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1、 数学思想方法在小学数学的渗透 人民教育出版社小学数学室陶雪鹤 学生们在初中或高中所学到学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了然而不后不到一两年就忘掉了然而不管他们从事什么职业，那种铭刻管他们从事什么职业，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。工作中发挥着作用。米山国藏米山国藏一 、什么是数学思想方法（可从两方面认识） 对数
2、学知识和所使用的方法的本质认识，是对数学规对数学知识和所使用的方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。律的理性认识。 可从两方面来理解的：广义理解、狭义理解。可从两方面来理解的：广义理解、狭义理解。 数学思想数学思想 中中小小学数学教育、教学中传授的数学思想，应该都是学数学教育、教学中传授的数学思想，应该都是基本数学思想。基本数学思想。 基本数学思想：基本数学思想：指从某些具体数学认识过程中提炼出指从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它在后继认识中被反复证实其正确性，带有的一些观点，它在后继认识中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征。一般意义和相对稳定的特征。包括符号与变元表
3、示的思想，包括符号与变元表示的思想，集合思想，对应思想，公理化与结构思想，数形结合的思集合思想，对应思想，公理化与结构思想，数形结合的思想，化归的思想，函数与方程的思想，极限思想等。想，化归的思想，函数与方程的思想，极限思想等。 数学思想指导下的解决数学问题过程中所运用的具体数学思想指导下的解决数学问题过程中所运用的具体手段（或途径）。手段（或途径）。 具体点说是以数学语言为工具进行科学研究的方法。具体点说是以数学语言为工具进行科学研究的方法。人们一般将数学思想与数学方法统称为数学思想方法。人们一般将数学思想与数学方法统称为数学思想方法。 数学方法数学方法数学思想与数学方法既有区别又有密切的联
4、系。数学思想与数学方法既有区别又有密切的联系。 差异性：差异性：数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性和具体性。数学思想是数学方法实施的依则具有操作性和具体性。数学思想是数学方法实施的依据，数学方法是数学思想得以实现的手段。据，数学方法是数学思想得以实现的手段。 同一性：同一性：表现在表现在“数学思想与数学方法同属方法论数学思想与数学方法同属方法论的范畴的范畴”它们有时是等同的。它们有时是等同的。二、小学数学涉及到的数学思想方法 符号化思想符号化思想什么是数学？数什么是数学？数学就是符号加逻学就是符号加逻辑。辑。 罗素罗素英国著名哲学家数学家英
5、国著名哲学家数学家1数学符号系统的形成。数学符号系统的形成。萌芽状态萌芽状态 从数学早期到从数学早期到1717世纪以前，世纪以前，数字的符号化处于低数字的符号化处于低级的萌芽状态。这个时期的数学家虽然有时也创用一级的萌芽状态。这个时期的数学家虽然有时也创用一些符号来代替文字，但其思想总不能脱离具体的事和些符号来代替文字，但其思想总不能脱离具体的事和物，和物，和“符号化符号化”还有相当的距离。还有相当的距离。以记数符号为例以记数符号为例。 这个时期的数学家还没有形成有意识地、普遍地这个时期的数学家还没有形成有意识地、普遍地用符号来表达数学的思想。以代数的发展为例。人们用符号来表达数学的思想。以代
