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1、 永久免费组卷搜题网2009届全国名校真题模拟专题训练09立体几何三、解答题(第四部分)76、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1（1）求直线EC1与FD1所成角的余弦值； （2）求二面角C-DE-C1的平面角的正切值解：以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz，则有D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2)于是，（1）设EC1与FD1所成角为b，则 （2）设向量与平面C1D
2、E垂直，则有其中z0取n0=(-1，-1，2)，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量向量=（0，0，2）与平面CDE垂直，n0与所成的角为二面角C-DE-C1的平面角，77、(江苏省泰兴市20072008学年第一学期高三调研)已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将PAD沿AD折起，使面PAD面ABCD（如图2）. （）证明：平面PADPCD； （）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分； （）在M满足（）的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.（I）证明：依题意知：2分4分 （II）由（I）知平面ABCD 平面PA
3、B平面ABCD.5分 在PB上取一点M，作MNAB，则MN平面ABCD，设MN=h则8分要使即M为PB的中点.10分 （）连接BD交AC于O，因为AB/CD，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2ODO不是BD的中心10分又M为PB的中点在PBD中，OM与PD不平行OM所以直线与PD所在直线相交又OM平面AMC直线PD与平面AMC不平行.15分78、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)如图已知在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点（1）求证：面PCC1面MNQ；（2）求证：PC1面MNQ主要得分步
4、骤：（1）AB面PCC1； 4MNAB，故MN面MNQ MN在平面MNQ内，面PCC1面MNQ； 7（2）连AC1、BC1，BC1NQ，ABMN面ABC1面MNQ 11PC1在面ABC1内PC1面MNQ 1379、(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知斜三棱柱,在底面上的射影恰为的中点,又知. ()求证：平面； ()求到平面的距离； ()求二面角的大小. 解法：()平面,平面平面,又,平面, 得,又,平面.4分(),四边形为菱形,故,又为中点,知.取中点,则平面,从而面面,6分过作于,则面,在中,故,即到平面的距离为.8分 ()过作于,连,则,从而为二面角的平面角,在中,10分在中,故二
5、面角的大小为. 12分 解法：()如图,取的中点,则,又平面,以为轴建立空间坐标系, 1分则,由,知,又,从而平面.4分 ()由,得.设平面的法向量为,设,则.6分点到平面的距离.8分 ()设面的法向量为,.10分设,则,故,根据法向量的方向可知二面角的大小为.12分80、(宁夏区银川一中2008届第六次月考)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，N是PB中点，截面DAN交PC于M. （）求PB与平面ABCD所成角的大小； （）求证：PB平面ADMN； （）求以AD为棱，PAD与ADMN为面的二面角的大小.（I）解：
6、取AD中点O，连结PO，BO.PAD是正三角形，所以POAD，1分又因为平面PAD平面ABCD，所以，PO平面ABCD，3分BO为PB在平面ABCD上的射影，所以PBO为PB与平面ABCD所成的角.4分由已知ABD为等边三角形，所以PO=BO=，所以PB与平面ABCD所成的角为45.5分 （）ABD是正三角形，所以ADBO，所以ADPB，6分又，PA=AB=2，N为PB中点，所以ANPB，8分所以PB平面ADMN.9分 （）连结ON，因为PB平面ADMN，所以ON为PO在平面ADMN上的射影，因为ADPO，所以ADNO，11分故PON为所求二面角的平面角.因为POB为等腰直角三角形，N为斜边中
7、点，所以PON=4512分81、(山东省济南市2008年2月高三统考)如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，PAD为等腰直角三角形，APD=90，面PAD面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点（1）证明：EF面PAD；（2）证明：面PDC面PAD；（3）求锐二面角BPDC的余弦值解：（1）如图，连接AC，ABCD为矩形且F是BD的中点，AC必经过F 1分又E是PC的中点，所以，EFAP2分EF在面PAD外，PA在面内，EF面PAD4分（2）面PAD面ABCD，CDAD，面PAD面ABCD=AD，CD面PAD，又AP面PAD，APCD6分又APPD，PD和CD是相交直
