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1、高三高三数学数学复习复习实效性解析实效性解析n一、高三数学复习的宏观思考一、高三数学复习的宏观思考-基本理念、思想方法基本理念、思想方法n二、高三一轮复习策略分析二、高三一轮复习策略分析-通过案例分析，说明一轮复习通过案例分析，说明一轮复习如何落如何落实实上述理念、方法上述理念、方法n三、三、20142014课标卷的一些启示课标卷的一些启示一、高三数学复习的宏观思考一、高三数学复习的宏观思考n制约高考复习效率的几个要素制约高考复习效率的几个要素n其一，高三一年复习无层次，一、二轮其一，高三一年复习无层次，一、二轮复习无区别，复习无区别，“夹生饭夹生饭”反复炒。反复炒。n其二，以其二，以“解题解
2、题”代替概念复习，反复代替概念复习，反复巩固操作性技能，巩固操作性技能，导致两个后果导致两个后果：n学生领会概念先天不足，同类问题反复学生领会概念先天不足，同类问题反复错；错；n强化题型作用，知识结构、思想方法难强化题型作用，知识结构、思想方法难以把握，题型一变，束手无策。以把握，题型一变，束手无策。对策之一：强调三个轮次复习的区别对策之一：强调三个轮次复习的区别n复习好比复习好比“盖大楼盖大楼”.n第一轮复习的功能相当于第一轮复习的功能相当于“打地基打地基”，侧重侧重整体布局，构建知识网络，复习着整体布局，构建知识网络，复习着眼点眼点强调强调知识的结构性把握，克服知识的结构性把握，克服“见见
3、木不见林木不见林”弊端弊端n要实现这样的预期，就应该要实现这样的预期，就应该强调强调用用主干主干问题反映基本规律、思想方法，问题反映基本规律、思想方法，控制控制难难度，度，降低降低综合性，综合性，深化深化概念的理解概念的理解，落落实实通性通法，帮学生通性通法，帮学生树立树立“战略上藐视战略上藐视敌人敌人”的信心。的信心。n第二轮复习的功能相当于第二轮复习的功能相当于“建主体建主体”，通常以，通常以专题形式专题形式复习，通过解一定复习，通过解一定量的综合题，达到巩固知识、熟练技量的综合题，达到巩固知识、熟练技法、提炼思想、发展能力的目的。法、提炼思想、发展能力的目的。n从心理上帮学生树立从心理上
4、帮学生树立“战术上重视敌战术上重视敌人人”的观念。的观念。n第三轮复习相当于第三轮复习相当于“精装修精装修”，通常围，通常围绕模拟考点进行比较深入细致的讨论，绕模拟考点进行比较深入细致的讨论，同时注意查漏补缺，根据模拟考试的情同时注意查漏补缺，根据模拟考试的情况，加强教学诊断，对同学实施有针对况，加强教学诊断，对同学实施有针对性的考前辅导，培养仔细严谨、有错必性的考前辅导，培养仔细严谨、有错必究的思维品质。究的思维品质。n所以，三个轮次的复习所以，三个轮次的复习目的目的要求不一，要求不一，内容内容错落有别，错落有别，难度难度循序渐进，而循序渐进，而不不是是简单地重复简单地重复，更不是，更不是“
5、夹生饭夹生饭”反复炒反复炒。对策之二：复习目标宜实对策之二：复习目标宜实不宜高不宜高n一轮复习很关键，制约着后续复习的效一轮复习很关键，制约着后续复习的效果，所以，复习目标宜实不宜高果，所以，复习目标宜实不宜高。n（1 1）结构上把握结构上把握不同内容的知识体系不同内容的知识体系 n（2 2）洞悉各知识板块的洞悉各知识板块的基本思想基本思想、基、基本技能本技能n（3 3）通过阅读理解，养成）通过阅读理解，养成落笔有据、落笔有据、会而必对会而必对的思维品质，凭借严密的思考，的思维品质，凭借严密的思考，规范的表达，会到哪做到哪，不会不做规范的表达，会到哪做到哪，不会不做心里不慌。心里不慌。n学生基
6、础学生基础好好，我们复习内容起点可我们复习内容起点可以高一些，否则可以低一些，但一以高一些，否则可以低一些，但一轮复习应该尽力实现前三条轮复习应该尽力实现前三条基本要基本要求。求。n（4 4）培养学生面对陌生的问题情景，）培养学生面对陌生的问题情景，挖掘隐含信息，综合运用数学知识挖掘隐含信息，综合运用数学知识解决问题的能力和心理素质。解决问题的能力和心理素质。n第四条可以作为高三一年的努力方第四条可以作为高三一年的努力方向。向。二、高三一轮复习策略分析二、高三一轮复习策略分析n我想讲四个问题：我想讲四个问题：n1 1、一轮复习、一轮复习如何如何突出主干、通性通法，突出主干、通性通法，降低综合性