6、数的发展为例。人们把把代数的发展分为三个阶段：代数的发展分为三个阶段：w文字叙述代数文字叙述代数: :全部计算或推理都用文字语言来表达。全部计算或推理都用文字语言来表达。 w缩写代数：缩写代数：对常出现的量和运算等用缩写方法来表述。对常出现的量和运算等用缩写方法来表述。 w符号代数：符号代数：在运算或推理中普遍使用符号。在运算或推理中普遍使用符号。 17世纪以前，世纪以前，自觉地采用缩写方式简化数学自觉地采用缩写方式简化数学表达的，只有希腊数学家表达的，只有希腊数学家丢番图丢番图（Diophantus ）。）。（公元（公元250年前后）年前后） 他在著名的他在著名的算术算术中创用了一套中创用了
7、一套缩写缩写符号符号。 17世纪以前世纪以前的代数基本上是文字叙述代数和缩写的代数基本上是文字叙述代数和缩写代数。代数。 古代的数学文章中，即使有零星记号出现（也是偶然古代的数学文章中，即使有零星记号出现（也是偶然的、个别的、随意的。的、个别的、随意的。 比如埃及的草片文书中，用一个比如埃及的草片文书中，用一个人走近和走开的腿形来分别表示加法人走近和走开的腿形来分别表示加法和减法）和减法）. 加加 减减A、E、I、O 表示未知数表示未知数 B、G、D 表示已知数表示已知数 对符号代数的形成做出重要贡献的主要是法国的对符号代数的形成做出重要贡献的主要是法国的韦达韦达（Viete）和和笛卡尔（笛卡
8、尔（Descartes）。 a, b, c表示已知数表示已知数 x, y, z 表示未知数表示未知数韦达韦达(1540-1603)笛卡尔笛卡尔(1596-1650 )有意识地、普遍地运用符号有意识地、普遍地运用符号 从从17世纪开始，世纪开始，数学家们的著作中出现了大量的数学家们的著作中出现了大量的数学符号，代数由缩写代数走向符号代数。数学符号，代数由缩写代数走向符号代数。 xiii- 9xii+26x - 240 x3 - 9x2 +26x - 24=0开始注意符号的科学性和合理性。开始注意符号的科学性和合理性。 17世纪后半叶，世纪后半叶，数学家们不仅普遍地使用符号数学家们不仅普遍地使用符
9、号去表述、研究数学，而且开始注意符号的科学性和去表述、研究数学，而且开始注意符号的科学性和合理性。反复研究用怎样的符号才能简洁、准确地合理性。反复研究用怎样的符号才能简洁、准确地反映数学概念的本质。反映数学概念的本质。 莱布尼兹莱布尼兹(1646年年1716年年 )16731673年他创用了微分符号：年他创用了微分符号：d dx,d,dy（是（是sumsum的第一个字母的拉长）的第一个字母的拉长） 16751675年他又创用了积分符号：年他又创用了积分符号： 当时牛顿及许多数学家使用的微当时牛顿及许多数学家使用的微分符号是：分符号是：x y 从从17世纪开始，世纪开始，大量的数学符号一方面根据
10、大量的数学符号一方面根据“适者适者生存生存”的规律，另一方面借助著名数学家的名声，迅速的规律，另一方面借助著名数学家的名声，迅速地成为整个数学界约定共同使用的符号。地成为整个数学界约定共同使用的符号。 如，如，17世纪以前，表示相等关系的符号有：世纪以前，表示相等关系的符号有：，= = 等等其中其中“=”=”是是15571557年英国数学家雷科德首创的。年英国数学家雷科德首创的。 直到直到1717世纪后半叶，在被牛顿、莱布尼兹使用后，由于世纪后半叶，在被牛顿、莱布尼兹使用后，由于他们的名声，加之他们的名声，加之“=”=”确切地表示了相等的含义，使用确切地表示了相等的含义，使用也方便，才成为数学
11、界约定共同使用的符号。也方便，才成为数学界约定共同使用的符号。 人们有意识地、普遍地运用符号去表述、研究人们有意识地、普遍地运用符号去表述、研究数学的思想。数学的思想。 17、18两个世纪里，两个世纪里，形成共同约定的、规范的、形形成共同约定的、规范的、形式化的数学符号系统。式化的数学符号系统。2符号化思想的含义。符号化思想的含义。 建立约定的规范的数学符号系统建立约定的规范的数学符号系统 由三个层次构成：由三个层次构成：w基本符号：基本符号：+ + ，- -；，；，；a，x。 w组合符号：组合符号：“3“32”“2”“a + +b”“”“n!” !” w公式符号：公式符号：“3“32 27”