8、线，AP面PCD7分又AD面PAD，所以，面PDC面PAD 8分（3）由P作POAD于O，以OA为x轴，以OF为y轴，以OP为z轴，则A（1，0，0），P（0，0，1）9分由（2）知是面PCD的法向量，B（1，1，0），D（一1，0，0），10分设面BPD的法向量，由得取，则，向量和的夹角的余弦11分所以，锐二面角BPDC的余弦值12分82、(山东省聊城市2008届第一期末统考)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点. （1）求证：AM/平面BDE； （2）求二面角ADFB的大小.（1）解：记AC与BD的交点为O，连接OE1分O，M分别是
9、AC、EF的中点，且四边形ACEF是矩形，四边形AOEM是平行四边形，AM/OE，又OE平面BDE，AM平面BDE，AM/平面BDE.4分 （2）在平面AFD中过A作ASDF，垂足为S，连接BS，ABAF，ABAD，ADAF=A，AB平面ADF.6分又DF平面ADF，DFAB，又DFAS，ABAS=A，DF平面ABS.又BS平面ABS，DFSB.BSA是二面角ADFB的平面角.8分在RtASB中，ASASB=60.10分（本题若利用向量求解可参考给分）83、(山东省实验中学2008届高三第三次诊断性测试)如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，且 （1）求证：平面； （2）求直线与平面所
10、成的角的大小； （3）求二面角的大小解法一：()四边形是正方形， 1分平面平面，又，平面 2分平面，3分平面 4分 ()连结，平面，是直线与平面所成的角 5分设，则， 6分， 即直线与平面所成的角为8分（）过作于，连结 9分平面，平面是二面角的平面角 10分平面平面，平面在中， ，有由()所设可得， 10分二面角等于 12分解法二: 四边形是正方形 ，平面平面，平面， 2分可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系设，则，是正方形的对角线的交点，4分（）， 4分平面 5分（） 平面，为平面的一个法向量，6分，7分直线与平面所成的角为 8分() 设
11、平面的法向量为，则且，且 即取，则， 则10分又为平面的一个法向量，且，设二面角的平面角为，则，二面角等于12分84、(山东省郓城一中2007-2008学年第一学期期末考试)如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF平面ACE. （）求证：AE平面BCE； （）求二面角BACE的余弦值； （）求点D到平面ACE的距离. （）求证：平面BDF平面ABCD解法一：（）平面ACE. 二面角DABE为直二面角，且， 平面ABE. （）连结BD交AC于C，连结FG，正方形ABCD边长为2，BGAC，BG=，平面ACE，（）过点E作交AB于点O. OE=
12、1.二面角DABE为直二面角，EO平面ABCD.设D到平面ACE的距离为h， 平面BCE， 点D到平面ACE的距离为解法二：（）同解法一.（）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图.面BCE，BE面BCE， ，在的中点， 设平面AEC的一个法向量为，则解得令得是平面AEC的一个法向量.又平面BAC的一个法向量为，二面角BACE的大小为（III）AD/z轴，AD=2，点D到平面ACE的距离85、(山西大学附中2008届二月月考)如图，正三棱柱所有棱长都是，是棱的中点，是棱的中点，交于点 （1）求证：； （2
13、）求二面角的大小（用反三角函数表示）； （3）求点到平面的距离.（1）证明：建立如图所示， 即AEA1D， AEBD AE面A1BD（2）设面DA1B的法向量为由 取设面AA1B的法向量为 ， 由图可知二面角DBA1A为锐角，它的大小为arcos （3），平面A1BD的法向量取则B1到平面A1BD的距离d= 86、(上海市部分重点中学2008届高三第二次联考)在长方体中（如图），=1，点E是AB上的动点(1)若直线，请你确定点的位置，并求出此时异面直线与所成的角(2) 在（1）的条件下求二面角的大小解解法1：由DE与CE垂直-1分 设AE=x,在直角三角形DEC中求得-2分 所以点是AB的中点-3分取CD的中点Q，则AQ平行与EC，所以是所求的角-4分求解得=-5分异面直线与EC所成的角为-6分解法2：利用向量法 分别以DA，DC，D所在的直线为X轴建立坐标系-1分 设AE=x， 根据直线-2分所以点是AB的中点-3分 写出A（1，0，0） E（1，1，0 ） C （0，2，0） （0，0，1）-4分设的夹角为 cos=-5分异面直线与所成的角为-6分（2）解法1：由DE与CE垂直，所以是所求的平面角-8分 -11分二面角是-12分解法2：利用向量法求得二面角是 永久免费组卷搜题网