7、降低综合性n2 2、一轮复习、一轮复习如何如何整体把握概念系统、整体把握概念系统、研究方法研究方法n3 3、一轮复习、一轮复习如何如何实施具体概念的复习实施具体概念的复习？n4 4、复习课上、复习课上如何如何实施解题教学？实施解题教学？1 1、一轮复习如何突出主干、通性通、一轮复习如何突出主干、通性通法，降低综合性法，降低综合性n以解三角形的复习为例，设计如下：以解三角形的复习为例，设计如下：n（1 1）把解直角三角形与解斜三角形问题整把解直角三角形与解斜三角形问题整合合n为什么？两点理由：为什么？两点理由：n（1 1）通过作垂线通过作垂线“化斜为直化斜为直”，可可把任意把任意三角形转化为直角
8、三角形来解三角形转化为直角三角形来解；n（2 2）但有时不太方便，）但有时不太方便，正、余弦定理必然正、余弦定理必然是解直角三角形是解直角三角形“工具工具”技术革新的产物。技术革新的产物。教学中要引导学生看到正、余弦定理给我们教学中要引导学生看到正、余弦定理给我们带来的计算优势，尽享带来的计算优势，尽享“革新革新”后的便捷。后的便捷。另一方面，另一方面，“化斜为直化斜为直”依然可能是问题解依然可能是问题解决的最佳策略。决的最佳策略。（2 2）例题选配）例题选配“舍末求本、突出主干舍末求本、突出主干”（3 3）沟通正、余弦定理的联系）沟通正、余弦定理的联系n沟通沟通两定理的两定理的联系联系，分析
9、分析正弦定理、余正弦定理、余弦定理解决同一个问题的有效性，符合弦定理解决同一个问题的有效性，符合一轮复习追求结构性把握的意图；一轮复习追求结构性把握的意图；n沟通联系可有两个途径：沟通联系可有两个途径：n其一，通过具体题目用多种方法解决；其一，通过具体题目用多种方法解决；n其二，证明正、余弦定理等价。其二，证明正、余弦定理等价。n例例2 2：证明证明正正、余、余弦弦定理等价定理等价n虽有一定难度，但恰好是对一轮复习虽有一定难度，但恰好是对一轮复习降低综合性要求的弥补，而化简、等降低综合性要求的弥补，而化简、等价变形能力是学好数学之本，可谓价变形能力是学好数学之本，可谓“难得其所难得其所”；n另
10、外另外，推证过程如运用，推证过程如运用“分析与综合分析与综合”等推理方法，完全可回避和差化积，等推理方法，完全可回避和差化积，只需和角公式、同角的平方关系、因只需和角公式、同角的平方关系、因式分解等技能即可完成。式分解等技能即可完成。怎样的设计难以分出三轮复习层次？怎样的设计难以分出三轮复习层次？两种设计理念的差异分析两种设计理念的差异分析n方案方案1 1：通过三个环节，体现：通过三个环节，体现简单问题反映简单问题反映基本规律、思想方法，基本规律、思想方法，控制控制习题难度，习题难度，降降低低综合性，综合性，突出突出主干，主干，深化深化基本概念的理基本概念的理解与解与落实落实通性通法通性通法。
11、n方案方案2 2：加大综合性，主干不太突出，淡化：加大综合性，主干不太突出，淡化了解直角三角形、一般三角形、两个定理了解直角三角形、一般三角形、两个定理的结构性把握，尤其对基础的落实，不太的结构性把握，尤其对基础的落实，不太关注。关注。n这样复习，如何区分三个复习层次？一轮这样复习，如何区分三个复习层次？一轮复习到这样综合度，二、三轮复习什么？复习到这样综合度，二、三轮复习什么？n按方案按方案1 1的复习设计，符合高考对解三的复习设计，符合高考对解三角形内容的考查导向角形内容的考查导向此题把解直角三角形和一般三角形融合起来。此题把解直角三角形和一般三角形融合起来。此题考查要点与我们方案此题考查
12、要点与我们方案1 1重视方程、化简、重视方程、化简、变换的理念是一致的。变换的理念是一致的。2 2、一轮复习要整体把握概念系统、研究、一轮复习要整体把握概念系统、研究方法方法n一轮复习中，要追求一轮复习中，要追求把握把握知识系统，知识系统，整体整体熟悉熟悉研究方法。以呈现一轮复习为二轮专研究方法。以呈现一轮复习为二轮专题复习题复习奠基的特征。奠基的特征。n以向量复习为例以向量复习为例n向量知识向量知识散见于散见于必修必修4 4和选修和选修2-12-1，更显引，更显引导学生把握知识体系之重要。导学生把握知识体系之重要。n就全国范围来看，学生对向量工具的运用，就全国范围来看，学生对向量工具的运用，
