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1、 永久免费组卷搜题网82双曲线方程及性质一、明确复习目标1掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质;2理解a,b,c,e,等参数的几何意义及关系二建构知识网络1双曲线定义：(1)到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（|F1F2|）的点的轨迹（为常数）这两个定点叫双曲线的焦点(2)动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线M2M11PK2K1A1A2F2F1Oyx2标准方程=1，c=，焦点是：F1（c，0），F2（c，0）=1，c=，焦点是：F1（0，c）、F2（0，c）(图形略)3双曲线的几何
2、性质：范围; 对称轴,对称中心; 顶点;焦点; 准线方程; 离心率; 渐近线方程(以上可参见课本)焦准距；准线间距;通径长;焦半径公式中符号复杂：建议直接利用第二定义推算 4等轴双曲线，,a=b,离心率,两渐近线互相垂直，分别为y=;5共轭双曲线：有共同的渐近线,相等的焦半径6 渐近线为即 的双曲线方程可设为(，焦点在x轴上，焦点在y轴上）7中结合定义与余弦定理可推得，当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质（略）8从题型与与方法上本节将附带参数取值范围及最值问题,常用的方法有：法,目标函数法,不等式法,几何法,向量法等三、双基题目练练手1 (2006春上海)若，则“”是“方程表示双曲线”的( )
3、 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件2(2006天津)如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（ ）ABCD 3（2006浙江）若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则( )A B C D4(2005北京)已知双曲线的两个焦点为，P是此双曲线上的一点，且，则该双曲线的方程是（ ）A B C D 5（2004全国II）设中心在原点的椭圆与双曲线2x22y21有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 6(2006湖南)过双曲线的左顶点作斜率为1的直线, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点, 且, 则双曲线的
4、离心率是_ 简答：1-3、ACCC； 5 y21； 6 四、经典例题做一做【例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1) 与双曲线有共同渐近线，且过点；(2)双曲线的焦点在轴上，且过点和，P是双曲线上异于A、B的任一点，APB的垂心H总在此双曲线上。【解】：（1）设所求双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为。（2）设双曲线方程为为双曲线上任一点，BN，PM是APB的两条高，则BN方程为 PM方程为 又 得，又H在双曲线上， ，所以双曲线方程为【例2】已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为。 (1) 求双曲线C的方程； (2) 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B
5、，且(其中O为原点)，求k的取值范围。解：（）设双曲线方程为 由已知得故双曲线C的方程为（）将 由直线l与双曲线交于不同的两点得即 设，则而于是 由、得 故k的取值范围为提炼方法：求参数的取值范围是个综合性的问题,常用的方法有：法,目标函数法,不等式法,几何法,向量法等【例3】 设点P到点M（1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围分析：由|PM|PN|=2m，得|PM|PN|=2|m|知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围解：设点P的坐标为（x，y），依题意得=2，即y=2
6、x（x0） 因此，点P（x，y）、M（1，0）、N（1，0）三点不共线，从而得 |PM|PN|0， 0|m|0，15m20解得0|m|b0），双曲线=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使ll1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B（如下图） （1）当l1与l2夹角为60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；（2）当=时，求的最大值剖析：（1）求椭圆方程即求a、b的值，由l1与l2的夹角为60易得=，由双曲线的焦距为4易得a2+b2=4，进而可求得a、b（2）由=，欲求的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l1的交点，故需求l的方程将l与l2的方程
7、联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标将A的坐标代入椭圆方程可求得的最大值解：（1）双曲线的渐近线为y=x，两渐近线夹角为60，又b0)，其半焦距c=62=|PF1|+|PF2|=+=6=3，b2=a2-c2=45-36=9所以所求椭圆的标准方程为(II)点P(5,2)、F1(-6，0)、F2(6，0)关于直线y=x的对称点分别为P(2,5)、F1(0，-6)，F2（0，6）设所求双曲线的标准方程为(a10,b10)由题意知，半焦距c1=6，2a1=|PF1|-|PF2|=|-|=4a1=2,b=c-a=36-20=16所以所求双曲线的标准方程为8已知双曲线的方程为, 直线通过其右焦点F2，
8、且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F1连结起来，求|F1A|F1B|的最小值解：设A(x1,y1),B(x2,y2),A到双曲线的左准线x= = 的距离d=|x1+|=x1+，由双曲线的定义，=e=,|AF1|=(x1+)=x1+2,同理，|BF1|=x2+2,|F1A|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 (1)双曲线的右焦点为F2(,0), (1)当直线的斜率存在时设直线AB的方程为：y=k(x)，由消去y得 (14k2)x2+8k2x20k24=0,x1+x2=, x1x2= , 代入(1)整理得|F1A|F1B|=+4=+4=+4=+|
9、F1A|F1B|;(2)当直线AB垂直于x轴时，容易算出|AF2|=|BF2|=,|AF1|=|BF1|=2a+=(双曲线的第一定义), |F1A|F1B|=由(1), (2)得：当直线AB垂直于x轴时|F1A|F1B|取最大值9 已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值试对双曲线C：=1写出具有类似特性的性质，并加以证明解：类似的性质为若MN是双曲线=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那
10、么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（m，n），其中=1又设点P的坐标为（x，y），由kPM=，kPN=，得kPMkPN=，将y2=x2b2，n2=m2b2，代入得 kPMkPN=点评：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求10 如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xoy，则CDy轴因为双曲线经过点C、D
11、，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称依题意，记A(c，0)，C(，h)，E(x0, y0)，其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高由定比分点坐标公式得x0= ，设双曲线的方程为，则离心率由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得， 由式得 ， 将式代入式，整理得，故 由题设得，解得所以双曲线的离心率的取值范围为 【探索题】如图，在双曲线的上支有三点，它们与点F（0，5）的距离成等差数列。（1） 求（2） 证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标解：（1）故F双曲线的焦点，设准线为，离心率为，由题设有分别过A、B、C作x轴的垂线，则由双曲线的第二定义有，代入式，得，于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有AC的中垂线方程为（2）由于A、C在双曲线上，所以有相减得故（2）式化为，易知此直线过定点。思维点拨：利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决，中垂线过弦AC的中点，中点问题往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题。 永久免费组卷搜题网