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1、2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题7.2 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题目录一、考点全归纳1题型 一二元一次不等式(组)表示的平面区域3角度二平面区域的形状4命题角度一 求线性目标函数的最值7命题角度三求参数值或取值范围9三、高效训练突破13一、考点全归纳1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组)表示区域AxByC0(0)直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域来源:Zxxk.Com不包括边界直线来源:学科网来源:Zxxk.ComAxByC0(0)来源:学科网ZXXK包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.二元一次不等式(组)的解
2、集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集3线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于变量x，y的函数解析式，如zx2y线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题常用结论1画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定
3、域；(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实数(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证2利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于AxByC0或AxByC0时，区域为直线AxByC0的上方；(2)当B(AxByC)0时，直线zaxby向上平移z变大，向下平移z变小；当b0时，直线zaxby向上平移z变小，向下平移z变大二、题型全归纳题型 一二元一次不等式(组)表示的平面区域【题型要点】(1)求平面区域面积的方法首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式
4、组问题，从而再作出平面区域；对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和 (2)根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案命题角度一 平面区域的面积【例1】不等式组所表示的平面区域的面积等于()A. B C. D【答案】C【解析】由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A，B(1，1)，C(0，4)，则ABC的面积为1.
5、故选C.【例2】不等式组所围成的平面区域的面积为()A3 B6 C6 D3【答案】D【解析】如图不等式组所围成的平面区域为ABC，其中A(2,0)，B(4，4)，C(1,1)，所求平面区域的面积为SABOSACO(2421)3.角度二平面区域的形状【例3】若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是_【答案】(0，1【解析】不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)解得A；解得B(1，0)若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线xya中的a的取值范围是00，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a()A. B. C1 D2【答案】A【解析】作出不等式组表示的可行域，如图阴
6、影部分(含边界)当直线z2xy过交点A时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.题型三 线性规划的实际应用【题型要点】线性规划解决实际问题的一般步骤(1)能建立线性规划模型的实际问题给定一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收益最大；给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少(2)解决线性规划实际问题的一般步骤转化：设元，写出线性约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题；求解：解决这个纯数学的线性规划问题；作答：根据实际问题，得到实际问题的解，据此作出回答 【例1】(2020河北“五个一名校联盟”模拟)某企业生产甲、乙
7、两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为()甲乙原料限量A/吨3212B/吨128A.16万元 B17万元C18万元 D19万元【答案】C【解析】设该企业每天生产x吨甲产品，y吨乙产品，可获得利润为z万元，则z3x4y，且x，y满足不等式组作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x4y0并平移，可知当直线经过点(2，3)时，z取得最大值，zmax324318(万元)故选C.【例2】某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分
8、别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为_元【答案】：36 800【解析】：设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z1 600x2 400y，则约束条件为作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A(5，12)时，有最小值zmin36 800(元)三、高效训练突破一、选择题1(2020贵阳期中)不等式组表示的平面区域为()【答案】B【解析】选特殊点(0,6)检验，当x0，y6时，y3x12成立，x2y成立，所以点(0,6)在不等式组表示的平面区域内，另外注意到边界线是虚线，故选B.2(202
9、0揭阳模拟)若x，y满足约束条件则zy的最小值为()A1 B2 C1 D2【答案】A.【解析】：作出x，y满足约束条件的平面区域如图所示(阴影部分)：由图易得，目标函数zy在点A处取最小值，为1.故选A.3(2020福建漳州一模)若实数x，y满足则xy()A有最小值无最大值 B有最大值无最小值C既有最小值也有最大值 D既无最小值也无最大值【答案】A.【解析】：如图中阴影部分所示即为实数x，y满足的可行域，由得A.由图易得当x，y时，xy有最小值，没有最大值故选A.4(2020琼海摸底)若实数x，y满足则z2x8y的最大值是()A4 B8 C16 D32【答案】D【解析】先根据实数x，y满足画出
10、可行域(如图阴影部分所示)，由解得A，当直线ux3y过点A时，u取得最大值是35，则z2x8y2x3y的最大值为2532.5(2020华中师范大学第一附中模拟)已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是()A. B.C. D.【答案】B【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分由图可知k在点A(1,3)处取得最小值3，且斜率k小于直线xy1的斜率1.故3k1.所以1.故0.6已知点(x，y)满足目标函数zaxy仅在点(1，0)处取得最小值，则a的取值范围为()A(1，2) B(2，1)C. D【答案】B.【解析】：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示，由zaxy可得yaxz，直线
11、的斜率ka，因为kAC2，kAB1，因为目标函数zaxy仅在点A(1，0)处取得最小值，则有kABkkAC，即1a2，所以2a1，即实数a的取值范围是(2，1)故选B.7.不等式组表示的平面区域为，直线ykx1与区域有公共点，则实数k的取值范围为()A(0，3 B1，1C(，3 D3，)【答案】D.【解析】：直线ykx1过定点M(0，1)，由图可知，当直线ykx1经过直线yx1与直线xy3的交点C(1，2)时，k最小，此时kCM3，因此k3，即k3，)故选D.8实数x，y满足(a1)，且z2xy的最大值是最小值的4倍，则a的值是()A. B C. D【答案】B.【解析】：在直角坐标系中作出不等
12、式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示当目标函数z2xy经过可行域中的点B(1，1)时有最大值3，当目标函数z2xy经过可行域中的点A(a，a)时有最小值3a，由343a，得a.9.不等式组的解集记为D，则“(x，y)D，使xya成立”的必要不充分条件是()Aa0 Da2【答案】A.【解析】：画出不等式组表示的区域D，如图中阴影部分所示其中A(2，2)，B(1，2)，C(1，3)，(x，y)D，使xya成立，则a(xy)min，平移直线xy0，易知当直线经过点C(1，3)时，xy取得最小值，(xy)min2，则a2，故必要不充分条件可以是a0时，作直线l0：yaxz，平移l0可知，当
13、yaxz与xy10重合时，z取得最大值的最优解有无数个，此时a1.当直线过B点时，z有最小值zmin0122；当a0时，数形结合知，zyax取得最大值的最优解不可能无限多综上可知zmin2.8已知实数x，y满足则zyln x的取值范围为_【答案】：2，ln 6【解析】：作出可行域如图(阴影部分)其中A(，0)，B(3，0)，C(，)由图可知，当yln xz过点A(，0)时z取得最大值，zmax0lnln 6.设yln xz的图象与直线yx3相切于点M(x0，y0)，由yln xz得y，令1得x01，故yln xz与yx3切于点M(1，2)时，z取得最小值，zmin2ln 12.所以zyln x
14、的取值范围为2，ln 6三 解答题1已知点A(5，5)，直线l：xmyn(n0)过点A.若可行域的外接圆的直径为20，求n的值【答案】n10.【解析】：注意到直线l：xy0也经过点A，所以点A为直线l与l的交点画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示设直线l的倾斜角为，则ABO.在OAB中，OA10.根据正弦定理，得20，解得或.当时，tan ，得m.又直线l过点A(5，5)，所以55n，解得n10.当时，同理可得m，n0(舍去)综上，n10.2某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料ABC甲48
15、3乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润【答案】见解析【解析】：(1)由已知得，x，y满足的数学关系式为设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分(2)设利润为z万元，则目标函数为z2x3y.考虑z2x3y，将它变形为yx， 这是斜率为，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z2x3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组得点M的坐标为(20，24)所以zmax220324112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元