13、远没有解析几何方法熟练，与我们教学、远没有解析几何方法熟练，与我们教学、复习不到位有关。复习不到位有关。（1 1）首先，从逻辑上把握向量）首先，从逻辑上把握向量n逻辑起点逻辑起点-向量的两个特性向量的两个特性n平移不变自身，数乘不变共线。平移不变自身，数乘不变共线。n由此导致：由此导致：n向量不区分平行与共线；向量不区分平行与共线；n把数乘运算视为涨缩变换，若两向量平行，把数乘运算视为涨缩变换，若两向量平行，其一是其二涨缩的结果。其一是其二涨缩的结果。n于是，向量于是，向量a/b,a/b,有且仅有实数有且仅有实数，使，使b=b=a a成立。（成立。（直线向量基本定理直线向量基本定理）重要逻辑结
14、点重要逻辑结点向量基本定理向量基本定理n用用至少至少的量表示的量表示更多更多的量，是人类智慧的结的量，是人类智慧的结晶，如同晶，如同“公理化公理化”思想，从至少的公理出思想，从至少的公理出发，推及更多的定理。发，推及更多的定理。n所以，所以，选基底选基底如同选代表，都是如同选代表，都是求简求简思维的思维的产物。产物。n选一维基向量表示共线向量（选一维基向量表示共线向量（直线向量基本直线向量基本定理定理）n选二维基向量表示共面向量（选二维基向量表示共面向量（平面向量基本平面向量基本定理，两个特性可提供保证定理，两个特性可提供保证）n选三维基向量表示空间向量（选三维基向量表示空间向量（空间向量基本
15、空间向量基本定理，两个特性可提供保证定理，两个特性可提供保证）基本定理衍生知识体系基本定理衍生知识体系n基向量的基向量的规范化规范化-模长取模长取1 1，两两垂直。，两两垂直。n分离出基向量系数，完成任意向量的分离出基向量系数，完成任意向量的（直角直角）坐标表示（如没有基向量的）坐标表示（如没有基向量的规范化，两个基向量系数也可构成规范化，两个基向量系数也可构成仿仿射坐标）射坐标）n类比要素：一维坐标，二维坐标，三类比要素：一维坐标，二维坐标，三维坐标，实现维坐标，实现向量坐标化，向量坐标化，进而得坐进而得坐标运算法则。标运算法则。（2 2）其次，从运算上把握向量）其次，从运算上把握向量n线性
16、运算：线性运算：n加、减法加、减法-三角形法则（平行四边形法三角形法则（平行四边形法则）则）n数乘数乘-共线涨缩共线涨缩n算率：加法交换律、结合率，数乘分配率算率：加法交换律、结合率，数乘分配率n非线性运算：非线性运算：n数量积数量积-不封闭，是对应关系，不封闭，是对应关系，n好处：自身相乘好处：自身相乘=模的平方，这是向量几何模的平方，这是向量几何中求距离的独门绝技，与勾股定理一致。中求距离的独门绝技，与勾股定理一致。向量法向量法-“三步曲三步曲”（1 1）（）（凭借基本定理）凭借基本定理）几何线段转化几何线段转化为向量；为向量；（2 2）（）（凭借算率、法则凭借算率、法则）进行向量运）进行
17、向量运算，研究线段之间的关系，如模长、算，研究线段之间的关系，如模长、夹角等问题；夹角等问题；（3 3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何结论成几何结论n向量向量几何（不依赖坐标系）几何（不依赖坐标系）与解析几与解析几何并行不悖，都是基于何并行不悖，都是基于“代数方法解代数方法解决几何问题的产物决几何问题的产物”。反思向量之反思向量之“魅力魅力”n（1）数乘不变共线圆满解决了）数乘不变共线圆满解决了“平行平行”和和“三点共线三点共线”的相关证明问题的相关证明问题（证明方向向量的数乘关系）；（证明方向向量的数乘关系）；n（2 2）数量积为零等价于）数量积为零等价于“垂直垂直”，圆，圆满解决
18、了满解决了“垂直垂直”的相关证明问题；的相关证明问题；有时比斜率之积为有时比斜率之积为-1-1好用；好用；n（3 3）数量积运算（映射）的不封）数量积运算（映射）的不封闭性，解决了模长（两点间距离）闭性，解决了模长（两点间距离）的计算问题；的计算问题；n（4 4）用向量的坐标形式完成数量）用向量的坐标形式完成数量积，与定义式两种运算结果的沟积，与定义式两种运算结果的沟通，解决了两向量成角问题。通，解决了两向量成角问题。高考高考选填题选填题对向量的常见考查方式对向量的常见考查方式n（1 1）考运算法则）考运算法则（2 2）考运算法则与几何性质）考运算法则与几何性质（3 3）考与基本定理相关的概念
