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1、 永久免费组卷搜题网2010届高三数学一轮复习强化训练精品命题及其关系、充分条件与必要条件基础自测1.(2009成化高级中学高三期中考试)若命题“对xR，x2+4cx+10”是真命题，则实数c的取值范围是 . 答案 2.（2008湖北理，2）若非空集合A、B、C满足AB=C，且B不是A的子集，则下列说法中正确的是 .(填序号) “xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件 “xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件 “xC”是“xA”的充要条件“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”的必要条件答案3.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的 命题. 答案 否4.（20
2、08浙江理，3）已知a,b都是实数,那么“a2b2”是“ab”的 条件. 答案 既不充分也不必要 5.设集合A、B，有下列四个命题：AB对任意xA都有xB;ABAB=;ABBA;AB存在xA,使得xB.其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上）答案 例1 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.（1）正三角形的三内角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）已知a，b，c，d是实数，若a=b,c=d,则a+c=b+d.解 （1）原命题即是“若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等”.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形（或写成
3、：三个内角相等的三角形是正三角形）.否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等.逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形（或写成：三个内角不全相等的三角形不是正三角形）.（2）原命题即是“若两个三角形全等，则它们的面积相等.”逆命题：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等（或写成：面积相等的三角形全等）.否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等（或写成：不全等的三角形面积不相等）.逆否命题：若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等.（3）原命题即是“已知a,b,c,d是实数，若a=b,c=d，则a+c=b+d”.其中“已知a,b,c,
4、d是实数”是大前提，“a与b,c与d都相等”是条件p，“a+c=b+d”是结论q，所以逆命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c=b+d，则a与b，c与d都相等.否命题：已知a,b,c,d是实数，若a与b,c与d不都相等，则a+cb+d.逆否命题：已知a,b,c,d是实数，若a+cb+d,则a与b,c与d不都相等.例2 指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.（1）在ABC中，p：A=B，q：sinA=sinB；（2）对于实数x、y，p：x+y8,q:x2或y6;（3）非空集合A、B中，p：xAB，q：
5、xB；（4）已知x、yR，p：（x-1）2+（y-2）2=0，q：（x-1）（y-2）=0.解 （1）在ABC中，A=BsinA=sinB，反之，若sinA=sinB，因为A与B不可能互补（因为三角形三个内角和为180),所以只有A=B.故p是q的充要条件.(2)易知: p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然qp.但pq,即q 是p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.(3)显然xAB不一定有xB,但xB一定有xAB,所以p是q的必要不充分条件.(4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,所以pq但qp,故p是q的充分不必要条件.例3（14分
6、）已知ab0，求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.证明（必要性）a+b=1，a+b-1=0， 2分a3+b3+ab-a2-b2=（a+b）（a2-ab+b2）-（a2-ab+b2） 5分=（a+b-1）（a2-ab+b2）=0. 7分（充分性）a3+b3+ab-a2-b2=0，即（a+b-1）（a2-ab+b2）=0， 9分又ab0,a0且b0,a2-ab+b2=（a-b20,a+b-1=0,即a+b=1, 12分综上可知,当ab0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 14分1.写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：（1）如果一个三
7、角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）相似三角形一定是全等三角形.解 （1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.原命题为真命题，否命题也为真命题.（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”原命题是真命题，否命题是假命题.（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.原命题是假命题，否命题是真命题.2.（ 2008湖南理，2）“|x-1|2成立”是“x(x-3)0成立”的 条件. 答案必要不充分3.证明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0
8、.证明 充分性：若ac0,则b2-4ac0,且0,方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根. 必要性：若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根，则=b2-4ac0,x1x2=0,ac0. 综上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0.一、填空题1.下列命题：54或45；93；命题“若ab,则a+cb+c”的否命题；命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为 . 答案 12.（2008重庆理，2）设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的 条件. 答案 充分不必要 3. “x1”是“x2x”的
9、 条件. 答案 充分不必要 4.（2009成化高级中学高三期中考试）已知函数f(x)=ax+b(0x1),则“a+2b0”是“f(x)0”恒成立的 条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）答案 必要不充分5.在ABC中，“sin2A=”是“A=30”的 条件. 答案 必要不充分性6.（2008安徽理，7）a0方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的 条件. 答案 充分不必要 7.设集合A=B则集合= .答案 8.设A=B则使AB成立的实数m的取值范围是 .答案 m二、解答题9. 求关于x的方程x2-mx+3m-2=0的两根均大于1的充要条件.解 设方
10、程的两根分别为x1、x2，则原方程有两个大于1的根的充要条件是即又x1+x2=m,x1x2=3m-2,故所求的充要条件为m6+2.10. 已知x,yR.求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.证明（充分性）若xy0,则x,y至少有一个为0或同号.|x+y|=|x|+|y|一定成立.（必要性）若|x+y|=|x|+|y|,则(x+y)2=(|x|+|y|)2,x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,xy=|xy|,xy0.综上，命题得证.11. a,b,c为实数，且a=b+c+1.证明：两个一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根.
11、证明 假设两个方程都没有两个不等的实数根，则1=1-4b0,2=a2-4c0,1+2=1-4b+a2-4c0.a=b+c+1,b+c=a-1.1-4(a-1)+a20,即a2-4a+50.但是a2-4a+5=(a-2)2+10,故矛盾.所以假设不成立，原命题正确，即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根.12.设、是方程x2-ax+b=0的两个根，试分析a2且b1是两根、均大于1的什么条件？解 令p:a2,且b1;q: 1,且1,易知+=a, =b.若a2,且b1,即不能推出1且1.可举反例：若所以由p推不出q若1,且1，则+1+1=2, 1.所以由q可推出p.综合知p是q的必要不充分条件，也即a2,且b1是两根、均大于1的必要不充分条件. 永久免费组卷搜题网