12、“7”“a + +b = =b + +a”“”“ab” ” 3小学数学中常用的数学符号。小学数学中常用的数学符号。 运算符号：运算符号：如：如：、 、。关系符号关系符号：表示数、式、图形或集合之间的关系的符号称表示数、式、图形或集合之间的关系的符号称为关系符号。为关系符号。 如：如： =, , , , 等。等。性质符号性质符号：表示数或形的性质符号。表示数或形的性质符号。如：正号如：正号“”负号负号“”。结合符号结合符号：如：如：( ( ) ) 等等。B元素符号元素符号：表示数和几何图形的符号。表示数和几何图形的符号。如：阿拉伯数字；表示数的字母，表示常数的字母如：阿拉伯数字；表示数的字母，表
13、示常数的字母；“”表示角，表示角，“”表示三角形等。表示三角形等。4符号化思想在小学数学教材中的体现。符号化思想在小学数学教材中的体现。 在概念的形成过程中，体现出数学符号在概念的形成过程中，体现出数学符号对概对概念本质反映念本质反映的特点。的特点。在表示一些关系式时，渗透符号抽象、简明、在表示一些关系式时，渗透符号抽象、简明、易记的特点。易记的特点。教学教学用字母表示数用字母表示数，体现代数式的特点。，体现代数式的特点。a+b=b+aS=aba25 ( (b+c) )-4m5在教学中渗透符号化思想。在教学中渗透符号化思想。 采取适宜方式，帮助学生采取适宜方式，帮助学生理解用代数式表示理解用代
14、数式表示数量关系的概括性数量关系的概括性。 从概念的本质揭示符号的意义。从概念的本质揭示符号的意义。 适当介绍适当介绍符号的形成过程符号的形成过程。 五下分数 1010以内数的认识以内数的认识。 负数的认识负数的认识。 1. 什么是方程思想？什么是方程思想？ 方程思想方程思想 在解决问题时，将已知量和未知量之间的数在解决问题时，将已知量和未知量之间的数量关系，通过适当设元建立方程，然后求解使量关系，通过适当设元建立方程，然后求解使问题得到解决的思维方式。问题得到解决的思维方式。例例方程思想是解决问题的重要思想方法。方程思想是解决问题的重要思想方法。“牛吃草牛吃草”问题。问题。算术思维算术思维方
15、程思维方程思维2. 算术思维与方程思维的特点。算术思维与方程思维的特点。 未知量、已知量地位不同。未知量、已知量地位不同。 思考过程往往是逆向的。思考过程往往是逆向的。 未知量、已知量地位同等，便于分析数量关系。未知量、已知量地位同等，便于分析数量关系。 具有形式化、一般化的特点。具有形式化、一般化的特点。 思考过程往往是顺向的。思考过程往往是顺向的。从思维发展的角度来说，代数的方法具有一般从思维发展的角度来说，代数的方法具有一般性、普遍性性、普遍性 。 四则难题制造了许许多多的四则难题制造了许许多多的奇招怪招。但是你跑不远更不能奇招怪招。但是你跑不远更不能腾飞腾飞 可是一引进代数方法可是一引
16、进代数方法, , 这些东西都变成了不必要的、平这些东西都变成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了平淡淡的。你就可以做了, , 而且而且每个人都可以做每个人都可以做, , 用不着天才人用不着天才人物想出许多招来才能做物想出许多招来才能做, ,非但可非但可以跑得很远而且可以腾飞。以跑得很远而且可以腾飞。 吴文俊吴文俊鸡兔同笼3.克服方程思维克服方程思维学习的障碍学习的障碍。列代数式。列代数式。说出代数式表示的具体含义。说出代数式表示的具体含义。设定字母，列代数式。设定字母，列代数式。 适当加强文字语言与代数式适当加强文字语言与代数式“互译互译”的训练。的训练。 采用多种方法引导学生找出等量关系。采