19、）考与基本定理相关的概念3 3、一轮复习中如何实施概念复习、一轮复习中如何实施概念复习n学习数学，我们承认的事实是：学习数学，我们承认的事实是：n概念的理解不到位，制约解题能力的提概念的理解不到位，制约解题能力的提升；升；n反之，解题过程有助于概念的深化理解反之，解题过程有助于概念的深化理解n当前学生对当前学生对概念理解不到位问题严重。概念理解不到位问题严重。n告诉式：告诉式：“一个定义，三项注意一个定义，三项注意”，不，不提供概念的问题背景，不给学生概括、提供概念的问题背景，不给学生概括、理解的机会。导致学生对概念理解的先理解的机会。导致学生对概念理解的先天不足，严重制约解题能力。天不足，严
20、重制约解题能力。n学者们对概念教学异常重视，如李邦河学者们对概念教学异常重视，如李邦河院士：数学根本上是玩概念的，不是玩院士：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！技巧技巧不足道也！n数学是思维的科学，概念是思维的细胞，数学是思维的科学，概念是思维的细胞，因此，我们要确立概念教学的因此，我们要确立概念教学的核心地位核心地位。n概念教学的核心是概念教学的核心是概括概括：引导学生引导学生观察观察生成概念的生成概念的系列问题系列问题、浓缩数学家的思、浓缩数学家的思维过程，抽象本质属性，概括数学概念。维过程，抽象本质属性，概括数学概念。我们的问题：如何复习概念？我们的问题：如何复习概念？n复习
21、课常见方式：复习课常见方式：“先罗列概念，再对应性先罗列概念，再对应性的例题选讲的例题选讲”。n这种这种“油水分离油水分离”的课，一般不会有好效果，的课，一般不会有好效果，因为因为“罗列罗列”对优等生来说不新奇，对后进对优等生来说不新奇，对后进生来说，光凭生来说，光凭“罗列罗列”会不了，几乎全体学会不了，几乎全体学生难有兴趣。生难有兴趣。n有效方式：不论新授与复习，有效方式：不论新授与复习，重点概念采取重点概念采取“问题驱动问题驱动”，在解决问题中获取概念。，在解决问题中获取概念。n但复习课问题要简约，以体现与新授课区别但复习课问题要简约，以体现与新授课区别案例案例1 1：三个二次：三个二次
22、二次方程的根，二次函数的零点，二次方程的根，二次函数的零点，最值，二次不等式的解集，密切相关，最值，二次不等式的解集，密切相关，重要性不言而喻。一轮复习之初，一定重要性不言而喻。一轮复习之初，一定要复习，但方式值得研究。要复习，但方式值得研究。按照问题导学原则，我们可以抛出按照问题导学原则，我们可以抛出题目，投石问路，引导学习。题目，投石问路，引导学习。案例案例2 2：复习复习“直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质”n可由以下问题驱动：可由以下问题驱动：n（1 1）若直线若直线a a与已知平面与已知平面平行，你如何平行，你如何确定一条过平面确定一条过平面上一点上一点P P的直线，使它与的直
23、线，使它与直线直线 a a平行？平行？如何证明？如何证明？n（2 2）从中可推出什么性质？请用符号语言从中可推出什么性质？请用符号语言表述这一性质定理。表述这一性质定理。n（3 3）根据这一性质，说明平面内有多少条根据这一性质，说明平面内有多少条直线与已知直线平行？直线与已知直线平行？n这样这样复习的复习的好处是好处是：n逼出逼出“搭平面，得交线搭平面，得交线”，以以“线面平线面平行则线线平行行则线线平行”的的产生过程产生过程奠定记忆基奠定记忆基础础。n推证线线平行推证线线平行的过程，又涉及的过程，又涉及知识的知识的运运用用过程过程（共面直线不相交则平行）。（共面直线不相交则平行）。n整合整合
24、知识的知识的产生过程产生过程、运用运用过程，过程，必然必然全面提升理解层次，优化了学习过程。全面提升理解层次，优化了学习过程。案例案例3 3：辅助角公式的复习：辅助角公式的复习n三角函数中的三角函数中的“辅助角公式辅助角公式”，实，实现了正弦波的叠加，几乎是历年高现了正弦波的叠加，几乎是历年高考的重要考点。考的重要考点。n为增进学生深入理解和自觉运用，为增进学生深入理解和自觉运用，可采用如下问题驱动，复习辅助角可采用如下问题驱动，复习辅助角公式。公式。案例案例4 4：平面向量基本定理：平面向量基本定理n为体现新授与复习的区别，我们分别介绍：为体现新授与复习的区别，我们分别介绍：n新授课新授课问
