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1、 永久免费组卷搜题网2010届高三数学一轮复习强化训练精品立体几何中的向量问题（）平行与垂直基础自测1.设平面的法向量为（1，2，-2），平面的法向量为（-2，-4，k），若，则k= .答案 42.已知直线l的方向向量为v，平面的法向量为u,则vu=0，l与的关系是 .答案 l或l3.向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=（-4，-6，2），下列结论不正确的是 .ab，bcab，acac，ab以上都不对答案 4.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若c与a及b都垂直，则m,n的值分别为 .答案 -1,25.如图所示,在正方体ABCDA1
2、B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是 .答案 平行例1 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点.求证：MN平面A1BD.证明 方法一 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M（0，1，），N（，1，1），D（0，0，0），A1（1，0，1）,B（1，1，0），于是=（，0，），=（1，0，1），=（1，1，0）.设平面A1BD的法向量是n=（x，y，z）.则n=0，且n=0，得取x=1，得y=-1，
3、z=-1.n=（1，-1，-1）.又n=（，0，）（1，-1，-1）=0，n,又平面A1BD，MN平面A1BD.方法二 =-= -=（-）=,，又MN平面A1BD.MN平面A1BD.例2 如图所示,已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形,ABC=BCD=90,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC底面ABCD.证明:(1)PABD;(2)平面PAD平面PAB.证明 (1)取BC的中点O,平面PBC平面ABCD,PBC为等边三角形,PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,如图所示,建立空间直角坐标系. 不妨设CD=1,则AB=BC=2,P
4、O=.A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0, ).=(-2,-1,0), =(1,-2,- ).=（-2）1+(-1)(-2)+0(-)=0,PABD.(2)取PA的中点M,连接DM,则M（,-1,）.=（,0, ）, =(1,0,-),=1+0(-2)+ (-)=0,即DMPA.又=1+00+（-）=0，即DMPB.又PAPB=P，DM平面PAB，DM平面PAD.平面PAD平面PAB.例3 （14分）如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，且AB=AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.求证：（1）DE平
5、面ABC；（2）B1F平面AEF.证明 方法一 如图建立空间直角坐标系Axyz，令AB=AA1=4，则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B1（4，0，4）.（1）取AB中点为N，则N（2，0，0），C（0，4，0），D（2，0，2），3分=（-2，4，0），=（-2，4，0），=，4分DENC，又NC平面ABC，DE平面ABC.故DE平面ABC.6分（2）=（-2，2，-4），=（2，-2，-2），=（2，2，0）.=（-2）2+2(-2)+(-4)(-2)=0,则,B1FEF,10分=（-2）2+22+（-4）0=0.，即B1FAF，12分又AFFE=F
6、，B1F平面AEF.14分方法二 （1）连接A1B、A1E，并延长A1E交AC的延长线于点P，连接BP.由E为C1C的中点且A1C1CP，可证A1E=EP.D、E分别是A1B、A1P的中点，所以DEBP.4分又BP平面ABC，DE平面ABC，DE平面ABC.6分（2）ABC为等腰三角形，F为BC的中点，BCAF，8分又B1BAF，B1BBC=B，AF平面B1BF，而B1F平面B1BF，AFB1F.10分设AB=A1A=a，则B1F2=a2，EF2=a2，B1E2=a2，B1F2+EF2=B1E2，B1FFE.12分又AFFE=F，综上知B1F平面AEF.14分1.如图所示，平面PAD平面ABC
7、D，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.求证：PB平面EFG.证明 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0）、B（2，0，0）、C（2，2，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）、E（0，0，1）、F（0，1，1）、G（1，2，0）.=（2，0，-2），=（0，-1，0），=（1，1，-1），设=s+t，即（2，0，-2）=s（0，-1，0）+t（1，1，-1），解得s=t=2.=2+2，又与不共线，、与共面.平面EFG，PB平面EFG.2.如图，在六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正
8、方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1平面A1B1C1D1，DD1平面ABCD，DD1=2.求证：（1）A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；（2）平面A1ACC1平面B1BDD1.证明 （1）以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）=(-1,1,0），=(-2,2,0),=(1,1,0),=(2,2,0),=2,=2.与平行，与平行，于是，A1C1与AC共面，B1D1与BD共面.（