17、用多种方法引导学生找出等量关系。直观呈现数量关系。直观呈现数量关系。半独立写等量关系。半独立写等量关系。设定未知量，列方程。设定未知量，列方程。 将待解决的问题，通过某种转化过程，归将待解决的问题，通过某种转化过程，归结为另一个已解决或较易解决的问题的方法。结为另一个已解决或较易解决的问题的方法。1. 什么是化归思想？什么是化归思想？ 化归思想化归思想化归思想是数学家化归思想是数学家最擅长的思想方法最擅长的思想方法。2. 化归思想常用的几种方法。化归思想常用的几种方法。 把要解决的问题分成若干个小问题，然后把要解决的问题分成若干个小问题，然后逐一求解，达到整个问题解决的方法。逐一求解，达到整个
18、问题解决的方法。过程：过程： 分割法。分割法。例例 变形法。变形法。 对不易直接解决的问题，加以适当变形，实对不易直接解决的问题，加以适当变形，实现由难到易的化归，达到问题解决。现由难到易的化归，达到问题解决。例例映射法。映射法。 是指在两类数学对象或两个数学集合的元素是指在两类数学对象或两个数学集合的元素之间建立某种之间建立某种“对应关系对应关系”，通过映射将原来，通过映射将原来的问题化归为新问题，在解决新问题的同时，的问题化归为新问题，在解决新问题的同时，原问题也得以解决。原问题也得以解决。例例 注意应用化归思想注意应用化归思想解决教学中的问题解决教学中的问题。 3. 在小学数学教学中渗透
19、化归思想。在小学数学教学中渗透化归思想。 明确渗透化归思想的教材因素。明确渗透化归思想的教材因素。 数与代数数与代数 几何图形面积公式的推导几何图形面积公式的推导 注意在教学中注意在教学中渗透化归思想渗透化归思想。 1. 什么是函数思想？什么是函数思想？ 函数思想函数思想 用运动、变化的观点去描述客观世界中量与用运动、变化的观点去描述客观世界中量与量之间互相依赖、互相制约的关系的思想。量之间互相依赖、互相制约的关系的思想。量与量之间的依赖关系是用函数来描述的。量与量之间的依赖关系是用函数来描述的。2. 小学数学涉及的几种函数。小学数学涉及的几种函数。 正比例函数正比例函数: y=kx ( (
20、k0 ）。 商不变时商不变时, , 被除数与除数被除数与除数; ; 正方形的周长与边长：正方形的周长与边长：C 正方形正方形4 4a。 一次函数一次函数: y=kx+b( ( k0) ) 。一一元元二二次函数次函数: : y =ax 2 +bx + c ( ( a0 ） 反比例函数反比例函数（ y=k/ x , k 0）。 S 正方形正方形a 2, S 圆r 2 3. 函数思想在小学数学教材中的体现。函数思想在小学数学教材中的体现。 渗透变量的概念渗透变量的概念。 渗透渗透两个变量的依存关系两个变量的依存关系。 教学正、反比例，揭示两个相关联的变量教学正、反比例，揭示两个相关联的变量的关系。的
21、关系。 1 研究变量在一定的变化过程中的终极状态研究变量在一定的变化过程中的终极状态的思想。的思想。1. 什么是极限思想什么是极限思想？ 极限思想极限思想1213141n0极限描述性的定义：极限极限 对于数列对于数列 an : a1 , , a2 , , a3 , , , , an , , 如果当如果当 n 无限增大无限增大时时，an无限无限趋趋近近于一于一个个常常数数 A，则称则称 an 以以 A为极限为极限。记作记作: :limnna= =A2. 我国古代的我国古代的极限思想极限思想3. 在小学数学教学渗透极限思想在小学数学教学渗透极限思想 帮助学生理解无限帮助学生理解无限。 通过直观手段，帮助学生通过直观手段，帮助学生理解理解“无限逼近无限逼近”。 极限思想的萌芽极限思想的萌芽。 极限思想的应用极限思想的应用。 4. 运用极限思想运用极限思想对一些问题做出正确的解释对一些问题做出正确的解释。