25、题引导学习：问题引导学习：n（1 1）甲存钱）甲存钱a a元，乙存钱数是甲的元，乙存钱数是甲的3 3倍，丙是倍，丙是1.51.5倍，丁欠别人钱数是甲的倍，丁欠别人钱数是甲的2 2倍，如何表示用倍，如何表示用甲的钱数表示乙、丙、丁的钱数？甲的钱数表示乙、丙、丁的钱数？n（2 2）平面上有一个基本向量）平面上有一个基本向量a,a,平面上哪些向平面上哪些向量可以由量可以由a a表示？表示？n（3 3）平面上哪些向量不可以由）平面上哪些向量不可以由a a表示？表示？n（4 4）能否增加一个基本向量）能否增加一个基本向量b,b,实现平面上任实现平面上任意向量都可以由基本向量意向量都可以由基本向量a a，
26、b b表示？表示？n（5 5）教师随机在黑板画三个向量（无）教师随机在黑板画三个向量（无两两共线），向学生提出任务，通过平两两共线），向学生提出任务，通过平移、涨缩，用其中两个表示另一个。移、涨缩，用其中两个表示另一个。n学生可能的想法：三个向量都可平移到学生可能的想法：三个向量都可平移到共起点，选两个向量（共起点，选两个向量（正向或反向正向或反向）涨）涨缩后作为平行四边形的两邻边，总可实缩后作为平行四边形的两邻边，总可实现第三个向量作为该平行四边形的对角现第三个向量作为该平行四边形的对角线。线。n估计涨缩系数，完成线性表示。估计涨缩系数，完成线性表示。n概括概括“平面向量基本定理平面向量基本
27、定理”n高三一轮复习高三一轮复习“基本定理基本定理”，不做问不做问题（题（1-41-4）的铺垫，直接给问题）的铺垫，直接给问题:n(1)(1)黑板上随机画三个向量（无两两共黑板上随机画三个向量（无两两共线），向学生提出任务，通过平移、线），向学生提出任务，通过平移、涨缩，用其中两个表示另一个。涨缩，用其中两个表示另一个。n(2)(2)接（接（1 1），基向量在什么条件下，），基向量在什么条件下，它们的两个系数可作所表示向量的直它们的两个系数可作所表示向量的直角坐标？空间呢？角坐标？空间呢？n（3 3）练习：点）练习：点D D是是ABCABC中中BCBC边的中点，边的中点，任选基底，表示向量任选
28、基底，表示向量ADAD这是基于复习概念的解题，要提炼这是基于复习概念的解题，要提炼“基底表示基底表示”的思想方法。的思想方法。4 4、复习课上的解题教学、复习课上的解题教学n看北京情况，解题教学常见两种误区：看北京情况，解题教学常见两种误区：n（1 1）学生思维参与度低，教师热衷单向讲）学生思维参与度低，教师热衷单向讲授，甚至授，甚至解法罗列解法罗列。n（2 2）不追求）不追求深入理解概念深入理解概念、不不突出突出落实落实通通性通法，性通法，但追求一些但追求一些对号入座的所谓对号入座的所谓解题解题规规律律、应试应试技巧技巧。n两种现象都造成学生内化程度降低，过分依两种现象都造成学生内化程度降低
29、，过分依赖大量练习，题型覆盖，虽有效果，但投入赖大量练习，题型覆盖，虽有效果，但投入和收效不成正比，试题一变，往往束手无策。和收效不成正比，试题一变，往往束手无策。导致解题效率低下。导致解题效率低下。什么是理想的解题教学？什么是理想的解题教学？n与其说与其说教解法教解法，不如说，不如说教想法。教想法。n学生审题、独立思考说学生审题、独立思考说“想法想法”（必要必要时时教师引导）；教师引导）；n其他同学质疑、补充，实施其他同学质疑、补充，实施“想法想法”，落实到纸笔功夫；落实到纸笔功夫；n最后师生提炼思想方法。一个回合过后，最后师生提炼思想方法。一个回合过后，讨论变式、一题多解、多变。讨论变式、
30、一题多解、多变。n强调强调学生说学生说“想法想法”符合建构主义的观符合建构主义的观点，如同睡觉，要亲自睡，别人不能替点，如同睡觉，要亲自睡，别人不能替n如此教学方式在生源优质校没困难，如此教学方式在生源优质校没困难，在一般学校，可先在个别班实施，基在一般学校，可先在个别班实施，基础不好的学校，不妨从课堂局部做起础不好的学校，不妨从课堂局部做起n这样做的好处在于：这样做的好处在于：n（1 1）着力改善解数学题过分）着力改善解数学题过分依赖依赖题型题型记忆、复制模仿的状况。记忆、复制模仿的状况。n（2 2）尽力使学生在崭新的习题情境前，）尽力使学生在崭新的习题情境前，根据已有的数学经验，以根据已有
