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1、 永久免费组卷搜题网2008年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题详细答案一、选择题（每小题6分，共36分）1已知二次函数，则方程不同实数根的数目为（ ）。 答 选。因为，所以有，因此原方程有个不同实根。注 也可以讨论根的分布情况。因为当时，函数单调下降，当时，函数单调上升，且的两个根为，所以当时，函数，因此有两个不同实根；当时，函数，因此也有两个不同实根。综上所述，原方程有个不同实根。2抛物线的参数满足，则当变动时，抛物线的顶点一定在（ ）上。抛物线 双曲线 圆或椭圆 直线答 选。抛物线的顶点的坐标为，设，则有。因为，所以满足的条件等价于，于是有，即。3已知的三边的中点分别为，分别是上的点，并满
2、足均平分的周长，分别是关于的对称点，与交于点，若，则一定过（ ）。内心 外心 重心 垂心答 选。设的三边长及半周长分别为，则，所以。因为平行于，所以，于是有，所以是的角平分线。4若方程的所有根为，其中为正整数，方程的所有根为，其中为正整数，则的值为（ ）。 答 选。方程等价于，其根即为与的交点的横坐标。等价于，其根即为与的交点的横坐标。因为与互为反函数，所以此它们的图像关于对称，因此所有根的算术平均就是与交点的横坐标。5考虑集合的所有非空子集，若一个非空子集中的偶数的数目不少于奇数的数目，称这个子集是“好子集”，则“好子集”的数目有（ ）个。 答 选。设一个“好子集”中有个偶数，则奇数的数目可
3、以有个，因此“好子集”的数目为 。6设不定方程的正整数解中满足均大于的不同解的数目为，则满足（ ）。 ，但是有限的数 是无穷大答 选。是原不定方程的一个特解。对于原不定方程的任意一个正整数解，假设，且。设关于的二次方程的两个根为，由韦达定理，因此是正整数，且大于，于是也是原不定方程的一个解，并由小到大重新排列为。如此反复利用上面的结论，可以由一个特解得到无穷多个解，因此满足均大于的解有无穷多个。二、填空题（每小题9分，共54分）7函数，则的最大值与最小值的乘积为 。答 。因为，所以严格递增，于是最大值为，最小值为，其积为。注 单调性也可以直接由定义证明。8若方程有模为的根，则所有模为的根的和为
4、 。答 。设是满足条件的根，则原方程等价于。两边同时取模，可得。因为，所以所有模为的根只可能为复平面上以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆的交点所对应的复数，因此有，经检验，这两个根都是原方程的根，于是可得所有模为的根的和为。9考虑的正方形方格表中的个格点，则通过至少个格点的不同直线的数目为 。答 。水平和竖直的直线共有条，与两条对角线平行的直线共有条，其它满足条件的直线还有条，因此共有条。10.设表示不超过的最大整数，则的值是 。答 。对于，因为不是整数，所以，于是有。11已知长方体满足，平面分别与交于点，则四面体的体积为 。答 。因为，所以分别是的中点，于是有，从而可得四面体的体积为
5、。12已知半径为的圆外一条直线，在上的投影为，与圆交于点。设为上的点，在的同侧，且，圆中有条平行于的弦，且这条弦与的交点均分，则的值为（用表述） 。答 。设的中点为，的中点为，由中线公式可得。因为在上，设，其中假设当在上时取正数，当在上时取负数，则。因为，所以。注 为欧拉定理。三、解答题（每小题20分，共60分）13已知锐角的三边的中点分别为，在的延长线上分别取点，若，证明的外心为的垂心。证明 设的三条高线分别为，垂心为，与交于点，则 5分10分。15分同理可得，。因为，且有，所以，因此为的外心。20分注 无论在上还是在上，均有。14已知数列满足：，求的通项公式。解 由，两式相减得，5分即。设
6、，则有，即。10分设，由，可得，于是有。15分因为，特征方程为，特征根为，从而可设。由及，定义，于是有，从而可得，因此有，。20分15有个选手，他们的积分分别为，名次分别为第。现进行单循环比赛，即任意两个选手之间都恰进行一场比赛，且每场比赛都要分出胜负。若名次靠前的选手胜了名次靠后的选手，则胜者得分，负者得分；若名次靠后的选手胜了名次靠前的选手，则胜者得分，负者得分，全部比赛结束后计算每个选手的累计积分（即这次单循环所得的分数与之前的积分相加所得的和），并根据累计积分进行重新排名，求新的冠军累计积分的最小值（名次并列是允许的）。解 。5分若新的冠军的得分不超过分，则最多胜场；最多胜场；最多胜场
7、；最多胜场；最多增加分，但是开始时积分比他少的选手只有人，因此若增加分，他与名次比他靠前的选手的比赛至少胜场，这样他与名次靠后的选手的比赛最多胜 ，从而他最多胜场；最多增加分，但是开始时积分比他少的选手只有人，因此若增加分，他与名次比他靠前的选手的比赛至少胜场，这样他与名次靠后的选手的比赛最多胜场，从而他最多胜场；最多增加分，但是开始时积分比他少的选手只有人，因此若增加分，他与名次比他靠前的选手的比赛至少胜场，这样他与名次靠后的选手的比赛最多胜场，从而他最多胜场；最多增加分，但是开始时积分比他少的选手只有人，因此若增加分，他与名次比他靠前的选手的比赛至少胜场，这样他与名次靠后的选手的比赛最多胜场，从而他最多胜场；最多增加分，但是开始时积分比他少的选手只有人，因此若增加分，他与名次比他靠前的选手的比赛至少胜场，从而他最多胜场；最多增加分，他与名次比他靠前的选手的比赛最多胜场，从而他最多胜场。综上所述，所有选手胜的场数最多为，但是每两名选手进行的一场比赛都会胜一场，共胜场，矛盾。15分下面的例子说明新的冠军累计积分可以是分。胜，负，累计得分为；胜，负，累计得分为；胜，负，累计得分为；胜，负，累计得分为；胜，负，累计得分为；胜，累计得分为；胜，累计得分为；胜，累计得分为；胜，累计得分为；累计得分为。20分 永久免费组卷搜题网