此课件共46页哦2022/9/15412.6.2 2.6.2 正态随机过程正态随机过程性质：性质：1.对于正态随机过程而言，广义平稳与严格平稳等价；对于正态随机过程而言，广义平稳与严格平稳等价；2.对于正态随机过程而言，不相关与独立等价；对于正态随机过程而言，不相关与独立等价；3.一般平稳正态噪声与信号之和为非平稳的正态过程。一般平稳正态噪声与信号之和为非平稳的正态过
19、程。4.若平稳正态过程具有均匀的功率谱密度，则称此若平稳正态过程具有均匀的功率谱密度，则称此过程为平稳正态白噪声。满足过程为平稳正态白噪声。满足 第41页，此课件共46页哦2022/9/15422.6.2 2.6.2 正态随机过程正态随机过程n一维正态分布一维正态分布n关于关于 a 对称：对称：f(a+x)=f(a-x)n在点在点 a 处取极大值处取极大值:第42页，此课件共46页哦2022/9/15432.6.2 2.6.2 正态随机过程正态随机过程n概率积分函数概率积分函数:n标准化正态分布标准化正态分布:n 概率分布函数概率分布函数:n 误差函数误差函数:第43页，此课件共46页哦2022/9/15442.6.2 2.6.2 正态随机过程正态随机过程nQ函数：函数：第44页，此课件共46页哦n随机过程的基本概念及定义随机过程的基本概念及定义n随机过程的统计描述随机过程的统计描述n概率分布概率分布n数字特征数字特征n平稳随机过程平稳随机过程n不同类型的平稳的概念不同类型的平稳的概念n平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的性质n各态历经性各态历经性本章小结本章小结第45页，此课件共46页哦2022/9/15感谢大家观看第46页，此课件共46页哦