31、的数学经验，以研究者研究者的心的心态，挖掘隐含信息，分析、解决问题。态，挖掘隐含信息，分析、解决问题。n学生形成学生形成“想法想法”要经历如下心路历程要经历如下心路历程n（1 1）阅读理解；）阅读理解；n（2 2）挖掘隐含信息；）挖掘隐含信息；n（3 3）依据自己的固有经验、思想方法，）依据自己的固有经验、思想方法，实现化归。实现化归。n学生独立思考，学生独立思考，形成想法形成想法的意志力需要的意志力需要在失败中磨砺，需要在成功中固化。在失败中磨砺，需要在成功中固化。n更更需要稳定的需要稳定的数学思想方法数学思想方法构成心理基构成心理基础的支撑。础的支撑。常用的思想方法有哪些？常用的思想方法有
32、哪些？n史宁中先生提出数学三大基本思想：史宁中先生提出数学三大基本思想：n抽象抽象（催生数学）、（催生数学）、推理推理（发展数学）；（发展数学）；模型模型（反促数学）（反促数学）n这最上位的三大基本思想又演变、派这最上位的三大基本思想又演变、派生出许多思想，反映出大道理统驾小生出许多思想，反映出大道理统驾小道理。比如：道理。比如：n抽象的思想抽象的思想-符号表示、集合划分、符号表示、集合划分、分类讨论、有限与无限分类讨论、有限与无限，等等；，等等；n推理的思想推理的思想-公理化、归纳、演绎、公理化、归纳、演绎、转换划归、联想类比、恒等代换、特殊转换划归、联想类比、恒等代换、特殊与一般的思想与一
33、般的思想，等等；，等等；n建模的思想建模的思想-函数建模、方程建模、函数建模、方程建模、随机抽样、概率模型随机抽样、概率模型，等等；，等等；n中学生解题中常用的数学思想都可以中学生解题中常用的数学思想都可以追追溯到三大基本思想上溯到三大基本思想上。n“数学思想数学思想”往往是观念的、概括的。往往是观念的、概括的。n“数学方法数学方法”往往是操作的、程序的。往往是操作的、程序的。n解决问题时，数学思想支配程序化操作，解决问题时，数学思想支配程序化操作，形成数学方法。形成数学方法。n相对上位相对上位的的“基本方法基本方法”有：函数与方有：函数与方程、演绎（合情）推理、等价变形（程、演绎（合情）推理
34、、等价变形（化化归归）、分类讨论、数形结合，等。）、分类讨论、数形结合，等。n相对相对下位下位的有：消元、换元、配方、待的有：消元、换元、配方、待定系数法、反证法、分析法、综合法定系数法、反证法、分析法、综合法等等。等等。n解题时思想统领方法，方法体现思想。解题时思想统领方法，方法体现思想。n二者相比而言，数学思想是教学的精二者相比而言，数学思想是教学的精髓，若没有思想只能培养髓，若没有思想只能培养“熟练工熟练工”。n但是，教学中的一些功利做法往往是但是，教学中的一些功利做法往往是强调方法而忽略思想强调方法而忽略思想，这不利于考试，这不利于考试时的时的稳定发挥。稳定发挥。例说例说1 1：函数思
35、想方法的运用：函数思想方法的运用n三个层次的问题：三个层次的问题：n（1 1）强化学生勾勒函数草图的习惯）强化学生勾勒函数草图的习惯n（2 2）提升函数建模的自觉性）提升函数建模的自觉性n（3 3）用函数的观点审视综合问题）用函数的观点审视综合问题（1 1）强化学生勾勒函数草图的习惯强化学生勾勒函数草图的习惯运用函数图像解决问题，是历年高考的热点运用函数图像解决问题，是历年高考的热点n几道题足以说明，各地卷非常重视勾画几道题足以说明，各地卷非常重视勾画函数草图，数形结合能力的考查。函数草图，数形结合能力的考查。n“数形结合数形结合”既是能力，也是习惯，基既是能力，也是习惯，基础不好的同学解题时
36、，往往缺乏借助础不好的同学解题时，往往缺乏借助“草图草图”的直观性，揭示较为隐蔽的数量的直观性，揭示较为隐蔽的数量关系的习惯关系的习惯。n通过通过练习练习来促进数学基础一般的学生养来促进数学基础一般的学生养成这种习惯，成这种习惯，不仅可行，而且有效。不仅可行，而且有效。n再举一例再举一例:最有效还是勾勒草图。最有效还是勾勒草图。由函数由函数ln(x+1)(x0)ln(x+1)(x0)的图像在直线的图像在直线y=axy=ax上上方，可知方，可知a 0;a 0;由函数由函数 的图的图像在直线像在直线y=axy=ax上方知上方知a-2a-2；（-2-2是函数在是函数在x=0 x=0处处的导数的导数）