9、2）=（0，0，2）（-2，2，0）=0，=（2，2，0）（-2，2，0）=0，.DD1DB=D，AC平面B1BDD1.又AC平面A1ACC1，平面A1ACC1平面B1BDD1.3.如图所示，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为45，底面ABCD为直角梯形，ABC=BAD=90,PA=BC=AD.(1)求证：平面PAC平面PCD；（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.（1）证明 设PA=1，由题意BC=PA=1，AD=2.PA平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为PBA=45,AB=1,由ABC=BAD=90
10、,易得CD=AC=，由勾股定理逆定理得ACCD.又PACD，PAAC=A，CD平面PAC，又CD平面PCD，平面PAC平面PCD.（2）解 存在点E使CE平面PAB.分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，则P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，2，0），设E（0，y，z），则=（0，y，z-1），=（0，2，-1）.，y（-1）-2（z-1）=0 =(0,2,0）是平面PAB的法向量，又=（-1,y-1,z），若使CE平面PAB，则.（-1，y-1，z）（0，2，0）=0，y=1代入，得z=.E是PD的中点，存在E点使CE平面PAB，此时E为PD的中
11、点.一、填空题1.若平面、的法向量分别为n1=（2，3，5），n2=(-3,1,-4),则，的位置关系是 （用“平行”，“垂直”，“相交但不垂直”填空）.答案 相交但不垂直2.已知=（2，4，5），=（3，x，y），若，则x= ,y= .答案 6 3.已知A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是 （写出一个即可）.答案 4.已知=（1，5，-2），=（3，1，z），若，=（x-1，y，-3），且平面ABC，则实数x，y，z分别为 .答案 ，-，45.设点C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0）、A（1，-3，2）、B（8，-1，4）确定的平面上
12、，则a= .答案 166.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是 .答案 7.若A(0，2，)，B(1，-1，)，C(-2，1，)是平面内三点，设平面的法向量a=(x,y,z),则xyz= .答案 23(-4)8.若|a|=,b=(1,2,-2),c=(2,3,6),且ab,ac,则a= .答案 或二、解答题9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为BB1、C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的法向量.解 以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系.（如图所示）.设棱长为1
13、，则A（1，0，0），M(1，1，)，N（0，1）.=（0，1，），=(-1，1).设平面AMN的法向量n=（x，y，z）令y=2，x=-3，z=-4.n=（-3，2，-4）.（-3，2，-4）为平面AMN的一个法向量.10.如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点.求证：（1）AM平面BDE；（2）AM平面BDF.证明 （1）建立如图所示的空间直角坐标系,设ACBD=N，连接NE.则点N、E的坐标分别为、（0，0，1）.=.又点A、M的坐标分别是（，0）、，=.=且NE与AM不共线.NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面
14、BDE.（2）由（1）知=，D（，0，0），F（，1），=（0，1）.=0.同理.又DFBF=F，AM平面BDF.11.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.（1）求证：平面AED平面A1FD1；（2）在AE上求一点M，使得A1M平面ADE.（1）证明 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，不妨设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（0，1，0），A1（2，0，2），D1（0，0，2），设平面AED的法向量为n1=（x1，y1，z1），则n1=（x1，y1，z1）（2，0，0）=0，n1=（x1，y1，z1）（2，2，1）=0，2x1=0，2
15、x1+2y1+z1=0.令y1=1,得n1=(0,1,-2),同理可得平面A1FD1的法向量n2=(0,2,1).n1n2=0，n1n2,平面AED平面A1FD1.（2）解 由于点M在直线AE上，设=（0，2，1）=（0，2，）.可得M（2，2，），=（0，2，-2），ADA1M，要使A1M平面ADE，只需A1MAE，=（0，2，-2）（0，2，1）=5-2=0，解得=.故当=时，A1M平面ADE.12.已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，D为AB的中点，AC=BC=BB1.求证：（1）BC1AB1；（2）BC1平面CA1D.证明 如图所示，以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所
16、在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.不妨设AC=2，由于AC=BC=BB1，则A（2，0，2），B（0，2，2），C(0,0,2),A1（2，0，0），B1（0，2，0），C1（0，0，0），D（1，1，2）.（1）由于=（0，-2，-2），=（-2，2，-2），所以=0-4+4=0，因此，故.（2）方法一 取A1C的中点E，连接DE，由于E（1，0，1），所以=（0，1，1），又=（0，-2，-2），所以=-，又因为ED和BC1不共线，所以EDBC1，且DE平面CA1D，BC1平面CA1D，故BC1平面CA1D.方法二 由于=（2，0，-2），=（1，1，0），若设=x+y，则得，解得，即=-2，所以，是共面向量，又因为BC1平面CA1D，因此BC1平面CA1D.方法三 求出平面CA1D的法向量n,证明向量n.设n=(a,b,1),由于=（2，0，-2），=（1，1，0）,n=（1，-1，1），又=（0，-2，-2），n=2-2=0，n，又平面CA1D，平面CA1D. 永久免费组卷搜题网