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1、指数与对数的运算【例1】计算：(1)2log32log3log385log53；(2)1.5080.25()6.解(1)原式log33231.(2)原式22223321427110.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.1设3x4y36，则的值为()A6B3C2 D1D由3x4y36得xlog336，ylog436，2log36
2、3log364log369log364log36361.指数函数、对数函数的图象及应用【例2】(1)若函数ylogax(a0，且a1)的图象如图所示，则下列函数正确的是()A B C D(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)x.如图，画出函数f(x)的图象；根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域(1)B由已知函数图象可得，loga31，所以a3.A项，函数解析式为y3x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y(x)3x3，当x0时，y0，这与图象不符；D项中函数解析式为ylog3(x)，在(，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为
3、yx3，与图象相符故选B.(2)解先作出当x0时，f(x)x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x(，0)时的图象函数f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为0，)，值域为(0,11识别函数的图象从以下几个方面入手：(1)单调性：函数图象的变化趋势；(2)奇偶性：函数图象的对称性；(3)特殊点对应的函数值2指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a01，loga10.2函数y1log(x1)的图象一定经过点()A(1,1) B(1,0)C(2,1) D(2,0)C把ylogx的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到y1log(x1)的图象，故其经过点(2,1)
4、比较大小【例3】若0xy1，则()A3y3xBlogx3logy3Clog4xlog4yD.xyC因为0xy1，则对于A，函数y3x在R上单调递增，故3x3y，A错误对于B，根据底数a对对数函数ylogax的影响：当0a1时，在x(1，)上“底小图高”因为0xylogy3，B错误对于C，函数ylog4x在(0，)上单调递增，故log4xy，D错误1比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等2当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较3比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小4
5、含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论3设alog2，blog，c2，则()Aabc BbacCacb DcbaCalog2log221，bloglog10，c2，即0ccb，故选C.指数函数、对数函数的性质【例4】(1)设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函数(2)已知a0，a1且loga3loga2，若函数f(x)logax在区间a,3a上的最大值与最小值之差为1.求a的值；若1x3，求函数y(logax)2loga2的值域(1)A由题
6、意可得，函数f(x)的定义域为(1,1)，且f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，故f(x)为奇函数又f(x)lnln，易知y1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数(2)解因为loga3loga2，所以f(x)logax在a,3a上为增函数又f(x)在a,3a上的最大值与最小值之差为1，所以loga(3a)logaa1，即loga31，所以a3.函数y(log3x)2log32(log3x)2log3x22.令tlog3x，因为1x3，所以0log3x1，即0t1.所以y2，所以所求函数的值域为.1把本例(1)的函数f(x)改为“f(x)ln(x)”，判断其奇偶性解f(
7、x)ln(x)，其定义域为R，又f(x)ln(x)，f(x)f(x)ln(x)ln(x)ln 10，f(x)f(x)，f(x)为奇函数2把本例(2)中的函数改为“ya2xax1”，求其最小值解由题意可知y32x3x1，令3xt，则t3,27，f(t)t2t12，t3,27，当t3时，f(t)minf(3)93111.1研究函数的性质要树立定义域优先的原则2换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题该类问题中，常设ulogax或uax，转化为一元二次方程、二次函数等问题要注意换元后u的取值范围函数的应用【例5】一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减(1)求t年后，这种放射
8、性元素的质量w的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)解(1)最初的质量为500 g.经过1年，w500(110%)5000.9；经过2年，w5000.92；由此推知，t年后，w5000.9t.(2)由题意得5000.9t250，即09t0.5，两边同时取以10为底的对数，得lg 0.9tlg 0.5，即tlg 0.9lg 0.5，所以t6.6.即这种放射性元素的半衰期约为6.6年指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为yN(1p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.4某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 20.301 0，lg 30.477 1)解设过滤n次能使产品达到市场要求，依题意，得n，即n.则n(lg 2lg 3)(1lg 2)，故n7.4，考虑到nN，故n8，即至少要过滤8次才能达到市场要求7