37、故选故选2,02,0。函数函数 与直与直线线y=axy=ax的草图的草图如此选项，值得组织研究性学习如此选项，值得组织研究性学习（2 2）提升函数建模的自觉性）提升函数建模的自觉性n在构建函数模型的过程中，我们需要在构建函数模型的过程中，我们需要甄别一对相互制约、相互依存的变量，甄别一对相互制约、相互依存的变量，谁是主动的，谁是被动的，通常把主谁是主动的，谁是被动的，通常把主动的变量作为自变量，并用它表示出动的变量作为自变量，并用它表示出因变量，得到函数关系因变量，得到函数关系。n如果我们把这种思想方法迁移到解析如果我们把这种思想方法迁移到解析几何题目的动态系统中，就可以把相几何题目的动态系统
38、中，就可以把相对零散的解题步骤，统驾于一个稳定对零散的解题步骤，统驾于一个稳定的解题策略之下。的解题策略之下。（3 3）用函数的观点审视综合问题）用函数的观点审视综合问题n有的问题表面上不是函数问题，但借鉴函有的问题表面上不是函数问题，但借鉴函数观点，确立基本量来解决。数观点，确立基本量来解决。例说例说2 2：通过小问题，说明大道理通过小问题，说明大道理n设计意图：设计意图：n（1 1）圆锥曲线之间有）圆锥曲线之间有“血统血统”关系，关系，这组问题提出，发展学生类比能力，欣这组问题提出，发展学生类比能力，欣赏数学美感。赏数学美感。n（2 2）从直径到过定点的弦，两个类似）从直径到过定点的弦，两
39、个类似结论是互逆命题，可用结论是互逆命题，可用“充要条件充要条件”表表述，以发展学生的概括能力。述，以发展学生的概括能力。n（3 3）从问题）从问题1 1的直接求交点坐标的直接求交点坐标,到问到问题题2,32,3的利用根系关系解决问题，让学的利用根系关系解决问题，让学生体会根系关系的便捷，提高技能水平。生体会根系关系的便捷，提高技能水平。n总评总评：“发现一个问题比解决一个问题还重发现一个问题比解决一个问题还重要要”是爱因斯坦备受大家推崇的的名句，是爱因斯坦备受大家推崇的的名句，由此折射出人们对创新思维的渴望，对教育由此折射出人们对创新思维的渴望，对教育评价的取向。评价的取向。n与之大相径庭的
40、是，说中国课堂教学是与之大相径庭的是，说中国课堂教学是“去去问题问题”的教学等批评之声不绝于耳。事实果的教学等批评之声不绝于耳。事实果真如此吗？真如此吗？n本节课的本节课的起点虽低，但对起点虽低，但对解析法解析法的要求对学的要求对学生恰如其分。同时，还为圆锥曲线之间的类生恰如其分。同时，还为圆锥曲线之间的类比创设了一个比创设了一个适宜的情境适宜的情境，所以，学生可能，所以，学生可能会带着很多问题离开课堂会带着很多问题离开课堂。n我们希望在课题引入、观察发现、演绎证明、我们希望在课题引入、观察发现、演绎证明、类比推广、合理发散类比推广、合理发散”几个环节几个环节中，虽然需中，虽然需要教师的要教师
41、的“导导”，但学生，但学生都都应该自始至终居应该自始至终居于学习的主体地位于学习的主体地位。n无论是无论是“大胆猜测大胆猜测”，还是，还是“小心求证小心求证”，教师都尽力使学生成为知识脉络延伸的推动教师都尽力使学生成为知识脉络延伸的推动者，使课堂教学目标有较好的达成度。者，使课堂教学目标有较好的达成度。n这样高三复习，我们既着眼于这样高三复习，我们既着眼于“巩固技能巩固技能”、“培养能力培养能力”，还可以在培养实践能力与，还可以在培养实践能力与创新精神方面有所作为。创新精神方面有所作为。n教师备课影响着学生的教师备课影响着学生的学习效率学习效率。三、三、20142014课标卷的一些启示（拾遗）
42、课标卷的一些启示（拾遗）n1 1、灵活的运算能力、灵活的运算能力n2 2、数形结合能力、数形结合能力n3 3、对逻辑能力的考查、对逻辑能力的考查n4 4、对数列的考查、对数列的考查n5 5、立体几何的考查、立体几何的考查n6 6、导数的考查、导数的考查1 1、灵活的运算能力、灵活的运算能力对称观点在解题中的运用对称观点在解题中的运用2 2、数形结合能力、数形结合能力重要启示：在重要启示：在OMN45OMN450 0时，圆上存在符合条件的时，圆上存在符合条件的点，是非逻辑的、直觉的思维！点，是非逻辑的、直觉的思维！3 3、对逻辑能力的考查、对逻辑能力的考查n20142014新课标新课标理理14.
43、14.甲、乙、丙三位同学被问到甲、乙、丙三位同学被问到是否去过是否去过A A，B B，C C三个城市时，三个城市时，n甲说：我去过的城市比乙多，但没去过甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B B城市；城市；n乙说：我没去过乙说：我没去过C C城市；城市；n丙说：我们三人去过同一个城市丙说：我们三人去过同一个城市.n由此可判断乙去过的城市为由此可判断乙去过的城市为 .n解法分析解法分析：甲说没去过：甲说没去过B B，乙没去过乙没去过C C，三人同去三人同去过同一个城市，过同一个城市，三人同去过，三人同去过，乙至少去过乙至少去过；n若乙再去城市若乙再去城市B B，甲去过的城市至多两个，不可，甲去过的
44、城市至多两个，不可能比乙多，能比乙多，矛盾！由此矛盾！由此可判断乙可判断乙去过去过且仅去且仅去过过城城.2014北京理北京理8 n学生的语文、数学成绩被评为三个等级，依学生的语文、数学成绩被评为三个等级，依次为优秀、合格、不合格，若学生甲的语文、次为优秀、合格、不合格，若学生甲的语文、数学两科都不低于学生乙，且至少有一门成数学两科都不低于学生乙，且至少有一门成绩高于乙，则称绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好学生甲比学生乙成绩好”。如果一组学生中。如果一组学生中没有哪位学生比另一位成没有哪位学生比另一位成绩好绩好，并且，并且不存在不存在语文、数学成绩相同的两语文、数学成绩相同的两位学生，那么，
45、这组学生最多有位学生，那么，这组学生最多有nA 2A 2人人 B 3B 3人人 C 4C 4人人 D 5 D 5人人4 4、对数列的考查、对数列的考查用函数的观点审视数列问题用函数的观点审视数列问题一般的，一般的，f(x)f(x)与与1/f(x)1/f(x)增减性相反，与增减性相反，与-1/f(x)-1/f(x)增减增减性相同。所以，性相同。所以，f(x)-1/f(x)f(x)-1/f(x)与与f(x)f(x)增减性相同。增减性相同。5 5、对立体几何的考查、对立体几何的考查n我们首先承认，在我们首先承认，在“综合法综合法”与与“向量法向量法”的平衡中，有的平衡中，有“向量法向量法”渐强渐强
46、的趋势。的趋势。n但在教学中，但在教学中，不可忽视综合法的奠基作用，不可忽视综合法的奠基作用，要要防止不适当削弱防止不适当削弱“综合法综合法”的倾向。的倾向。n理由有二：理由有二：n（1 1）文科没有向量工具，理科的要求低于）文科没有向量工具，理科的要求低于文科没道理。文科没道理。n（2）有些问题可以把）有些问题可以把“综合法、向量法综合法、向量法”结合起来使用。结合起来使用。新课标试卷新课标试卷支撑了我们的支撑了我们的认识。认识。6 6、导数的考查（、导数的考查（重逻辑重逻辑）最后，提五点具体建议：最后，提五点具体建议：n（1 1）、）、把握复习课把握复习课“质与量质与量”的辩证关系，的辩证
47、关系，不不要要追求课堂大量解题，要重点问题重点解追求课堂大量解题，要重点问题重点解决，做深、做透、做规范决，做深、做透、做规范。n让学生明白什么步骤不写要丢分，做到关键让学生明白什么步骤不写要丢分，做到关键地方不含糊；什么地方略写不丢分，学会使地方不含糊；什么地方略写不丢分，学会使用用“依题意得依题意得”、“化简得化简得”、“解得解得”等等简略术语；简略术语；n要教会学生画示意图要教会学生画示意图帮助理解帮助理解题意，题意，预测解预测解题方向，在题方向，在这方面多下点气力是值得的。这方面多下点气力是值得的。（2 2）例题选择要典型、解题方法）例题选择要典型、解题方法重通性通法，淡化特殊技巧重通
48、性通法，淡化特殊技巧n通性通法一般是自然地，学生往往最通性通法一般是自然地，学生往往最容易、最先想到的就是通性通法，容易、最先想到的就是通性通法，n解题过程要学生当先，充分参与，解题过程要学生当先，充分参与，n有些问题学生没思路，教师要有些问题学生没思路，教师要立足学立足学生已有的知识、经验基础，生已有的知识、经验基础，分析解题分析解题思路产生的合理性、必然性，以提升思路产生的合理性、必然性，以提升学生的策略水平、数学悟性。学生的策略水平、数学悟性。（3 3）适度）适度通过一题多解、一题多变，发通过一题多解、一题多变，发挥例题的增值功能挥例题的增值功能n解题训练效果解题训练效果增值，往往通过典
49、型题目的增值，往往通过典型题目的“横、横、纵延伸纵延伸”来实现来实现。从考题往往在知识交汇点处命。从考题往往在知识交汇点处命制看，适度延伸是必要的。制看，适度延伸是必要的。n“横向延伸横向延伸”一般指一般指“一题多解一题多解”，“纵向延伸纵向延伸”一般指改变例题的条件和结论，采取有层次的一般指改变例题的条件和结论，采取有层次的一题多变的变式教学。一题多变的变式教学。n这样做，可以深化学生对知识的理解，可以融会这样做，可以深化学生对知识的理解，可以融会贯通，可以优化知识结构、优化思维品质、培养贯通，可以优化知识结构、优化思维品质、培养创新意识、激发学习兴趣创新意识、激发学习兴趣，但要量力而行但要
50、量力而行。（4 4）敢于让学生暴露错误，狠抓错解剖敢于让学生暴露错误，狠抓错解剖析，正本清源析，正本清源n教学中，一味地教正确解法，短期内学生也能教学中，一味地教正确解法，短期内学生也能理解，但时间一长，所剩无几。怎么办？理解，但时间一长，所剩无几。怎么办？n对对错题可以让学生先改，然后再讲评；错题可以让学生先改，然后再讲评；n 全班性的错误，要展示错误，剖析原因，使全班性的错误，要展示错误，剖析原因，使学生在错误中汲取教训，促成对问题的深刻理学生在错误中汲取教训，促成对问题的深刻理解。解。n 试卷讲评不要面面俱到，要错误归类，抓住试卷讲评不要面面俱到，要错误归类，抓住最典型问题两、三个，集中